江夏一中、汉阳一中 2020 年 4 月高三年级联考试卷
文科数学
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的）
1.已知 为虚数单位，则复数 （ ）
A． B． C． C．
2.已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． C．
3.双曲线 的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． C．4
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步.问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长 30 步，直径长 16 步.问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长 99 步，直径长 51 步.问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是（ ）
A．问题[三三]中扇形的面积为 240 平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
i 5 3
3 2
i
i
− =+
9 19
13 13i+ 9 19
13 13i− 9 19
13 13i− − 9 19
13 13i− +
U = R { }4| log ( 1)A x y x= = − { | 2 3, }B y y x x A= = + ∈ ( )UA B∩ =
(1,5) (1,5] (5, )+∞ (1, )+∞
2 2
: 116 48
x yC − =
2 3 4 3
5049
4C．问题[三三]中扇形的面积为 60 平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为 平方步
5.运行如图所示的程序框图，若输入的 的值为 2 时，输出的 的值为 ，则判断框中可以填（ ）
A． B． C． D．
6.若 ， ，则 （ ）
A． B． C． C．
7.在三棱柱 中，已知 ， 平面 ，则下列选项中，能使异面直线 与
相互垂直的条件为（ ）
A． B．
C．四边形 为正方形 D．四边形 为正方形
8.已知非零实数 满足 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5049
2
a S 20−
3?k < 4?k < 5?k < 6?k <
,2
πα π ∈
7cos2 25
α = sin
3sin 2
α
π α
= +
3
4
− 3
4
4
3
4
3
−
1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 1AA ⊥ 1 1 1A B C 1BC
1AC
45ACA∠ = ° 45ACA∠ = °
1 1ABB A 1 1BCC B
,m n 2 2| | | |m m n n⋅ > ⋅
ln | | ln | |m n> 1 1
| | | |m n
<
| | sin | | | | sin | |m m n n+ < + 2 2m n>9.在 中，已知 ， ， ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． C．
10.已知函数 有 3 个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． C．
11.已知函数 ， ，现有如下四个结论：
①函数 的极大值为 ； ②函数 的最小值为 0；
③函数 在 上单调递减； ④函数 在 上单调递减.
则上述结论正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ C．①②④
12.已知四面体 的外接球的球心为 ，点 在四面体 内部， ， .
过点 作平面 截球 得到圆面 ，若圆 的面积的最大值为 ，且 为等边三角形，则四面
体 的表面积为（ ）
A． B． C． C．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知向量 ， ，其中 .若向量 与 共线，则 _____.
14.已知实数 满足 ，则 的最大值为_______.
15.已知函数 的定义域为 ，其图象关于原点对称，且当 时 ，则不
ABC△ 60ACB∠ = ° BM MC= | | 3AM = ABC△
9 3
4
9 3
2 3 2 3
( ) 3sin3 cos3 , [0, ]f x x x m x π= − + ∈ m
( 1,1)− ( 1,1]− [1,2] [ 1,1)−
( 4)( ) 1
xx xf x ex
−+= ⋅+ [0, )x ∈ +∞
( )f x 1 32e − ( )f x
( )f x [0, 3 1)− ( )f x ( 3 1, )− +∞
ABCD O O ABCD 3
2BC OA= AB AC AD= =
A α O O′ O′ 16π BCD△
ABCD
18( 13 3)+ 18( 39 3)+ 9( 39 3)+ 9( 13 3)+
(3,2)m = ( ,1)n λ= λ ∈R m 2 3m n− λ =
,x y
2 4 0
2
0
x y
y
x y
− − ≤
≤
+ ≥
3z x y= −
( )f x [ 9,9]− (0,9]x ∈ ( ) 3 2 13xf x x= + −等式 的解集为______（用区间表示）.
16. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 正 方 形 关 于 坐 标 轴 对 称 ， 且 点 在 椭 圆
上，设椭圆 的右焦点为 ，若点 在正方形 内部（不包括边界），则
椭圆 的离心率 的取值范围为______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.为了调查抑郁症患者的发病情况与睡眠时间是否具有相关性，研究人员随机调查了 200 名抑郁症患者，
统计了他们近 250 天每天的睡眠时间.
（1）某抑郁症患者近 250 天每天的睡眠时间的统计数据如下表所示，求该抑郁症患者这 250 天的日平均睡
眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
睡眠时间（小时）
频数（天） 15 100 85 50
（2）将这 200 名抑郁症患者这 250 天的发病次数与日平均睡眠时间进行统计，得到如下表所示的 列
联表，请将该 列联表补充完整，并判断是否有 的把握认为“睡眠时间的长短”与“发病次数的
多少”有关系？
睡眠时间少于 4 小时 睡眠时间不少于 4 小时 总计
发病次数不小于 5 次 60
发病次数小于 5 次 20
总计 100
参考公式及数据： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
( ) 0f x >
xOy MNPQ , , ,M N P Q
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > C F F MNPQ
C e
[1,2) [2,3) [3,4) [4,5]
2 2×
2 2× 99.9%
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.如图，四边形 为菱形， ， ， 为等边三角形，且平面 与
平面 无公共点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积.
19.已知首项为 的数列 满足 ，记数列 的前 项和为 .
（1）求 的值；
（2）求证：数列 是等差数列；
（3）求数列 的前 项和 .
20.已知抛物线 与过点 的直线 交于 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若 ， 轴，垂足为 ，探究：以 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点
的坐标；若不是，请说明理由.
21.已知函数 ， .
0k
ABCD 120ABC∠ = ° MN AC BMD△ AMD
BNC
CN ABM
2AB = 3AM = N BCD−
1
2
{ }na 1 12 1n n na a a+ +− = { }na n nS
2 3,S S
1
1na
−
1 41
n
na
− ⋅ −
n nT
2: 4C y x= (2,0) l ,M N
8 3MN = l
1
2MP MN= PQ y⊥ Q PQ
2( ) ln 2f x ax x= − − a ∈R（1）探究函数 的极值点情况；
（2）求证：当 时， 恒成立，其中 为自然对数的底数.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计
分.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ），曲 线 的 参 数 方 程 为
（ 为参数），曲线 与 轴交于 两点.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系.
（1）求直线 的普通方程及曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 在第一象限交于点 ，且线段 的中点为 ，点 在曲线 上，求
的最小值.
23.选修 4-5：不等式选讲
（1）已知 均为正数，且 ，求证： ；
（2）已知实数 满足 ， ，求证： .
( )f x
(0, )x ∈ +∞ 2 ( ) 0xe ax f x− + > e
xOy l 2
2
x t
y t
= −
= − t 1C
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α 1C x ,O A O x
l 1C
l 2
2 : 4C y x= M MA N P 1C
| |PN
, ,x y z 18 64xyz = (8 2)(8 2)(8 2) 27x y z+ + + ≥
,m n 1m ≥ 1
2n ≥ 2 2 2 22 4 1 4 2m n mn m n m n+ + ≤ + +江夏一中、汉阳一中 2020 年 4 月高三年级联考试卷
文科数学 全解全析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C B C B A C B B D C
1.B 【解析】由题可得 ，故选 B.
2.B 【解析】由题可得集合 ， ，则 ，
所以 ，故选 B.
3.C 【解析】由题可得双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ，则点 ）到直线
的距离 .故选 C.
4.B 【解析】依题意，问题[三三]中扇形的面积为 平方步，问题[三四]中扇形的面
积为 平方步，故选 B．
5.C 【解析】运行该程序，第一次循环， ；第二次循环 ；第三次
循环， ；第四次循环， ，此时输出 的值，观察可知，仅选项 C
符合题意，故选 C．
6.B 【解析】由题可得 ，解得 ，
5 3 (5 3 )(3 2 ) 15 10 9 6 9 19
3 2 (3 2 )(3 2 ) 13 13 13
i i i i i ii i i
− − − − − −= = = −+ + −
{ | 1}A x x= > { | 2 3, } { | 5}B y y x x A y y= = + ∈ = > ( ,5]UB = −∞
( ) (1,5]UA B∩ =
C (8,0) 3 0x y± = (8,0)
3 0x y± =
2 2
8 3 4 3
( 3) 1
d = =
+
1 1 1630 1202 2 2lr = × × =
1 1 51 5049992 2 2 4lr = × × =
2, 2, 2S a k= = − = 6, 2, 3S a k= − = =
12, 2, 4S a k= = − = 20, 2, 5S a k= − = = S
2 2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 7cos2 cos sin 1 tan 25
α α αα α α α
− −= = =+ +
3tan 4
α = ±因为 ，所以 ，所以 ，故选 B.
7.A 【解析】如图，因为 平面 ，所以 ，又 ， ，所以
平 面 ， 因 为 平 面 ， 所 以 . 当 异 面 直 线 与 相 互 垂 直 时 ， 由
，可得 平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以四边形
为正方形，所以 ，反之亦然，即 当时，可得 ，故选 A.
8.C 【解析】因为非零实数 满足 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ， ，所以选项 A、B、D 均正确；
对于选项 C，当 ， 时， ，所以选项 C 错误.故选 C.
9.B 【解析】在 中，由 ， 及余弦定理可得 ，
又 （ 当 且 仅 当 时 取 等 号 ），所 以 ， 即
. 因 为 ， 所 以 为 的 中 点 ， 所 以 的 面 积
，所以 ，所以 的面积的最
大值为 ，故选 B.
,2
πα π ∈
3tan 4
α = − sin sin 3tan3 cos 4sin 2
α α απ αα
= = − =− +
1AA ⊥ 1 1 1A B C 1AA AB⊥ AB AC⊥ 1AA AC A∩ = AB ⊥
1 1CC A 1AC ⊂ 1 1ACC A 1AB AC⊥ 1BC 1AC
1AB BC B∩ = 1AC ⊥ 1ABC 1AC ⊂ 1ABC 1 1AC AC⊥ 1 1ACC A
1 45ACA∠ = ° 1 45ACA∠ = ° 1 1BC AC⊥
,m n 2 2| | | |m m n n⋅ > ⋅ 3 3| | | | 0m n> > | | | | 0m n> >
ln | | ln | |m n> 1 1
| | | |m n
< 2 2m n>
2m
π=
4n
π= sin sin2 2 4 4
π π π π+ > +
AMC△ 60ACB∠ = ° | | 3AM = 2 29 AC MC AC MC= + − ⋅
2 2 2AC MC AC MC+ ≥ ⋅ AC MC= 9 2AC MC AC MC+ ⋅ ≥ ⋅
0 9AC MC< ⋅ ≤ BM MC= M BC ABC△
32 sin60 2ABC AMCS S AC MC AC MC= = ⋅ ⋅ ° = ⋅△ △
9 30 2ABCS< ≤△ ABC△
9 3
210.B 【 解 析 】 由 题 可 得 ， 令 ， 可 得
，故原问题可转化为函数 ， 的图象与直线 有
3 个交点.画出函数 的大致图象如下图所示，易得 ， ，所以 ，所以
，所以实数 的取值范围为 ，故选 B.
11.D 【解析】易知当 时， ，所以当 时，函数 取得最小值为
， 所 以 ② 正 确 . 因 为
，令 ，结
合 可得 ，所以当 时， ，函数 单调递增；当
时， ，函数 单调递减，所以当 时，函数 取得极大值为 ，
所以①④正确，③不正确.故选 D.
12.C 【解析】设球 的半径为 ，因为圆 的面积的最大值为 ，所以 ，解得 .
因为 ， 为等边三角形，所以四面体 为正三棱锥，
因为 ， ，所以 ，设 的中心为 ，则 ，
易知 平面 ，所以 ，
( ) 3sin3 cos3 2sin 3 6f x x x m x m
π = − + = − + ( ) 0f x =
2sin 3 6x m
π − = − ( ) 2sin 3 6g x x
π = − [0, ]x π∈ y m= −
( )g x (0) 1g = − ( ) 1g π = 1 1m− ≤ − <
1 1m− < ≤ m ( 1,1]−
0x > ( 4)( ) 01
xx xf x ex
−+= ⋅ >+ 0x = ( )f x
(0) 0f =
( ) ( )2 2
2 2
(2 4)( 1) 4 ( 2) 2 2( 4) 1( ) ( 1) 1 ( 1)
x
x x
x x x x x x xx xf x ex x e x e
−+ + − + − + + −+ ′ = ⋅ + ⋅ − = + + + ( ) 0f x′ =
0x ≥ 3 1x = − [0, 3 1)x ∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 3 1, )x ∈ − +∞
( ) 0f x′ < ( )f x 3 1x = − ( )f x 1 3( 3 1) 2f e −− =
O R O′ 16π 2 16Rπ π= 4R =
AB AC AD= = BCD△ ABCD
3
2BC OA= 4OA R= = 6BC = BCD△ E 2 3BE =
AE ⊥ BCD 2 2 2 24 (2 3) 2OE R BE= − = − =由 点 在 四 面 体 内 部 ， 可 得 ， 所 以
.
在 中 ， ， ， 所 以 边 上 的 高
，
所以四面体 的表面积为 ，故选 C.
13. 【解析】由题可得 ，因为向量 与 共线，所以 ，解得
.
14.22 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
由 可得 ，观察可知，当直线 过点 时， 取得最大值，
由 ，解得 ，即 ，所以 .
15. 【解析】易知当 时，函数 单调递增，且 ，故当 时，
，当 时， ，所以当 时，不等式 的解集为 .因为函数
的图象关于原点对称，所以 ，且当 时，不等式 的解集为 .故不等
式 的解集为 .
16. 【解析】将 代入 ，消去 可得 .设 ，因为点 在
O ABCD 6AE OA OE= + =
2 2 2 26 (2 3) 4 3AB AE BE= + = + =
ABC△ 4 3AB AC= = 6BC = BC
2
2 2 2(4 3) 3 392
BCh AB = − = − =
ABCD 1 13 6 39 6 6sin60 9( 39 3)2 2
× × × + × × ° = +
3
2 2 3 (6 3 ,1)m n λ− = − m 2 3m n− 6 3 1
3 2
λ− =
3
2
λ =
3z x y= − 3y x z= − 3y x z= − B z
2 4 0
2
x y
y
− − =
=
8
2
x
y
=
= (8,2)B max 3 8 2 22z = × − =
( 2,0) (2,9]− ∪ (0,9]x ∈ ( )f x (2) 0f = (0,2)x ∈
( ) 0f x < (2,9]x ∈ ( ) 0f x > (0,9]x ∈ ( ) 0f x > (2,9]
( )f x (0) 0f = [ 9,0)x ∈ − ( ) 0f x > ( 2,0)−
( ) 0f x > ( 2,0) (2,9]− ∪
5 10, 2
−
y x=
2 2
2 2 1x y
a b
+ = y
2 2
2
2 2
a bx a b
= + ( ,0)F c F正 方 形 内 部 （ 不 包 括 边 界 ）， 所 以 ， 即 ， 所 以
，所以 ，上式两边同时除以 ，可得 ，结合 ，解得
，所以椭圆 的离心率 的取值范围为 .
17.【解析】（1）由题可得频率分布表如下表所示：
睡眠时间（小时）
频数（天） 15 100 85 50
频率 0.06 0.4 0.34 0.2
故 该 抑 郁 症 患 者 这 250 天 的 日 平 均 睡 眠 时 间 为
（小时）.
（2）补充完整的 列联表如下：
睡眠时间少于 4 小时 睡眠时间不少于 4 小时 总计
发病次数不小于 5 次 80 60 140
发病次数小于 5 次 20 40 60
总计 100 100 200
所以 的观测值 ，
故没有 的把握认为“睡眠时间的长短”与“发病次数的多少”有关系.
18.【解析】（1）因为平面 与平面 无公共点，所以平面 平面 ，
因为 ，所以 四点共面，
MNPQ
2 2
2 2
2 2
a bx ca b
= >+
2 2 2 2 2 2a b b c a c− >
( )22 2 2 2a c a c− > 2 2a c ac− > 2a 2 1 0e e+ − < 0 1e< <
5 10 2e
−< < C e 5 10, 2
−
[1,2) [2,3) [3,4) [4,5]
1.5 0.06 2.5 0.4 3.5 0.34 4.5 0.2× + × + × + × =
0.09 1 1.19 0.9 3.18+ + + =
2 2×
2K
2200 (80 40 60 20) 200 9.524 10.828100 100 140 60 21k
× × − ×= = ≈ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 4y y m+ = 1 2 8y y = −
( ) ( )( )22 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 1 4 4 1 2MN m y y m y y y y m m= + ⋅ − = + ⋅ + − = + +
| | 8 3MN = ( )( )2 24 1 2 8 3m m+ + = 2m = ±
l 2 2 0x y− − = 2 2 0x y+ − =（2）因为 ，所以 是线段 的中点，
设 ，则由（1）可得 ， ，
所以 ，又 轴，垂足为 ，所以 ，
设以 为直径的圆经过点 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
化简可得 ①，
令 ，可得 ，
所以当 ， 时，对任意的 ，①式恒成立，
所以以 为直径的圆过定点，该定点的坐标为 .
21.【解析】（1）由题可知函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以函数 在 上无极值点；
当 时， ，
令 ，可得 ，解得 ，
1
2MP MN= P MN
( ),p pP x y
( ) 21 21 2 4 2 22 2p
m y yx xx m
+ ++= = = + 1 2 22P
y yy m
+= =
( )22 2,2P m m+ PQ y⊥ Q (0,2 )Q m
PQ ( )0 0,A x y ( )2
0 02 2 ,2AP m x m y= + − − ( )0 0,2AQ x m y= − −
0AP AQ⋅ = ( ) ( )22
0 0 02 2 2 0x m x m y− + − + − =
( ) 2 2 2
0 0 0 0 04 2 4 2 0x m y m x y x− − + + − =
0
0
2 2
0 0 0
4 2 0
4 0
2 0
x
y
x y x
− =
=
+ − =
0
0
2
0
x
y
=
=
0 2x = 0 0y = m∈R
PQ (2,0)
( )f x (0, )+∞
21 2 1( ) 2 axf x ax x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )+∞
( )f x (0, )+∞
0a > ( 2 1)( 2 1)( ) ax axf x x
+ −′ =
( ) 0f x′ = 2 1 0ax − = 1
2
x
a
=当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极小值点为 ，无极大值点.
综上，当 时，函数 在 上无极值点；当 时，函数 的极小值点为 ，无
极大值点.
（2）由 可得 ，
则原问题等价于当 时， 恒成立.
令 ，则 ，
易知函数 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 在 上有唯一的零点，
设该零点为 ，则 ，即 ，且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
10,
2
x
a
∈ ( ) 0f x′ < 1 ,
2
x
a
∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x 10,
2a
1 ,
2a
+∞
( )f x 1
2
x
a
=
0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 1
2
x
a
=
2e ( ) 0x ax f x− + > ln 2 0xe x− − >
(0, )x ∈ +∞ ln 2 0xe x− − >
( ) ln 2( 0)xh x e x x= − − > 1( ) e ( 0)xh x xx
′ = − >
1( ) e ( 0)xh x xx
′ = − > (0, )+∞
1 e 2 02h ′ = −
( )h x′ (0, )+∞
0x ( ) 0
0
0
1 0xh x e x
′ = − = 0
0
1xe x
= 0
1 ,12x ∈
( )00,x x∈ ( ) 0h x′ < ( )0,x x∈ +∞ ( ) 0h x′ >
( )h x ( )00, x ( )0,x +∞
(0, )x ∈ +∞ ( ) 0
0 0 0
0
1( ) e ln 2 2xh x h x x xx
≥ = − − = + −因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以当 时， 恒成立.
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
【解析】（1）由 可得 ，即 ，
所以直线 的普通方程为 .
由 可得 ，即 ，
将 ， 代入上式，可得 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2）由 ，可得 或 ，所以 ，
由（1）可得 ，因为线段 的中点为 ，所以 ，
由（1）可知曲线 表示圆，其圆心为 ，半径 ，
所以 ，
因为点 在曲线 上，所以 .
23.选修 4-5：不等式选讲
【解析】（1）由题可得 ，当且仅当 时取等号；
同理可得 ， ，
0
1 12 x< < 0
0
1 2xx
+ > 0
0
1 2 0xx
+ − > ( ) 0h x > ln 2 0xe x− − >
(0, )x ∈ +∞ 2e ( ) 0x ax f x− + >
2
2
x t
y t
= −
= − 2 4x y= + 2 4 0x y− − =
l 2 4 0x y− − =
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
2 2( 1) 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − =
cosx ρ θ= 2 2 2x yρ = + 2 2 cos 0ρ ρ θ− = 2cosρ θ=
1C 2cosρ θ=
2
2 4 0
4
x y
y x
− − =
=
1
2
x
y
=
= −
4
4
x
y
=
= (4,4)M
(2,0)A MA N (3,2)N
1C 1(1,0)C 1r =
2 2
1| | (3 1) (2 0) 2 2C N r= − + − = >
P 1C min 1| | 2 2 1PN C N r= − = −
3 38 2 8 1 1 3 8 1 1 6x x x x+ = + + ≥ × × = 1
8x =
38 2 6y y+ ≥ 38 2 6z z+ ≥故 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号.
（2）要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，所以 .
3(8 2)(8 2)(8 2) 216x y z xyz+ + + ≥ 1
8x y z= = =
18 64xyz = (8 2)(8 2)(8 2) 27x y z+ + + ≥ 1
8x y z= = =
2 2 2 22 4 1 4 2m n mn m n m n+ + ≤ + + 2 2 2 24 4 2 2 1 0m n mn n m n m− + − + − ≥
24 ( 1) (2 2 )( 1) 1 0mn m mn n m m− − + − + − ≥ ( )2( 1) 4 2 2 1 0m mn mn n− − − + ≥
( 1)[2 (2 1) (2 1)] 0m mn n n− − − − ≥ ( 1)(2 1)(2 1) 0m n mn− − − ≥
1m ≥ 1
2n ≥ 1 0m − ≥ 2 1 0n − ≥ 2 1 0mn − ≥
( 1)(2 1)(2 1) 0m n mn− − − ≥ 2 2 2 22 4 1 4 2m n mn m n m n+ + ≤ + +
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