2020届高三第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷第二 次模拟考试 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 的元素个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知 ，再求出 ，即可求出结果. 【详解】由题意可知， ，所以 ，所以集合 中的元素有 3 个. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2.已知实数 a，b 满足 （其中 i 为虚数单位），则复数 的共轭复数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【详解】实数 满足 (其中 为虚数单位)， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 则复数 的共轭复数为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． { }0,1,2,3,4A = { },B x x n n A= = ∈ A B { }0,1 2, 3,2B = ， A B { } { }, 0,1 2, 3,2B x x n n A= = ∈ = ， { }0,1,2A B = A B ( )( )i 2 i 3 5ia b+ + = − z b ai= + 13 1 i5 5 − + 13 1 i5 5 − − 13 1 i5 5 + 13 1 i5 5 − ,a b ( )( )i 2 i 3 5ia b+ + = − i ( )( )( ) ( )( )2 2 3 5 2a bi i i i i+ + − = − − 1 13 5 5a bi i+ = − 1 13 5 5a b= = −， 13 1 5 5z b ai i= + = − + 13 1 i5 5 − −3.已知平面 ，直线 ， ，若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据线面垂直的判定条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】根据线面垂直的判定条件知，若直线 ， ，则“ ”即必要性成立； 若 ， ，则直线 可以在平面 内，也可以与平面 相交，还可以为相交垂直，则充分性不成 立. 所以，若 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直的性质是解决本题的关键，属于基础题. 4.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一 尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果 n=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 开始，输入 ， 则 ，判断 ，否，循环， ， 则 ，判断 ，否，循环， 则 ，判断 ，否，循环， α m n n ⊂ α m n⊥ m α⊥ m α⊥ n ⊂ α m n⊥ n ⊂ α m n⊥ m α α n ⊂ α m n⊥ m α⊥ 1, 1, 0, 1a A S n= = = = 2S = 2 10≥ 12, , 22n a A= = = 9 2S = 9 102 ≥ 13, , 4,4n a A= = = 35 4S = 35 104 ≥ 14, , 8,8n a A= = =则 ，判断 ，是，输出 ，结束.故选择 C. 5.若 是奇函数，则 的值为( ) A. B. C. 7 D. -7 【答案】D 【解析】 【分析】 根据奇函数的性质可求出 ，即可求出 的值. 【详解】因为 是奇函数， 当 时，则 ，所以 ， 又 是奇函数，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，属于基础题. 6.甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.” 丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是( ) A. 乙、丙两个人去了 B. 甲一个人去了 C. 甲、丙、丁三个人去了 D. 四个人都去了 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用甲、乙、丙、丁四位同学所说结合丙说：“无论丁去不去，我都去．”分别分析得出答案． 【详解】对于选项 A，∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去出游，故 A 选项错误； 对于选项 B，∵乙说：“丙去我就不去．”， ∴由选项 A 可知，乙一定没去，故选项 B 错误； 对于选项 C，∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．” ∴由选项 B 可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三 个人去了，此选项正确； 对于选项 D，∵乙说：“丙去我就不去．” ∴四个人不可能都去出游，故此选项错误． 故选：C． 135 8S = 135 108 ≥ 4n = ( ) ( ) 2 1, 0 , 0 x xf x g x x  − >=  =  ( ) 2 1xf x −− = − ( )f x ( ) ( ) 2 1xf x f x −= − − = − + ( ) 2 1= xg x −− + ( )2 3g − = − ( )( ) ( )2 3 7f g f− = − = −【点睛】此题主要考查了推理与论证，依次分析得出各选项正确性是解题关键． 7.已知数列 为等比数列， 为等差数列 的前 项和，且 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列的性质，求得 ，再利用等差数列的前 n 项和公式，即可求解 的值，得到答案． 【详解】由题意，等比数列 为等比数列，满足 ， ， 根据等比数列的性质，可得 ，可得 ， 所以 ，则 ，故选 A． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等差数列的前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数 列的性质和等差数列的前 n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 题． 8.不等式组 所表示 平面区域为 Ω，用随机模拟方法近似计算 Ω 的面积，先产生两组（每组 100 个）区间 上的均匀随机数 ， ，…， 和 ， ，…， ，由此得到 100 个点 ，再数出其中满足 的点数为 33，那么由随机模拟方法可得 平面区域 Ω 面积的近似值为( ) A. 0.33 B. 0.76 C. 0.67 D. 0.57 【答案】C 【解析】 【分析】 设平面区域为 的面积为 ，因为其中满足 的点数为 ，由此即可求出满足 的点的个数，再根据几何概型即可求出结果． 【详解】设平面区域为 的面积为 ，依题意， ，∴ ． 故选：C． 的 { }na nS { }nb n 2 1a = 10 16a = 6 6a b= 11S = 44 44− 88 88− 6 4a = 11S { }na 2 1a = 10 16a = 2 6 6 2 10 1 16 , 0a a aa= × = > 6 4a = 6 6 4b a= = 1 11 11 6 11( ) 11 442 b b bS += = × = 2 0 0 1 x y y x ≥  ≤ ≤  ≥ [ ]0,1 1x 2x 100x 1y 2y 100y ( )( ), 1,2, ,100i ix y i =  ( )2 1,2, ,100i iy x i< =  Ω S ( )2 1,2, ,100i iy x i< =  33 2y x≥ Ω S 100 33 1 100 S −= 0.67S =【点睛】本题考查了几何概型的应用，属于基础题. 9.将函数 图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像 向左平移 个单位得到数学函数 的图像，在 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：根据平移变换可得 ，根据放缩变换可得函数 的解析式，结合对称轴方程求 解即可. 详解：将函数 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到 ， 再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象， 即 ， 由 ， 得 ， 当 时，离原点最近的对称轴方程为 ，故选 A. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标. 10.已知正四棱柱 中， ，E 为 中点，则异面直线 BE 与 所成角的余弦 值为( ) A. B. C. D. 2 n 2) 3( sif x x π = +   12 π ( )g x ( )g x 24x π= − 4x π= 5 24x π= 12x π= 2 4 3y sin x π = +   ( )g x ( ) 2 2 3f x sin x π = +   2 4 3y sin x π = +   12 π ( )g x ( ) 22 4 2 412 3 3g x sin x sin x π π π    = + + = +         24 ,3 2x k k Z π π+ = + π ∈ 1 ,4 24x k k Z π= π − ∈ 0k = 24x π= − sin( )y A xω ϕ= + 2π ω 2x k πω ϕ π+ = + x kω ϕ π+ = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= 1AA 1CD 10 10 1 5 3 10 10 3 5【答案】C 【解析】 【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于 ,故选 C. 取 DD1 中点 F，则 为所求角, ，选 C. 11.已知点 为双曲线 右支上一点，点 分别为双曲线的左右焦点，点 是 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 成立，则双曲线的离心率取值范围 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：设 的内切圆半径为 ，由 ，用 的边长和 表示出等式 中的三角形面积，结合双曲线的定义得到 与 的不等式，可求出离心率取值范围. 详解： 设 的内切圆半径为 ， 由双曲线的定义得 ， ， ， 由题意得 ， 故 ， 故 ，又 ， 所以，双曲线的离心率取值范围是 ，故选 D. 090 1FCD∠ 2 2 2 1 2 5 1 3 10cos 102 2 5 FCD + −∠ = = P ( )2 2 2 2 1 0x y a b a b − = > > 1 2,F F I 1 2PF F∆ 1 2 1 2 1 3IPF IPF IF FS S S∆ ∆ ∆− ≥ ( ]1,2 ( )1,2 ( ]0,3 ( ]1,3 1 2PF F∆ r 1 2 1 22 , 2PF PF a F F c− = = 1 2PF F∆ r a c 1 2PF F∆ r 1 2 1 22 , 2PF PF a F F c− = = 1 21 2 1 1,2 2PF PFS PF r S PF r∆ ∆= ⋅ = ⋅ 1 2 1 22PF FS c r cr∆ = ⋅ ⋅ = 1 2 1 1 1 2 2 3PF r PF r cr⋅ − ⋅ ≥ ( )1 2 3 32c PF PF a≤ − = 3ce a = ≤ 1e > ( ]1,3点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质 有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、 虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应 先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式，从而求出 的范围. 12.已知函数 在 上都存在导函数 ，对于任意的实数 都有 ，当 时， ，若 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 ，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可求解不等式． 详解】令 ， ∵当 时， ， 则 ， 所以当 时，函数 单调递增； 因为对于任意的实数 都有 ， 所以 即 为偶函数， 所以当 时，函数 单调递减， 又 ， ， ， 又 ，所以 ，即 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，解题的关键是构造函数 g（x）并判断出单调性及奇偶 性． 【 e e e ( )f x R ( )f x′ x ( ) ( ) 2xf x ef x − = 0x < ( ) ( ) 0f x f x+ ′ > ( )2 ln 2a f= ( )1fb e −= 1 1ln4 4c f  =    a c b< < a b c> > c b a> > c a b> > ( ) ( )xg x e f x= ( ) ( )xg x e f x= 0x < ( ) ( ) 0f x f x+ ′ > ( ) ( ) ( ) 0, 0xg x e f x f x x′ = + ′ >  ( )g x ( ) ( ) ( )ln22 ln 2 ln 2 ln 2a f e f g= = = ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1fb e f g ge −−= = − = − = ( ) ( )1ln 41 1 1 1ln ln ln ln 4 ln 44 4 4 4c f e f g g g     = = = = − =           ln 4 1 ln 2> > ( ) ( ) ( )ln 4 1 ln 2g g g< < a b c> >二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ， ，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据平面向量的坐标运算可得 ，再利用平面向量模的坐标运算公式即可求出结果. 【详解】由题意可知， ，所以 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了平面向量模的坐标运算公式，属于基础题. 14.若倾斜角为 的直线 l 与曲线 相切于点 ，则 的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，求出 的导数，计算可得 的值，由导数的几何意义可得 ，由三角函数的恒等 变形公式可得 ，代入数据计算可得答案． 【详解】根据题意，曲线 ，其导数 ， 则有 ， 所以 ， 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义． 15.斜率为 的直线 过抛物线 ： 的焦点 ，若 与圆 ： 相切， 则 ______. 【答案】12 【解析】 ( )1,2a = ( )1,0b = 2a b− =  17 ( )2 1,4a b− =  ( )2 1,4a b− =  2 1+16= 17a b− =  17 α 3y x= ( )1,1 24cos sin 2α α− 1 5 − 3y x= 1|xy =′ tan 3α = 2 2 2 2 2 cos 4 2tan sin co 4cos 2sin4cos s s tani 2 1n α α αα αα α α α −= =−− + + 3y x= 23y x′ = 1 3|xy =′ = tan 3α = 2 2 2 22 cos 4 2tan 2 1 sin 4cos 2sin4 cos tan 1 10 5cos sin 2 α α α α α α αα α − −= = =− = −+− + 1 5 − 3 3 l C ( )2 2 0y px p= > F l M ( )2 22 4x y− + = p =分析】 根据题意，可知倾斜角，数形结合，即可得到圆的半径和参数 之间的关系，从而解得 . 【详解】结合题意作图如下： 由图可得 ， ， 解得 . 故答案 ：12. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，注意数形结合即可. 16.已知数列 满足 ，且 ， 表示数列 的前 n 项之和，则使不等式 成立的最大正整数 n 的值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】 首先根据等比数列的定义和前 项和公式即可求出 ，进而可得 ，然后再利 用裂项相消法可求出 ，再解不等式即可求出结果． 【详解】由数列 满足 且 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数 列，所以 ； 所以 ， 所以 ，则 【 为 p p 2 4MF AM= = 2 2 42 p r− = = 12p = { }na ( )* 1 2 Nn na a n+ = ∈ 1 2a = nS { }na 2 3 1 1 2 2 3 1 2 2 2 63 127 n n nS S S S S S + + + + + − 22 256n+ < 6n < n 5 5 n ABC , ,A B C , ,a b c ( )7 cos cosa B b A ac+ = sin 2 sinA A= 2b c− = BC 7.a = .3A π= 3 21 14 7a = A 3bc = ( )7 cos cosa B b A ac+ = 7sin cos sin cos sin ,7A B B A a C+ = 7sin sin ,7C a C∴ = sin 0,C ≠ 7a∴ = sin 2 sin , 2sin cos sin ,A A A A A= ∴ = sin 0,A ≠ 1cos 2A = ( ),0, .3A A ππ ∴∈ = 7, .3a A π= = 2 2 2 2 cos ,a b c bc A= + − 因为 ,所以 所以 设 BC 边上的高为 . , , 即 BC 边上的高为 . 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式的应用,考查余弦定理的应用. 18.惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后 50 天该海鲜的日需求量 （ ，单位：公斤）， 其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货 1 次，每销售 1 公斤可获利 40 元；若供大于求，剩余的海鲜 削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损 10 元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售 1 公斤可 获利 30 元.假设商店该海鲜每天的进货量为 14 公斤，商店销售该海鲜的日利润为 元. （1）求商店日利润 关于日需求量 的函数表达式. （2）根据频率分布直方图， ①估计这 50 天此商店该海鲜日需求量的平均数. ②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于 620 元的概率. 【答案】（1） （2）①15.32 公斤 ②0.4 【解析】 【分析】 （1）根据条件列分段函数关系式，即得结果； （2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于 620 元对应区间，再求对应区间概率. 【详解】（1）当 时 2 2 27 , 7 ( ) ,b c bc b c bc∴ = + − ∴ = − + 2b c− = 7 4 ,bc= + 3.bc = h 1 1 3 3 3sin 3 .2 2 2 4ABCS bc A∴ = = × × =△ 1 2ABCS ah= △ 1 3 372 4h∴ × = 3 21.14h∴ = 3 21 14 x 10 20x≤ ≤ y y x ( ) ( ) 30 140 14 20 50 140 10 14 x xy x x  + ≤ ≤=  − ≤     1x ,2a ∞ ∈    ( )f' x 0< ( )f x∴ 10, 2a       1 ,2a ∞ +    ( ) x 3 2 2xf x e x axe < ⋅ + − x 2 2 e 1nx 0e x ⋅ − > ( ) x 2 2 eφ x 1nxe x = ⋅ − ( )x 0> ( ) ( ) x 2 2 2 2 x 1 e e xφ' x e x − −= ( ) ( ) x 2r x 2 x 1 e e x= − − ( ) x 2r' x 2xe e= − ( )r' x ( )0, ∞+ ( )r' 1 0< ( )r' 2 0> ( )0x 1,2∈ ( )r' x 0= ( )r' x∴ ( )00,x ( )0x , ∞+ ( )r 0 0 < ( )r 2 0= ∴ ( )x 0,2∈ ( )r x 0﹤ ( )x 2, ∞∈ + ( )r x 0> ( )φ x ( )0,2 ( )2, ∞+ ( ) ( )φ x φ 2 1 1n2 0∴ ≥ = − > ( ) x 3 2 2xf x ·e axe ﹤ + x 2 2 2 e 1nx·e x x > ( ) ( )x 2 2 2 eφ x · x 0e x = > ( ) ( ) x 2 3 2x x 2 eφ' x e x −= ∴ ( )x 0,2∈ ( )φ' x 0< ( )x 2, ∞∈ + ( )φ' x 0> ( )φ x ( )0,2 ( )2, ∞+ ∴ ( ) ( ) 1φ x φ 2 = 2 ≥ ( ) 1nxr x = x ( ) 2 1 1nxr' x = x − ( )x 0,e∈ ( )r' x ( )x e, ∞∈ + ( )r' x 0< ( )r x ( )0,e ( )e, ∞+ ( ) ( ) 1r x r e e ∴ ≤ = ( ) ( )1 1φ x r x2 e ∴ ≥ > ≥ x 2 2 2 e lnx e x x ∴ ⋅ ﹤【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不 等式合理变形，转化为函数问题是解题关键，是难题. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题记分. 选修 4－4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系中，曲线 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 、 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线 与曲线 ， 分别交于 、 两点（异于极点 ），定点 ，求 的面积 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程； （2）先利用极坐标求出弦长 ，再求高，最后求 的面积． 【详解】（1）曲线 的极坐标方程为： ， 因为曲线 的普通方程为： ， 曲线 的极坐标方程为 ； （2） 由（1）得：点 的极坐标为 ， 点 的极坐标为 ， ， 点到射线 的距离为 的面积为 . 【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积 问题，考查计算能力，属于中等题. 2 2 1 2:C x y− = 2C 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = θ O x 1C 2C 6 πθ = 1C 2C A B O (3,0)M MAB∆ 2 2 2 2 1 : cos sin 2C ρ θ ρ θ− = 2 : 4cosC ρ θ= 3 3 3 2 − AB MAB∆ 1C 2 2 2 2cos sin 2ρ θ ρ θ− = 2C ( )2 22 4x y− + = 2 2 4 0.x y x∴ + − = ∴ 2C 4cosρ θ= A 2, 6 π     B 2 3, 6 π     ∴ 2 2 3 2 3 2AB = − = − ( )3,0M ( )06 πθ ρ= ≥ 33sin 6 2d π= = ∴ MAB∆ ( )1 1 3 3 3 32 3 22 2 2 2AB d −⋅ = × − × =选修 4-5：不等式选讲 23.设不等式 的解集为 M， . （1）证明： ； （2）比较 与 的大小，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】 试题分析： (1)首先求得集合 M，然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论； (2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|＞2|a-b|. 试题解析： （Ⅰ）证明：记 f (x) =|x-1|-|x+2|， 则 f(x)= ，所以解得- ＜x＜ ，故 M=(- , ). 所以，| |≤ |a|+ |b|＜ × + × = . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 0≤a2＜ ，0≤b2＜ . |1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0. 所以，|1-4ab|＞2|a-b|. 2 1 2 0x x− < − − + < ,a b M∈ 1 1 1 3 6 4a b+ < 1 4ab− 2 a b− |1 4 | 2 | |ab a b− > − 3 -2 1, 3, x   −  − ， 2 2 1 1. x x x ≤ − − < < ≥ 1 2 1 2 1 2 1 2 3 6 a b+ 1 3 1 6 1 3 1 2 1 6 1 2 1 4 1 4 1 4