百师联盟 2020 届全国高三开学摸底大联考 全国卷
文科数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若复数 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用复数的除法计算得解.
【详解】由题得 .
故选：B
【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合 B,再求 得解.
【详解】由题得 ，
因为 ，
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查对数函数的定义域的求法，考查集合的并集运算，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等
.
1 2 2iz = − 2 1z i= + 1
2
z
z
=
2i 2i− 2 2i− 2 2i+
1
2
(2 2 )(1 ) 4 2(1 )(1 ) 2
z i i i iz i i
− − −= = = −+ −
{ | 3 1}A x x= − < ( ){ }2| lg 2B x y x= = − A B =
[ 2,1]− ( 2,1]− [ 3, 2)− ( 3, 2)−
A B
( 2, 2)B = −
{ | 3 1}A x x= − <
( 3, 2)A B = −奖所在扇形区域的圆心角分别为 ， 和 ，则抽奖一次中一等奖的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用几何概型的概率公式求解.
【详解】由几何概型的概率公式得抽奖一次中一等奖的概率 .
故选：D
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4.已知实数 满足 则 的最小值为（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求 的最小值.
【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示，
.
20° 50° 60°
13
36
17
36
19
36
1
18
20 1
360 18P
°= =°
,x y
2,
2,
0,
y
x y
x
+
x y−
2−
x y−设 ，它表示斜率为 1，纵截距为-z 的直线系，
当直线经过点 A(0,2)时，直线的纵截距-z 最大，z 最小.
所以 .
故选：C
【点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5.已知椭圆 ， 为其左、右焦点， ， 为短轴的一个端点，三
角形 （ 为坐标原点）的面积为 ，则椭圆的长轴长为（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知求出 b，c, 再求出 a 得解.
【详解】由题得 ， ，又 ，
解得 ， ，
所以长轴长为 8.
故选：B
【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6.函数 的单调递增区间为（ ）
,z x y y x z= − ∴ = −
min 0 2 2= − = −z
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 1 2 2 2F F = B
1BFO O 7
1 33
2
+
1 33+
2c = 1 72 bc = 2 2 2c a b= −
14b = 4a =
( )2
1
2
( ) log 6 8f x x x= − − +A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解.
【详解】由题得函数 定义域为 ，
函数 或 ）的增区间为 ，
函数 在定义域内是减函数， 在定义域内是减函数，
由复合函数的单调性得 的单调递增区间为 .
故选：A
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，
上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米
四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第
四节竹子的装米量为（ ）
A. 1 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得 ，由等差数列的性质即可直接得解.
【详解】设竹子自下而上 各节容米量分别为 ， … ，
则有 ，由等差数列的性质可得 ，所以 ．
故选：B.
【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.
8.如图，在梯形 中， ， ，设 ， ，则 （ ）
的
(4, )+∞ ( ,2)−∞ (3, )+∞ (3,4)
( )f x ( ,2) (4, )−∞ ∪ +∞
2 6 8( 4u x x x= − + > 2x < (4, )+∞
1
2
logv u= k v= −
( )f x (4, )+∞
3
2
2
3
4
3
1 2 6 7 6a a a a+ + + =
1a 2a 7a
1 2 6 7 6a a a a+ + + = 1 7 42 3a a a+ = = 4
3
2a =
ABCD 2BC AD= DE EC= BA a= BC b= BE =A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取 中点 ，再利用向量的线性运算求解即可.
【详解】
取 中点 ，则 .
故选：D
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
9.执行如图所示的程序框图，则输出 的值为( )
A. 3 B. 2020 C. 3030 D. 1010
【答案】C
1 1
2 4a b+
r r 1 5
3 6a b+ 2 2
3 3a b+
r r 1 3
2 4a b+
BC F
BC F 1 1 1 3 1
2 2 2 4 2BE BC CE BC FA BC BA BC BC BA = + = + = + − = +
1 3
2 4a b= +
S【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】解：模拟程序的运行，可得
， ， ， ， ，
可知 ，
当 时， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属
于基础题．
10.在一次考试后，为了分析成绩，从 1、2、3 班中抽取了 3 名同学（每班一人），记这三名同学为
，已知来自 2 班的同学比 成绩低， 与来自 2 班的同学成绩不同， 的成绩比来自 3 班的同
学高.由此判断，下列推断正确的为（ ）
A. 来自 1 班 B. 来自 1 班 C. 来自 3 班 D. 来自 2 班
【答案】B
【解析】
【分析】
由题分析得 不是来自 2 班， 不是来自 2 班， 来自 2 班，再进一步分析得解.
【详解】由题得， 不是来自 2 班， 不是来自 2 班，
所以 来自 2 班，又 的成绩比来自 2 班的同学高， 的成绩比来自 3 班的同学高，
所以 不能来自 3 班，只能来自 1 班.
故选：B
【点睛】本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.已知函数 的图像关于直线 对称，在 时， 单调递增.若 ，
， （其中 为自然对数的底， 为圆周率），则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
S
1 0a = 2 3a = 3 2a = − 4 5a = 5 4a = − 6 7a = …
1 2 3 4 3a a a a+ = + =…=
2020i = 1010 3 3030S = × =
、 、A B C B A C
A B C A
B A C
B A
C B C
B
( 2)y f x= − 2x = (0, )x∈ +∞ ( )f x ( )ln34a f=
1
3
e
b f
=
1lnc f π
= e π , ,a b c
a c b> > a b c> > c a b> > c b a> >【分析】
由题得函数 的图像关于 轴对称，且 时， 单调递增，再求出 ， ，
，即得解.
【详解】因为函数 的图像关于直线 对称，
所以函数 的图像关于 轴对称，且 时， 单调递增，
又 ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能
力.
12.四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ，异面直线 与 所
成的角的余弦值为 ，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，将其补成长方体.设 ，连接 ，利用余弦定理求出 x=1,再求出几何体外接球的半径，即得
解.
【详解】如图，将其补成长方体.设 ，连接 ，
( )f x y (0, )x∈ +∞ ( )f x ln34 4> 10 13
e < ln34 4> 10 13
e <
a c b> >
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD AC PD
10
5
48π 12π 36π 9π
PA x= 1B C
PA x= 1B C则异面直线 与 所成的角就是 或其补角.
则 ，
所以 ，
所以外接球的半径为 ，
所以棱锥外接球的表面积为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查余弦定理和几何体外接球的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.命题 ， ， 的否定为______.
【答案】 ，
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定得解.
【详解】因为命题 ， ， 是全称命题，
所以它的否定为 ， .
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
14.已知 在 时取得最大值，则 _____.
【答案】2
【解析】
【分析】
AC PD 1ACB∠
2 2
1 2 2
10 8 4 4cos 5 2 2 2 2
x xACB
x
+ + − −∠ = =
× × +
1x =
2 2 21 31 2 22 2
+ + =
234 92
π π × =
:p x∀ (0,1)y∈ 2x y+ <
0 0, (0,1)∃ ∈x y 0 0 2x y+
:p x∀ (0,1)y∈ 2x y+ <
0 0, (0,1)∃ ∈x y 0 0 2x y+
0 0, (0,1)∃ ∈x y 0 0 2x y+
( ) sin ( 0, 10)3f x A x A
πω ω = + ≠ > 1 2,F F 2F A by xa
= A
B 2F B BA=
2【解析】
【分析】
先求出 ， ，将点 B 坐标代入双曲线方程得 ，即得解.
【详解】由题得 所在的直线方程为 ，与直线 的交点为 .
因为 ，所以 为线段 的中点，
所以 ，
将点 B 坐标代入双曲线方程得
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17.在 中， 分别为角 对应的边，已知： .
（1）求 ；
（2）若 ， 为 边上的点，且 ， ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理化简 得 ；（2）由正弦定理得
，再求出 ，即得 的面积.
【详解】（1）由
2
,a abA c c
2 2
,2 2
c a abB c c
+
2 22c a=
2F A ( )ay x cb
= − − by xa
=
2
,a abA c c
2F B BA= B 2F A
2 2
,2 2
c a abB c c
+
( )22 2 2 2
2 2 2 2
2 24 4
a c a bb a a bc c
+
× − × =
2 22c a=
2ce a
= =
ABC , ,a b c , ,A B C ( )2 2 2 210 cos 6 cos 3b B ab C b c a= + + −
cos B
2AB = D BC 2BD DC= 5
6ADC
π∠ = ADC
3
5
12 16 3
25
+
( )2 2 2 210 cos 6 cos 3b B ab C b c a= + + − 3cos 5B =
16
5AD = 3 4 3sin 10BAD
+∠ = ADC
( )2 2 2 210 cos 6 cos 3b B ab C b c a= + + −得 .
所以 .
所以 .
所以 .
所以
所以 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，即 得 .
又 .
所以 .
所以 .
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平.
18.如图，三角形 所在平面垂直四边形 所在平面， ， ，
， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求棱锥 的高.
( )2 2 2 210 cos 6 cos 3cb B abc C c b c a= + + −
( )2 2 23
5 cos 3 cos 2
c b c a
b B a C bc
+ −
= +
5 cos 3 cos 3 cosb B a C c A= +
5sin cos 3sin cos 3sin cosB B A C C A= +
5sin cos 3sin( ) 3sinB B A C B= + =
3cos 5B =
4sin 5B =
sin sin
AD AB
B ADB
= ∠
2
4 1
5 2
AD = 16
5AD =
3 4 3sin sin 6 10BAD B
π + ∠ = + =
1 24 32 3sin2 25ABDS AB AD BAD
+= × × ∠ =
1 12 16 3
2 25ADC ABDS S
+= =
DCF ABCD 2AB AD FC= = = 5BC =
90ADC DAB FCD∠ = ∠ = ∠ = ° ,N P ,AF BC
/ /PN FDC
A BDF−【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取 中点 ，连接 ，先证明平面 平面 ， 平面 即得证；（2）
设棱锥 的高为 ，求出 ，再解方程
得解.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，因为 平面 FDC, 平面 FDC,
所以 平面 .
由题得 ，因为 平面 FDC, 平面 FDC,
所以 平面 .
因为 平面 MNP, ,
由面面平行的判定定理得平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 .
（2）由 是直角梯形， ， ， ，
得 ，
又平面 平面 ， ， 平面 .
.
设棱锥 的高为 ，
， .
4 17
17
AD M ,PM MN / /PMN FDC / /PN FDC
A BDF− h 4
3A BDF F ABDV V− −= =
1 1 4173 3 3A BDF BDFV S h h− = × × = × × =
AD M ,PM MN
,P N ,BC AF
/ /MN FD MN ⊄ FD ⊂
/ /MN FDC
/ /PM CD PM ⊄ CD ⊂
/ /PM FDC
,MN PM ⊂ MN PN N∩ =
/ /PMN FDC
PN ⊂ PMN
/ /PN FDC
ABCD 90ADC DAB∠ = ∠ = ° 2AB AD= = 5BC =
3CD =
PCD ⊥ ABCD FC CD⊥ FC ⊥ ABCD
1 1 1 1 42 2 23 2 3 2 3A BDF F ABDV V AB AD FC− −= = × × × × = × × × × =
A BDF− h
2 2 13FD FC CD= + = 2 2 2 2BD AD AB= + =，所以 .
所以 ，
.
.
得 .
所以棱锥 的高为 .
【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的
理解掌握和计算水平.
19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用
移动支付方式是否与年龄有关，对某地 200 人进行了问卷调查，得到数据如下：60 岁以上的人群中，习惯
使用移动支付的人数为 30 人；60 岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为 40 人.已知在全部 200
人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为 0.6.
（1）完成如下的列联表，并判断是否有 的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.
习惯使用移动支付 不习惯使用移动支付 合计（人数）
60 岁以上
60 岁及以下
合计（人数） 200
（2）在习惯使用移动支付的 60 岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：
每月支付金额 300 以上
人数 15 5
现采用分层抽样的方法从中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中有 1 人月支付金额超过 3000
2 2 3FB BC CF= + =
2 2 2 2cos 2 6
BD FB FDDBF BD FB
+ −∠ = =× ×
2
2 34sin 1 6 6DBF
∠ = − =
1 1 34sin 2 2 3 172 2 6BDFS BD FB DBF= × × × ∠ = × × × =
1 1 4173 3 3A BDF BDFV S h h− = × × = × × =
4 17
17h =
A BDF− 4 17
17
99.9%
[100,2000] (2000,3000]
x元的概率.
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）表格见解析，有 的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关；（2）
【解析】
【分析】
（1）完成列联表，再利用独立性检验计算判断得解；（2）利用古典概型的概率公式求这 2 人中有 1 人月
支付金额超过 3000 元的概率.
【详解】（1）列联表如图：
习惯使用移动支付 不习惯使用移动支付 合计（人数）
60 岁以上 30 40 70
60 岁及以下 90 40 130
合计（人数） 120 80 200
.
所以有 的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.
（2）由（1）得 ，
所以在抽取的 6 人中，月支付金额在 的有 3 人，记为 ；
在 的为 2 人，记为 ；3000 以上的为 1 人，记为 .则从 6 人中抽取两人，共有 ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
99.9% 1
3
2 200 2400 2400 1200 13.187 10.82870 130 120 80 91K
× ×= = ≈ >× × ×
99.9%
10x =
[100,2000] 1 2 3, ,A A A
(2000,3000) 1 2,B B C ( )1 2,A A
( )1 3,A A ( )1 1,A B ( )1 2,A B ( )1,A C ( )2 3,A A ( )2 1,A B ( )2 2,A B ( )2 ,A C ( )3 1,A B， ， ， 15 种取法.
其中共有 ， ， ， ， 5 种符合条件，
所以 .
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算和独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20.已知圆 ，点 在圆内，在过点 P 所作的圆的所有弦中，弦长最
小值为 .
（1）求实数 a 的值；
（2）若点 M 为圆外的动点，过点 M 向圆 C 所作的两条切线始终互相垂直，求点 M 的轨迹方程.
【答案】（1） 或 4；（2） 或
【解析】
【分析】
(1)由题点 P 与圆心的连线与弦垂直,即点 P 为弦的中点时,过点 P 的弦长最短.再根据垂径定理求解实数 a
的值即可.
(2)根据圆的性质可得点 M 的轨迹为 为圆心,以 为半径的圆,再根据(1)中的两种情况求解即可.
【详解】（1）由圆
得到圆心坐标为
点 在圆内,
所以
解得 ,
由圆的弦的性质可知,点 P 与圆心的连线与弦垂直,
即点 P 为弦的中点时,过点 P 的弦长最短
在过点 P 所作的圆的所有弦中,弦长最小值为 .
所以 ,
解得 或 4,（符合 ）.
（2）由（1）可知, 或 时,因为过点 M 向圆 C 作的两条切线总互相垂直,所以由圆的切线的性质
可知两条切线和垂直于切线的两条半径构成的四边形为正方形,
.
( )3 2,A B ( )3,A C ( )1 2,B B ( )1,B C ( )2 ,B C
( )1,A C ( )2 ,A C ( )3,A C ( )1,B C ( )2 ,B C
5 1
15 3P = =
2 2:( ) ( 1) 13( )C x a y a− + − = ∈R ( )3,3P
4 2
2 2 2( 2) ( 1) 26x y− + − = 2 2( 4) ( 1) 26x y− + − =
( ),1a 26
2 2:( ) ( 1) 13( )C x a y a− + − = ∈R
( ),0a
( )3,3P
2 2( 3) (1 3) 13a − + − <
0 6a< <
4 2
2 2 2( 3) (1 3) (2 2) 13a − + − + =
2a = 0 6a< <
2a = 4a =且边长为 ,对角线长为 ,
所以,点 M 的轨迹为 为圆心,以 为半径的圆
所以点 M 的轨迹方程为
或 .
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及轨迹方程的求解,属于中等题型.
21.函数 .
（1）讨论函数 f(x)的单调性；
（2）设 ，当 a>0 时，证明： 恒成立.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）由题意可知 ， ，再对 分情况讨论，分别分析函数 的单调性；
（2）要证 ，只需证 ，设 ，利用导数得到 在
时取得极小值，所以 ，再令 ，利用导数得到 在 时取
得极小值，所以最小值为 ，从而得出当 时， 恒成立，即 恒成立．
【详解】解：（1）由题意可知 ， ，
①当 时， ， 在 上单调递增，
②当 时，
．当 时， ，所以 在 上单调递减，
．当 时， ，
．当 时， ，所以 在 上单调递增；
（2）要证 ，所以只需证 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
在 时取得极小值，即为最小值 ，
13 26
( ),1a 26
2 2( 2) ( 1) 26x y− + − = 2 2( 4) ( 1) 26x y− + − =
2 1( ) ln ,af x x a Rx a
= + + ∈
( ) 2ag x x
= + ( ) ( ) 0f x g x− ≥
0x > 2 2
1 2 2( ) a x af x x x x
−′ = − = a ( )f x
( ) ( ) 0f x g x−
1 2 0alnx x a
+ + −
1( ) 2ah x lnx x a
= + + − ( )h x x a=
( ) ( ) 1 1minh x h a lna a
= = + − ( ) 1 1m a lna a
= + − ( )m a 1a =
( )1 0m = 0a > ( ) 0h x ( ) ( ) 0f x g x−
0x > 2 2
1 2 2( ) a x af x x x x
−′ = − =
0a ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a >
i 0 2x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0,2 )a
ii 2x a= ( ) 0f x′ =
iii 2x a> ( ) 0f x′ > ( )f x (2 , )a +∞
( ) ( ) 0f x g x−
1 2 0alnx x a
+ + −
1( ) 2ah x lnx x a
= + + − 2 2
1( ) a x ah x x x x
−′ = − =
(0, )x a∈ ( ) 0h x′ < x a= ( ) 0h x′ = ( , )x a∈ +∞ ( ) 0h x′ >
( )h x∴ x a= ( ) ( ) 1 1minh x h a lna a
= = + −令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
在 时取得极小值，即最小值为 ，
当 时， 恒成立，即 恒成立．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，属于中档题．
22.在平面直角坐标系 中，直线 的倾斜角为 ，且过点 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）当曲线 上的点到直线 的最大距离为 时，求直线 的直角坐标方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．
（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结
果．
【详解】解：（1）由 （ 为参数）得
所以 .
所以曲线 的直角坐标方程为 .
（2）直线 的方程为 ，即 .
设曲线 上任一点 ，则点 到直线 的距离
（其中 ）.
( ) 1 1m a lna a
= + − ( ) 2 2
1 1 1am a a a a
−′ = − =
(0,1)a∈ ( ) 0m a′ < 1a = ( ) 0m a′ = (1, )∈ +∞a ( ) 0m a′ >
( )m a∴ 1a = ( )1 0m =
∴ 0a > ( ) 0h x ( ) ( ) 0f x g x−
xOy l 4
π
(5, )M a C
4cos ,
3sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
C
C l 5 2 l
2 2
116 9
x y+ = 5 0x y− + = 5 0x y− − =
4cos ,
3sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
cos ,4
sin .3
x
y
θ
θ
=
=
2 2
2 2sin cos4 3
x y θ θ + = +
C
2 2
116 9
x y+ =
l 5y a x− = − 5 0x y a− + − =
C (4cos ,3sin )M θ θ M l
| 4cos 3sin ( 5) | |5cos( ) ( 5) |
2 2
a ad
θ θ θ ϕ− + − + + −= = 3tan 4
ϕ =①当 时， ，解得 .
②当 时， ，解得
综合①②可知
直线 的直角坐标方程为 或 .
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应
用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的解集为实数集 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 写为分段函数的形式，然后根据 ，分别解不等式即可；
（2）由（1）知 ，然后根据 的解集为实数集 ，可得 ，再解关于
的不等式即可．
【详解】（1）由题可得
， 或 ，
或 ， ，
所以不等式的解集为 .
（2）由（1）可得
若 的解集为 ，只需 .
解得 或 ，
5a − > 0 max
5 5 5 2
2
ad
+ −= = 10a =
5 0a − < max
| 5 5| 10 5 2
2 2
a ad
− + − −= = = 0a =
l 5 0x y− + = 5 0x y− − =
( ) | 1| | 2 |f x x x= + − −
( ) 1f x < −
( ) | 1|f x a − R a
( ,0)−∞ ( , 2] [4, )−∞ − ∪ +∞
( )f x ( ) 1f x < −
( ) 3maxf x = ( ) | 1|f x a − R ( ) | 1|maxf x a − a
3, 1,
( ) 2 1, 1 2,
3, 2,
x
f x x x
x
− −
= − − <
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