百校联考 2020 年高考考前冲刺必刷卷（一）
文科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可以求出集合 ,然后进行交集的运算即可.
【详解】解： ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查描述法和列举法的定义，以及交集的运算.
2.已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数 是奇函数，且在 R 上是增函数
B. 函数 是偶函数，且在 R 上是增函数
C. 函数 是奇函数，且在 R 上是减函数
D. 函数 是偶函数，且在 R 上是减函数
【答案】A
【解析】
【分析】
求出 的定义域，判断 的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】 的定义域为 R，且 ；
∴ 是奇函数；
又 和 都是 R 上的增函数；
{ }1,2,4A = { }| 2 1B x x= − < A B =
{ }1,4 { }2,4 { }1,2 { }4
B
{ } { }| 2 1 | 1B x x x x= − < = >
{ }2,4A B =
1( ) ( )x xf x e e
= −
( )f x
( )f x
( )f x
( )f x
( )f x ( )f x
( )f x ( ) ( )x
x
1f x e f xe
− = − = −
( )f x
xy e= x1y ( )e
= −是 R 上的增函数．
故选 A．
【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．
3.函数 的定义域为( )
A. （2，3） B. （3，4] C. （2，4] D. （2，3）∪（3，4]
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数真数大于零，分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数
的定义域.
【详解】依题意 ，解得 .所以函数的定义域为 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
4.已知命题 p：∀x>0，ex>x+1；命题 q：∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1；下列命题为真命题的是( )
A. p∧q B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断命题 和 的真假性，由此确定正确选项.
【 详 解 】 令 ， 所 以 在 上 递 增 ， 所 以
，所以命题 为真命题.
当 时， ，所以命题 真命题.
所以 为真命题，A 选项正确，其它选项不正确.
故选：A
【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
5.已知集合 ，若 中只有一个元素，则实数 的值为（ ）
为
( ) x x1f x e ( )e
∴ = −
( ) 21 162y xlg x
= + −−
2
2 0
2 1
16 0
x
x
x
− >
− ≠
− ≥
( ) ( ]2,3 3,4x∈ ( ) ( ]2,3 3,4
p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q¬ ∧ ¬
p q
( ) ( )'1, 0, 1 0x xf x e x x f x e= − − > = − > ( )f x ( )0, ∞+
( ) ( )0 0f x f> = p
0 1x = ln1 1 1 0= − = q
p q∧
{ }2 2 2 0A x x ax a= + + ≤ A aA. 0 B. 0 或 C. 0 或 2 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意转化为抛物线 与 轴只有一个交点，只需 即可求解.
【详解】若 中只有一个元素，则只有一个实数满足 ，
即抛物线 与 轴只有一个交点，
∴ ，∴ 或 2.
故选：C
【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题.
6.函数 f（x）=（x2+2x）e2x 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数判断出 的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项.
【 详 解 】 由 于 ， 而 的 判 别 式 ， 所 以
开口向上且有两个根 ，不妨设 ，所以 在 上递增，在
上递减.所以 C,D 选项不正确.当 时， ，所以 B 选项不正确.由此得出 A 选项正确.
故选：A
【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题.
7.函数 的最小值为（ ）
2−
2 2 2y x ax a= + + x 24 8 0a a= − =△
A 2 2 2 0x ax a+ + ≤
2 2 2y x ax a= + + x
24 8 0a a= − =△ 0a =
( )f x
( ) ( )' 2 22 3 1 xf x x x e= + + ⋅ 2 3 1y x x= + + 9 4 5 0∆ = − = >
2 3 1y x x= + + 1 2,x x 1 2x x< ( )f x ( ) ( )1 2, , ,x x−∞ +∞
( )1 2,x x 2x < − ( ) 0f x >
2( ) log (4 1)xf x x= + −A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
首先将函数化为 ，令 ，利用基本不等式求出 ，然后再利用对数函数的单
调性即可求解.
【详解】 ，
令 则 ，当且仅当 时，取等号，
所以 ，
即函数 的最小值为 1.
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用对数型函数单调性求函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.
8.三个数 的大小顺序为( )
A. b ( )1 2f = ( ) 2f x x
<
( )1,1− ( ) ( )1,0 0,1−
( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ ( ),1−∞
( ) ( )g x xf x= ( ) ( )' 0x f x f x⋅ + > ( )g x
( ) ( )g x xf x= '( ) ( ) '( )g x f x xf x= + 0x > ( ) ( )' 0x f x f x⋅ + > '( ) 0g x >
( )g x [0, )+∞ (1) (1) 2g f= = ( )f x ( ) ( )f x f x=
2( )f x x
< ( ) 2x f x < 0x ≠ ( ) (1)g x g< 0x ≠ 0 1x< <
( ) ( )g x xf x=
2( ) xf x ax x xe= + − 0x ≥ ( ) 0f x ≤ a
[1, )+∞ ( ,0]−∞ ( ,1]−∞ [0, )+∞
( )( ) 1 xf x x ax e= + − ( ) 1xg x ax e= − + 1a ≤ 1a > ( )g x 1a ≤
( ) 0f x ≤ 1a > (0,ln )x a∈ ( ) 0g x > ( ) 0f x >
( )( ) 1 xf x x ax e= + −
( ) 1xg x ax e= − + ( ) xg x a e′ = −若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，
从而当 时， ，即 ，
若 ，则当 时， .
为增函数，而 ，
从而当 时，
即 ，不合题意.
综上可得， 的取值范围为 .
故选：C
【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13.设集合 ，若 ，则实数 _________．
【答案】5
【解析】
分析】
推导出 a﹣2＝3 或 a＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果．
【详解】解：∵集合 ， ，
∴ 或 ，
当 时， ，成立；
当 时， ，不满足集合中元素的互异性，不成立．
∴实数
故答案为：5．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.已知命题 ： ， ，若命题 为真命题，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
【
1a ≤ (0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x (0) 0g =
0x ≥ ( ) 0g x ≤ ( ) 0f x ≤
1a > (0,ln )x a∈ ( ) 0g x′ >
( )g x (0) 0g =
(0,ln )x a∈ ( ) 0g x >
( ) 0f x >
a ( ,1]−∞
{1, 2, }A a a= − 3 A∈ a =
{1, 2, }A a a= − 3 A∈
2 3a − = 3a =
2 3a − = 5a =
3a = 2 1a − =
5a =
p 0 [ 1,1]x∃ ∈ − 2 2
0 0 2 0a x ax+ − = p a
( , 1] [1, )−∞ − +∞根据题意可转化为方程 在 上有解，解方程可得 或 ，只需 或
，解不等式即可.
【详解】当命题 为真命题，即方程 在 上有解，
由 ，得 ，
显然 ∴ 或 ，∵ ，
故 或 ，∴ ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了由命题的真假性求参数的取值范围，同时考查了一元二次方程根的分布，属于基础题.
15.已知函数 ，则满足不等式 的实数 的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇偶性定义判断函数 为偶函数，再判断出 在 上为减函数， ，从
而将不等式转化为 ，根据函数为偶函数可得 ，解不等式即可.
【详解】函数 的定义域关于原点对称，
∵ 时， ， ，
同理： ，∴ 为偶函数.
易知 在 上为减函数，且 ，
即 ，即 ，
根据偶函数的性质知当 时，得 .
故答案为：
2 2 2 0a x ax+ − = [ 1,1]− 2x a
= − 1x a
= 2 1a
≤
1 1a
≤
p 2 2 2 0a x ax+ − = [ 1,1]−
2 2 2 0a x ax+ − = ( 2)( 1) 0ax ax+ − =
0a ≠ 2x a
= − 1x a
= [ 1,1]x∈ −
2 1a
≤ 1 1a
≤ | | 1a ≥
a ( , 1] [1, )−∞ − +∞
( , 1] [1, )−∞ − +∞
1
1
02 ,( ) 02 ,
x
x
xe xf x xe x
−
− −
≥ − −= x
( 1,1)−
( )f x ( )f x (0, )+∞ 0(1) 2 3f e= − − = −
( ) (1)f x f> | | 1x <
( )f x
0x > 0x− < 1( ) 2 ( )xf x e x f x−− = − − =
0x < ( ) ( )f x f x− = ( )f x
( )f x (0, )+∞ 0(1) 2 3f e= − − = −
( ) 3 0f x + > ( ) 3f x > − ( ) (1)f x f>
| | 1x < 1 1x− < <
( 1,1)−【点睛】本题考查了利用分段函数的性质解不等式，需掌握奇偶性定义以及指数型函数的单调性，属于中
档题.
16.已知函数 ，点 为函数 图象上一动点，则 到直线 距离的最小值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出与直线 平行的直线与曲线的切点，再根据点到直线的距离求出即可．
【详解】解： ， ，
与直线 平行的切线斜率 ，
解得 或 （舍去），
又 ，即切点 ，
则切点到直线 的距离为 ，
到直线 距离的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查用导数法求函数的切点问题，点到直线的距离公式．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 .求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）当 时，求出集合 和集合 ，由此能求出 ；
（2）求出集合 ，若 ，则 ，当 时，
( ) 23lnf x x x= − A ( )f x A y x=
2
y x=
( ) 3 2f x xx
′ = − ( )0x >
y x= 31 2k xx
= = −
1x = 3
2x = −
( )1 1f = − ( )1, 1−
y x= 1 1 2
2
d
+= =
A y x= 2
2
( ) ( )( ){ }2| 2 1 2 1 0A x x m x m m= − + + − + { }2 4B x x= −
1m = A B
B A⊆ m
{ }| 2 4A B x x= − ≤ ≤ ( ] [ ), 3 3,−∞ − +∞
1m = A B A B
{ | ( 1)( 2 1) 0)}A x x m x m= + − − − 0m { |1 2 1}A x m x m= − + 0m
≤
≥
1m = ( )1
2
2( ) log 2 3 8f x x x= − +
( )f x 1 ,22
22 3 8y x x= − +
24 2 8 3 55
8 8
× × − =
22 2 3 2 8 10× − × + = ( )f x 1 ,22
1 1
4 4
55log 10,log 8
1
4
logy x= (0, )+∞
2( ) 2 3 8g x mx x m= − + (4, )+∞
0,
3 4,4
(4) 0,
m
m
g
>
≤
≥
3
10m ≥ m 3 ,10
+∞
( ) ( ) ( )lnf x x a x x a= − − ∈R ( )f x ( )0, ∞+ 1x 2x
a
( ) ( )1 2 3 ln 2f x f x+ > +
( )2 2,+∞【分析】
（1）根据条件，由 得方程 有两不等的正实数根 ， ，求解得出答
案；
（2）结合韦达定理，将要证的目标转化为 的式子，再根据（1）中求出的 的范围去证明即可．
【详解】解：（1） ，
对函数 求导得 ，
函数 在 上存在两个极值点 ， ，
所以 在 上有两个解，
即方程 必有两个不等正根，
则 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，
（2）由题意知
，
由 ，
得 ，
即 .
【点睛】本题考查由函数极值点个数求参数范围，以及不等式的证明，还涉及一元二次方程的性质和韦达
定理的应用，考查转化能力和计算能力．
21.已知函数 为奇函数，且 的极小值为 . 为函数
22 1( ) x axf x x
− +′ = − 22 1 0x ax− + = 1x 2x
a a
( ) ( ) 2ln lnf x x a x x x ax x= − − = − + −
( )f x ( ) 22 1ax x
xf x′ − +−=
( )f x ( )0, ∞+ 1x 2x
( ) 22 1 0x x x
xf a− +′ = − = ( )0, ∞+
22 1 0x ax− + =
2
1 2
1 2
8 0
1 02
02
a
x x
ax x
= − >
= >
+ = >
2 2a >
a ( )2 2,+∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2ln lnf x f x a x x x x x x+ = + − + − +
2 2 211 ln 1 ln 22 4 2 4
a a a= − + − = + +
2 2a >
( ) ( )1 2 2 1 ln 2 3 ln 2f x f x+ > + + = +
( ) ( )1 2 3 ln 2f x f x+ > +
( ) ( ) ( )3 2 12 0ax a b x bf x x a= + + + > ( )f x 16− ( )f x′的导函数.
（1）求 和 的值；
（2）若关于 的方程 有三个不等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由 为奇函数可得 ，然后将 代入 中，求出 的极小值，根据 的极小
值为 ，可求出 ， 的值；
（2）构造函数 ，将问题转化为 与 轴有三个交点的问题，根据 的单
调性可得 ，从而求出 的取值范围．
【详解】解：（1）因为 是奇函数，
所以 恒成立，
则 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，
所以 的极小值为 ，
由 ，
解得 ，
所以 ， ，
( )f x
a b
x ( ) 32f x x m=′ + m
1a = 1b = − ( )12, 11− −
( )f x 0a b+ = = −b a ( )f x ( )f x ( )f x
16− a b
3 2( ) 2 3 12g x x x m= − + + ( )g x x ( )g x
(0) 0
(1) 0
g
g
>
( )f x ( )2,2− ( )2,+∞
( )f x ( )2f
( )2 8 24 16 16f a a a= − = − = −
1a =
1a = 1b = −（2）由（1）可知 ， ，
方程 ，
即为 ，
即方程 有三个不等的实数根，
设 ，只要使曲线有 3 个零点即可，
设 ，
或 分别为 的极值点，
当 和 时，
， 在 和 上单调递增，
当 时 ，
在 上单调递减，
所以， 为极大值点， 为极小值点.
所以要使曲线与 轴有 3 个交点，当且仅当 ，
即 ，
解得 .
即实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和函数思想．
22.已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
（2）若函数 存在两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
( ) 3 12f x x x= − ( ) 23 12f x x′ = −
( ) 32f x x m=′ +
2 33 12 2x x m− = +
3 22 3 12 0x x m− + + =
( ) 3 22 3 12g x x x m= − + +
( ) 26 6 0g x x x′ = − =
0x∴ = 1x = ( )g x
( ),0x∈ −∞ ( )1,+∞
( ) 0g x′ > ( )g x ( ),0−∞ ( )1,+∞
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ <
( )g x ( )0,1
0x = 1x =
x
( )
( )
0 0
1 0
g
g
>
+ ⇒ − > ⇒ < <
( ) ( )0 2 0 0h x x x x′ < ⇒ − < ⇒ < 2x >
( )h x ( ),0−∞ ( )0,2 ( )2,+∞
( )0 0h = 0x > ( ) 0h x >
( )1y a x= − ( )1,0 a
( ) 2
2exh x x=当 时，直线 与 的图象必有两个交点，
当 时直线 与 的图象只有一个交点，
综上，函数 存在两个零点，实数 的取值范围为 .
点睛】本题考查将方程分离成两部分，数形结合考查函数图象的交点个数问题是求解函数零点（方程根）
的个数问题的一种常见方法.
【
0a < ( )1y a x= − ( ) 2
2exh x x=
0a ( )1y a x= − ( ) 2
2exh x x=
( )f x a ( ),0−∞
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