百师联盟 2020 届全国高三开学摸底大联考全国卷理科数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意 ，再由集合并集的概念直接计算即可得解.
【详解】由题意 ，
所以 ．
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和集合并集的运算，属于基础题.
2.已知命题 ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.
【详解】命题 ， 的否定为“ ， ”．
故选 D
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.
3.已知实数 满足 则 的最大值为( )
A. 7 B. 5 C. 4 D.
{ }| 3 1A x x= − < ≤ { }2| 2B x y x= = − A B =
2,1 − ( 2,1− 3, 2 − ( 3, 2−
{ }| 2 2B x x= − ≤ ≤
{ } { } { }2 2| 2 | 2 0 | 2 2B x y x x x x x= = − = − ≥ = − ≤ ≤
{ } { } { } (| 3 1 | 3| 2 2 2 3, 2x xA B x x x x ∪ = − − < ≤ = − < ≤ =≤ ≤ ∪ −
: , (0,1)∀ ∈P x y 2x y+ < P
, (0,1)∀ ∈x y 2x y+ ≥ , (0,1)∀ ∉x y 2x y+ ≥
0 0, (0,1)∃ ∉x y 0 0 2+ ≥x y 0 0, (0,1)∃ ∈x y 0 0 2+ ≥x y
: , (0,1)∀ ∈P x y 2x y+ < 0 0, (0,1)∃ ∈x y 0 0 2+ ≥x y
,x y
2,
2,
1 0,
y
x y
x y
+
− +
3 2x y+
9
2【答案】A
【解析】
【分析】
画出已知约束条件对应的可行域，求出直接，代入目标函数，得到结果．
【详解】解：实数 ， 满足 对应的可行域如下图所示：
由 解得 ， 经过可行域的 时，
目标函数取得最大值．
当 ， 时， ，
故 的最大值为 7，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法，
属于基础题．
4.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等
奖所在扇形区域的圆心角分别为 ， 和 ，则抽奖一次中一等奖的概率为( )
x y
2
2
1 0
y
x y
x y
+
− +
2
1 0
y
x y
=
− + = (1,2)A 3 2z x y= + A
1x = 2y = 3 2 7z x y= + =
3 2z x y= +
20° 50° 60°A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由测度比是圆心角的弧度数比求解．
【详解】解： 一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为： ， 和 ，
且三等奖对应等圆心角的两个区域，转动一次转盘指针指向位置是等可能的，
抽奖一次中奖的概率 ．
故选：C．
【点睛】本题考查几何概型概率的求法，明确测度比是圆心角的弧度数比是关键，属于基础题．
5.已知 为圆 上任一点， ， 为直线 ： 上 两个动点，且 ，
则 面积的最大值为（ ）
A. 9 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出圆上点到直线的最远距离为 ，利用面积公式即可得解.
【详解】由题意知圆 的圆心为 ，半径为 1，
则圆心到直线的距离为 ，
所以圆上的点到直线的最大距离为 ，
所以 的最大值为 ．
故选：B.
的
13
36
17
36
19
36
5
9
20° 50° 60°
∴ 20 50 2 60 190 19
360 360 36P
° + ° + × °= = =°
P ( )2 21 1x y+ + = A B l 3 4 7 0x y+ − = 3AB =
PAB∆
9
2
3
2
3
( )2 21 1x y+ + = ( )1,0−
2 2
3 7 3 7 253 4
− − − −= =
+
2 1 3+ =
PABS∆
1 93 32 2
× × =【点睛】本题考查了圆上点到直线距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.
6.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，
上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米
四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第
四节竹子的装米量为（ ）
A. 1 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得 ，由等差数列的性质即可直接得解.
【详解】设竹子自下而上的各节容米量分别为 ， … ，
则有 ，由等差数列的性质可得 ，所以 ．
故选：B.
【点睛】本题考查了等差数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.
7. 梯形 中， ，设 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的三角形法则得出 ，进而求出 ，最后利用 ，即可求解
【详解】 ， ，
， ，
答案选 D
【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题
8.执行如图所示的程序框图，则输出 的值为( )
在
3
2
2
3
4
3
1 2 6 7 6a a a a+ + + =
1a 2a 7a
1 2 6 7 6a a a a+ + + = 1 7 42 3a a a+ = = 4
3
2a =
ABCD 2 ,BC AD DE EC= = ,BA a BC b= = BE =
1 1
2 4a b+ 1 5
3 6a b+
2 2
3 3a b+ 1 3
2 4a b+
AC CE BE BC CE= +
AC AB BC a b= + = − + AC AD DC− =
2 2
b ba b a= − + − = − +
2 2 4
CD a bCE = = −
2 4
a bBE BC CE b= + = + −
1 3
2 4a b= +
SA. 3 B. 2020 C. 3030 D. 1010
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】解：模拟程序的运行，可得
， ， ， ， ，
可知 ，
当 时， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属
于基础题．
9. 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A. 100 B. 300 C. 500 D. 110
【答案】A
【解析】
【分析】
转 化 条 件 得 ， 则 可 写 出 其 通 项 公 式
，通过分别给 、 赋值令 ，即可得解.
S
1 0a = 2 3a = 3 2a = − 4 5a = 5 4a = − 6 7a = …
1 2 3 4 3a a a a+ = + =…=
2020i = 1010 3 3030S = × =
( ) ( )5 102 2 2 1x x x x+ − + 7x
( ) ( ) ( ) ( )5 10 5 202 2 22 1 1x x x x x x x+ − + = + −
( ) ( )30
1 1 5 201 k r kr k
r kT T C C x − +
+ + = − r k 23r k+ =【详解】由题意 ，
则其通项公式为： ，
其中 ， ，则 ，
所以可取 ， ，此时 ；
， ，此时 ；
， ，此时 ；
所以 项的系数为 ．
故选：A.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.
10.已知函数 在 上有且仅有三个零点，则 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角
函数的有界性，转化求解即可．
【详解】解：函数 ，
函数 在 上有且仅有三个零点，
就是 在 上有且仅有三个解，则 或 ；
，解得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中
( ) ( ) ( ) ( )5 10 5 202 2 22 1 1x x x x x x x+ − + = + −
( ) ( ) ( ) ( )5 302 20
1 1 5 20 5 201 1r k k r kr r k k r k
r kT T C x x C x C C x
− − +−
+ + = ⋅ − = −
0 5r≤ ≤ 0 20k≤ ≤ 23r k+ =
3r = 20k = ( )20 3 20
5 201 10C C− =
4r = 19k = ( )19 4 19
5 201 100C C− = −
= 5r 18k = ( )18 5 18
5 201 190C C− =
7x 10 100 190 100− + =
( ) sin 3cos 3( 0)f x x xω ω ω= + − > 0, 2
π
ω
10 14,3 3
10 14,3 3
144, 3
144, 3
( ) sin 3cos 3 2sin( ) 33f x x x x
πω ω ω= + − = + −
( ) sin 3cos 3( 0)f x x xω ω ω= + − > 0, 2
π
3sin( )3 2x
πω + = 0, 2
π
23 3x k
π πω π+ = + 22 3k
ππ +
∴ 22 23 2 3 3
π ωπ π ππ π+ + < +
144, 3
ω ∈ 档题．
11.如图，四棱锥 中，底面为直角梯形 ， ， 为 上靠近
点 的三等分点，则三棱锥 与四棱锥 的体积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等积法可知， ，再根据点 到面 的距离等于点 到面 的距离的 ，以
及 ，即可求出．
【详解】设点 到面 的距离为 ，所以点 到面 的距离等于 ．
又 ，所以 ．而 ，
故 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等积法的应用，以及棱锥的体积公式的应用，意在考查学生的转化能力，属于基础
题．
12.双曲线 ： ， ， 为其左､右焦点，线段 垂直直线 ，垂足为点
，与 交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
P ABCD− 90BAD ADC °∠ = ∠ = 2
3AB CD= E PC
C B CDE− P ABCD−
1
9
1
5
1
6
1
3
B C D E E B C DV V− −= E ABCD P ABCD 1
3
3
5
BCD
ABCD
S
S
=
P ABCD d E ABCD 1
3 d
2
3AB CD= 3
5
BCD
ABCD
S
S
=
B C D E E B C DV V− −=
1 1
1 3 13 3
1 3 5 5
3
BCD
B CDE E BCD
P ABCD P ABCD
ABCD
d SV V
V V d S
− −
− −
× ×
= = = × =
× ×
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1F 2F 2F A by xa
=
A C B 2F B BA= C
2 3【答案】A
【解析】
【分析】
由题意 ， 所在的直线方程为 ，求出点 ，进而求得 ，
代入双曲线的方程化简后得 ，利用 即可得解.
【详解】由题意 ，
线段 垂直直线 ， ，
所在的直线方程为 ，与直线 的交点为 ，
， 为线段 的中点，
，
代入双曲线方程得 ，得 ，
．
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若复数 ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】解： ，
( )2 ,0F c 2F A ( )ay x cb
= − −
2
,a abA c c
2 2
,2 2
c a abB c c
+
2 22c a=
2
2
ce a
=
( )2 ,0F c
2F A by xa
= ∴
2F A
ak b
= −
∴ 2F A ( )ay x cb
= − − by xa
=
2
,a abA c c
2F B BA= ∴ B 2F A
∴
2 2
,2 2
c a abB c c
+
( )22 2 2 2
2 2 2 2
2 24 4
a c a bb a a bc c
+
× − × = 2 22c a=
∴ 2
2 2ce a
= =
2 2 21
iz i
−= ++ | |z =
2 2
22 2 2(1 )2 2 2 21 (1 )(1 )
i iz ii i i
− −= + = + = − ++ + −．
故答案为： ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
14.在一次考试后，为了分析成绩，从 1，2，3 班中抽取了 3 名同学(每班一人)，记这三名同学为 ､ ､
，已知来自 2 班的同学比 成绩低， 与来自 2 班的同学成绩不同， 的成绩比来自 3 班的同学高．由
此判断，来自 1 班的同学为______．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意先确定 C 来自 2 班，再根据“来自2 班的同学比 成绩低， 的成绩比来自 3 班的同学高”，即可得
解.
【详解】由题， 不是来自 2 班， 不是来自 2 班，所以 来自 2 班，
又 的成绩比来自 2 班的同学高， 的成绩比来自 3 班的同学高，
所以 不能来自 3 班，只能来自 1 班.
故答案为：B.
【点睛】本题考查了简单的逻辑推理的应用，属于基础题.
15.数列 中，其前 项和为 且 ，则 _____.
【答案】9217
【解析】
【分析】
首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．
【详解】解：数列 中，其前 项和为 且 ，①当 时，解得 ．当 时，
且 ，②，
② ①得 ，整理得 （常数），故数列 是以 为首项 为公差的等
差数列，
所以 ，整理得
所以 ①， ②，
2 2| | 2 ( 2) 2 2z∴ = + − =
2 2
A B
C B A C
B C
B A C
B C
B
{ }na n nS 2 2 1n
n nS a= − + 10S =
{ }na n nS 2 2 1n
n nS a= − + 1n = 1 1a = 2n
1
1 12 2 1n
n nS a +
+ += − +
− 1
1 2 2 2n n
n na a+
+ − = − 1
1
1
2 2 2
n n
n n
a a+
+ − = { }2
n
n
a 1
2
1
2
1 1 1( 1)2 2 2 2
n
n
a n n= + − = 12n
na n −=
0 1 11 2 2 2 2n
nS n −= + +…+
1 22 1 2 2 2 2n
nS n= + +…+ ① ②得 ，整理得 ，
所以 ．
故答案为：9217
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相
减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.
16.若函数 在其定义域上的最小值为 0，则 最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意 ，当 时， 恒成立，不存在最小值.
当 时，则存在 使得 ，得到 ，可得： ．令 ，利用导
数研究其单调性即可得出．
【详解】由题意 ，当 时， 恒成立， 单调递增，∴
不存在最小值.
当 时，则存在 使得 ，即 ，使得 在 上单调递减，
在 上单调递增，∴ ，
可得： ．
令 ， ，
当 时， 取得极小值： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查
了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
− 1(1 2 2 ) 2n n
nS n−− = + +…+ − ( 1) 2 1n
nS n= − +
10
10 9 2 1 9216 1 9217S = + = + =
1( ) xf x e x ba
= − − 2a b
2
1
e
−
1( ) xf x e a
′ = − 0a < ( ) 0f x′ >
0a > 0x 1( ) 0xf x e a
′ = − = 0 1xe a
=
0
2 01
x
xa b e
−= 1( ) t
th t e
−=
1( ) xf x e a
′ = − 0a < 1( ) 0xf x e a
′ = − > 1( ) xf x e x ba
= − −
0a > 0x 1( ) 0xf x e a
′ = − = 0 1xe a
= 1( ) xf x e x ba
= − − 0(0, )x
0( , )x +∞ 0
0 0
1( ) 0xf x e x ba
= − − =
0
2 01
x
xa b e
−=
1( ) t
th t e
−= 2( ) t
th t e
−′ =
∴ 2t = ( )h t 2
1
e
−
2
1
e
−17.在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 ；
（2）若 ，三角形的面积 ，求 ．
【答案】（1） ．（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意结合正弦定理得 ，再由余弦定理可得 ，即可得解；
（2）由（1）结合三角形面积公式可得 ，则利用余弦定理可得
，计算即可得解.
【详解】（1）由 得 ，
由正弦定理得 即 ，
， ，
由 可得 ．
（2）由（1）知 ，
则 ，解得 ，
又 ， ，
解得 ．
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.
18.如图所示的多面体的底面 为直角梯形，四边形 为矩形，且 ， ，
， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点．
ABC∆ A B C a b c
( ) ( )sin sin sina c A c A B b B− + + =
B
8a c+ = 4 3ABCS∆ = b
3
π
4
2 2 2a c b ac+ − = 1cos 2B =
16ac =
( )22 2 2 2 cos 3b a c ac B a c ac= + − = + −
( ) ( )sin sin sina c A c A B b B− + + = ( )sin sin sina c A c C b B− + =
( ) 2 2a c a c b− × + = 2 2 2a c b ac+ − =
∴ 2 2 2 1
2 2
a c b
ac
+ − = ∴ 1cos 2B =
( )0,B π∈
3B
π=
3B
π=
1 sin 4 32ABCS ac B∆ = = 16ac =
8a c+ = ∴ ( )22 2 2 2 cos 3 16b a c ac B a c ac= + − = + − =
4b =
ABCD DCFE DE BC⊥ AD DC⊥
AD AB⊥ 1 22AB AD DE CD= = = = M N P EF BF BC（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）答案见解析．（2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 先 证 明 平 面 ， 可 得 ， 取 中 点 ， 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得
，由线面垂直的判定即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面 的一个法向量 和直线 的方向向量 ，
求出两向量夹角的余弦值后利用平方关系即可得解.
【详解】（1）证明： ， 分别为 ， 的中点， ，
四边形 为矩形， ，
又 ， ， ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，
取 中点 ，连接 ， ， ，则 ，
点 ， ， ， 同在平面 内．
在 中， ， ， 为 中点，
，
又 ， ， 平面 ， 平面 ．
（2）由（1）知 ， ， 三条直线两两垂直且交于点 ，以 为原点， ， ， 分别为
， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图．
则 ， ， ， ，
， 分别为 ， 中点，可得 ， ，
， ， ，
BC ⊥ MNP
MN BCF
3
3
PN ^ ABCD PN BC⊥ CD H
HP BC⊥
BCF n MN MN
P N BC BF ∴ / / / /PN CF DE
EDCF ∴ DE CD⊥
DE BC⊥ BC CD C∩ = BC CD ⊂ ABCD
∴ DE ⊥ ABCD ∴ PN ^ ABCD ∴ PN BC⊥
CD H PH BH MH / / / /MH CF PN
∴ M N P H MNP
BHC∆ 2BH AD= = 2CH CD AB= − = P BC
∴ HP BC⊥
PN HP P∩ = PN HP ⊂ MNP ∴ BC ⊥ MNP
AD DE CD D D DA DC DE
x y z
( )2,2,0B ( )0,4,0C ( )0,0,2E ( )0,4,2F
M N EF BF ( )0,2,2M ( )1,3,1N
∴ ( )2,2,2BF = − ( )2,2,0BC = − ( )1,1, 1MN = −设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，可得 ， ， ，
所以 ．
所以 与平面 所成角的余弦值为 .
【点睛】本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面角，属于中档题.
19.移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用
移动支付方式是否与年龄有关，对某地 200 人进行了问卷调查，得到数据如下：60 岁以上的人群中，习惯
使用移动支付的人数为 30 人；60 岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为 40 人.已知在全部 200
人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为 0.6.
（1）完成如下 列联表，并判断是否有 的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由.
习惯使用移动支付 不习惯使用移动支付 合计（人数）
60 岁以上
60 岁及以下
合计（人数） 200
（2）在习惯使用移动支付的 60 岁以上的人群中，每月移动支付的金额如下表：
每月支付金额 300 以上
的
BCF ( ), ,n m n p= 0
0
n BC
n BF
⋅ =
⋅ =
2 2 0
2 2 2 0
m n
m n p
− + =
− + + =
1m = 1n = 0p = ∴ ( )1,1,0n =
6cos , 3
n MNn MN
n MN
⋅= =
MN BCF
2
6 31 3 3
− =
99.9%
[100,2000] (1000,2000] (2000,3000]人数 10 20 30
现采用分层抽样的方法从中抽取 9 人，再从这 9 人中随机抽取 4 人，记 4 人中每月移动支付金额超过 3000
元的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附： ，其中 .
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）列联表见解析，有，理由见解析；（2）分布列见解析， .
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算 的值，对照临界值得出结论；
（2）由题意知 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值．
【详解】解：（1）列联表如图：
习惯使用移动支付 不习惯使用移动支付 合计（人数）
60 岁以上 30 40 70
60 岁及以下 90 40 130
合计（人数） 120 80 200
.
所以有 的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关.
（2）由（1）得 ，所以在抽取的 9 人中，月支付金额在 的有 1 人，在 的为 2
x
Y Y
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
4
3
2K
Y
2 200 2400 2400 1200 13.187 10.82870 130 120 80 91K
× ×= = ≈ >× × ×
99.9%
30x = [100,1000] (1000,2000]人，在 的为 3 人，3000 以上的为 3 人，则
， ， .
，
所以分布列为
0 1 2 3
.
所以 的数学期望为 .
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，
属于中档题．
20.函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，证明：当 时， 恒成立.
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对 求导，令 ，可得 或 ，然后分 ， 和 三种情况求
的单调区间；
（2）由（1）可知 时， 的单调性，然后分 和 两种情况分别求出 的最大值，
证明 的最大值小于 0 即可．
【详解】解：（1）因为 定义域为 ，
(2000,3000]
4
6
4
9
5( 0) 42
CP Y C
= = =
3 1
6 3
4
9
10( 1) 21
C CP Y C
= = =
2 2
6 3
4
9
5( 2) 14
C CP Y C
= = =
1 3
6 3
4
9
1( 3) 21
C CP Y C
= = =
Y
P 5
42
10
21
5
14
1
21
5 10 5 1 4( ) 0 1 2 342 21 14 21 3E Y = × + × + × + × =
Y 4
3
2
( ) ln 6 ( )af x a x x ax
= − − ∈R
( )f x
0a > 2( ]0,x∈ ( ) 0f x <
( )f x ( ) 0f x′ =
2
ax =
3
ax = − 0a = 0a > 0a < ( )f x
0a > ( )f x 0 4a< < 4a ( )f x
( )f x
2
( ) ln 6af x a x xx
= − − ( )0 +∞，则 .
令 ，得 ，
解得 ， .
①当 时， ，所以 在 上单调递减.
②当 ， ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减.
③当 时， ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）当 时，由（1）得 在 上单调递增，在 上单调递减.
①当 ，即 时， 在 的最大值
.
因为 ，所以 .
所以 ，
②当 ，即 时， 在 内单调递增.
.
因为 ， .
所以 ，所以 .
综合①②可知当 时， 恒成立.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化
2 2 2
2 2
6( ) 6a a x ax af x x x x
− + +′ = + − =
( ) 0f x′ = 2 26 0x ax a− + + =
1 2
ax = 2 3
ax = −
0a = ( ) 6 0f x′ = − < ( )f x (0, )+∞
0a > 02
a > 03
a− < ( )f x 0, 2
a
,2
a +∞
0a < 02
a < 03
a− > ( )f x 0, 3
a − ,3
a − +∞
0a > ( )f x 0, 2
a
,2
a +∞
22
a < 0 4a< < ( )f x (0,2]
max( ) ln 5 ln 52 2 2
a a af x f a a a = = − = −
0 4a< < ln ln2 ln 12
a e< < =
ln 5 02
aa −
微信/支付宝扫码支付