2010-2019十年高考数学真题分类汇编19不等式选讲（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 19 不等式选讲 1.(2019·全国 1·理 T23 文 T23)[选修 4—5:不等式选讲] 已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明: (1)1 a + 1 b + 1 c≤a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 【解析】(1)因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又 abc=1,故有 a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c. 所以1 a + 1 b + 1 c≤a2+b2+c2. (2)因为 a,b,c 为正数且 abc=1, 故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 ≥33 (a + b)3(b + c)3(a + c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac)=24. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 2.(2019·全国 2·理 T23 文 T23)[选修 4—5:不等式选讲] 已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x) 3 2, y=f(x)的图象如图所示. (2)由 f(x)的表达式及图象,当 f(x)=1 时, 可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x=1 3或 x=5, 故 f(x)>1 的解集为{x|11 时,①等价于 a-1+a≥3,解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2,+∞). 12.(2016·全国 2·理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|x - 1 2| + |x + 1 2|,M 为不等式 f(x)