2020 年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．复数 的虚部为
A．2 B． C． D．
2．以下不等式在 时不成立的是
A． B． C． D．
3．已知 ，则
A． B． C． D．
4．双曲线 的渐近线方程是
A． B． C． D．
5．“ ”是“直线 与圆 ”相切的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若在 所围区域内随机取一点，则该点落在 所围区域内的概率是
A． B． C． D．
7．从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数
为
2 3i−
3i− 3i 3−
0x >
ln x x< exx < ln 1 xx e+ > 1xe x> +
( ) 2f x x= ( ) ( )
0
lim
x
f x x f x
x∆ →
+∆ − =∆
2x 2x ( )2x∆ x∆
2 2
19 4
x y− = −
3
2y x= ± 9
4y x= ± 2
3y x= ± 4
9y x= ±
1c = 0x y c+ + = ( ) ( )2 22 1 2x y− + + =
2 2 1x y+ ≤ 1x y+ ≤
1
π
2
π
1
2π
11 π−A．300 B．216 C．180 D．162
8．甲.乙两人约定在上午 到 之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分
钟，过时即可离去．若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等的，则两人能会
面的概率为
A． B． C． D．
9．已知椭圆 的左、右焦点为 ,离心率为 ,过 的直线 交
于 两点，若 的周长为 ,则 的值为
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
11．已知圆 ： ，圆 ： ， ， 分别是圆
， 上的动员.若动点 在直线 ： 上，动点 在直线 ： 上，
记线段 的中点为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
12．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，
，若 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．定积分 __________．
14．在正方体 中，点 分别是 ， 的中点，则异面直线 与
9:00 10: 40
1
25
16
25
9
25
1
5
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 3
3 2F l
C ,A B 1AF B∆ 4 3 b
4 2 2 2 2
1C ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = 2C ( ) ( )2 22 1 4x y− + − = A B
1C 2C M 1l 1 0x y+ − = N 2l 1 0x y+ + =
MN P PA PB+
3 5 2
2 14 3− 13 3−
( )f x ( )'f x ( ) 3 21 23f x x ax bx= + + +
( ) ( )' 2 ' 4f x f x+ = − ( ) 6 ln 2f x x x≥ + b
[ )4 ln2,+ +∞ [ )5 ln5,+ +∞ [ )6 4ln3,+ +∞ [ )6 6ln6,+ +∞
3
1
12 dx xx
− = ∫
1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1BB CD 1D F所成角的大小为___________.
15．函数 ，若 ，则实数 的取值范围是___
16．已知点 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线 左
支上的任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（_____）．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分） 是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解 市空气质量情况，从
年每天的 值的数据中随机抽取 天的数据，其频率分布直方图如图所示.将
值划分成区间 、 、 、 ，分别称为一级、二级、三级
和四级，统计时用频率估计概率 .
（I）根据 年的数据估计该市在 年中空气质量为一级的天数；
（II）如果 市对环境进行治理，经治理后，每天 值 近似满足正态分布
，求经过治理后的 值的均值下降率.
18．（12 分）已知函数 ，a 为实数.
（I）当 时，讨论 的单调性；
（II）若 在区间 上是减函数，求 a 的取值范围.
DE
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > P C
2
2
1
| |PF
PF 8a C
2.5PM A 2018
2.5PM 40 2.5PM
[ )0,100 [ )100,150 [ )150,200 [ ]200,250
2018 2019
A 2.5PM X
( )115,752X N 2.5PM
( ) ( )3 21 1 1 13 2f x x ax a x= − + − +
2a ≥ ( )f x
( )f x [ ]1,419．（12 分）三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ，
， 分别是 的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）求二面角 的余弦值．
20．（12 分）设椭圆 的离心率为 ，椭圆 上一点 到左右两
个焦点 的距离之和是 4.
（I）求椭圆的方程；
（II）已知过 的直线与椭圆 交于 两点，且两点与左右顶点不重合，若
，求四边形 面积的最大值．
21．（12 分）已知函数 ，其中 .
（I）讨论 的单调性；
（II）当 时，证明: ；
（III）试比较 与 ，
并证明你的结论。
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
1 1 1ABC A B C− 90ABC∠ =
1 2AB BC BB= = = ,M N 1,AB AC
MN ⊥ 1 1A B C
1 1M B C A− −
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2e = C P
1 2,F F
2F C ,A B
1 1 1F M F A F B= +
1AMBF
( ) 2lnf x a x x= + a R∈
( )f x
1a = ( ) 2 1f x x x≤ + −
2 2 2 2
2 2 2 2
ln2 ln3 ln4 ln
2 3 4
n
n
+ + + +
( )( )
( )
1 2 1
2 1
n n
n
− +
+ ( )* 2n N n∈ ≥且 的大小平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为
极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为
(I)写出曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
(II)若射线 平分曲线 ，且与曲线 交于点 ，曲线 上的点 满足
，求 .
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 ．
（I）解不等式 ；
（II）若对于 ， ，有 ， ，求证： ．
xOy 1C
1 2cos
3 2sin
x
y
α
α
= + = +
α O
x 2C 2cos 4sinρ θ θ=
1C 2C
( )0: 0OM θ α ρ= ≥ 1C 2C A 2C B
2AOB
π∠ = AB
( ) | 2 1|f x x= −
( ) | | 3f x x< +
x y R∈ 1| 3 1| 3x y− + ≤ 1| 2 1| 6y − ≤ ( 6
7)f x ≤2020 年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试
理科数学试题参考答案
1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11-12:DD
13． 14． 15． 16．
17．（1）由样本空气质量 的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：
值
频率
由上表可知，如果 市维持现状不变，那么该市下一年的某一天空气质量为一级的概率为 ，
因此在 天中空气质量为一级的天数约有 （天）.
（2）如果 市维持不变，那么该市的 值的均值约为
由于该市的环境进行治理，治理后每天 值 近似满足 ，所以治理
后的 值 的均值为 ，因此 市治理后的 值的均值下降率为
18．（1） ，
当 即 时， ， 在 R 上单调递增；
当 即 时，由 得 或 ，由 得 .
分别在 与 单调递增，在 单调递减.
综上所述，当 时， 在 R 上单调递增；
当 时， 分别在 与 单调递增，在 单调递减.
（2）由已知得 在区间 上恒成立.
在区间 上恒成立.
当 时， .
8 ln3− 90 ( ]1,3
2.5PM
2.5PM [ )0,50 [ )50,100 [ )100,150 [ )150,200 [ )200,250
0.125 0.125 0.375 0.25 0.125
A 0.25
365 365 0.25 91× ≈
A 2.5PM
( ) 25 0.125 75 0.125+125 0.375E Y = × + × × +175 0.25 225 0.125 131.25× + × =
2.5PM X ( )115,752X N
2.5PM X ( ) 115E X = A 2.5PM
131.25 115 12.38%131.25
− =
( ) ( ) ( )2 1 1 1f x x ax a x x a′ = − + − = − − −
1 1a − = 2a = ( ) ( )21 0f x x′ = − ≥ ( )f x
1 1a − > 2a > ( ) 0f x′ > 1x < 1x a> − ( ) 0f x′ < 1 1x a< < −
( )f x∴ ( ),1−∞ ( )1,a − +∞ ( )1, 1−a
2a = ( )f x
2a > ( )f x ( ),1−∞ ( )1,a − +∞ ( )1, 1−a
( ) 2 1 0f x x ax a′ = − + − ≤ [ ]1,4
( ) 21 1a x x∴ − ≥ − [ ]1,4
1x = a R∈当 时， .
而 在 上单调递增， 时， ，则 .
综上 .
19．（1）如图，以 B1 为原点建立空间直角坐标系
则
.
设平面 A1B1C1 的法向量为
.令 ，则 .
， 平面 A1B1C
（2）平面 MB1C 的法向量为 .
令 ，
，所求二面角 M—B1C—A1 的余弦值为
20．（1）依题意， ，
因为 ，所以 ，所以椭圆 方程为 ；
（2）设 ，则由 ，可得
，
即， ， ，
又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
设平面四边形 的面积为 ，则
1 4x< ≤ 1a x≥ +
1y x= + ( ]1,4x∈ ∴ 4x = max 5y = 5a ≥
5a ≥
1B xyz−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10,0,0 , 0,2,2, , 2,0,0 , 1,0,2 , 1,1,1 ,B C A M N− − −
( ) ( ) ( )1 1 10,2,2 , 2,0,0 , 0, 1,1B C A B NM∴ = = = −
( ), ,n x y z=
1
1 1
00
0
xn B C
y zn A B
=⋅ = ⇒ = −⋅ =
1z = ( )0, 1, 0, 1,1x y n= = − ∴ = −
n NM∴ = MN∴ ⊥
( )0 0 0, ,m x y z= 0 01
0 01
20
0
x zm B C
y zm B M
=⋅ = ⇒ = −⋅ =
0 1,z = 则 ( )0 02, 1, 2, 1,1x y m= = − ∴ = −
2 3cos , 32 6
n mm n n m
= = =
×
3
3
2 4, 2a a= =
1
2e = 2 2 21, 3c b a c= = − = C
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , , , : 1A x y B x y AB x my= + 2 2
1
14 3
x my
x y
= + + =
( )2 23 1 4 12my y+ + =
( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )2 2 236 36 3 4 144 1 0m m m∆ = + + = + >
1 1 1F M F A F B= +
1AMBF
1AMBF S设 ，则
，所以 ，因为 ， 所以 ，所
以 ，所以四边形 面积的最大值为 .
21．（1）函数 的定义域为： ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增
②当 时，令 ，解得 ．
当 时， ，所以 ， 所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增．
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， ，要证明 ，
即证 ，即证： .
设 ，则 ，令 得， .
当 时， ，当 时， .
所以 为极大值点，且 在 处取得最大值。
所以 ，即 。故 .
（3）证明： （当且仅当 时等号成立），即 ,
1
2
1 2 1 2 2 2
1 12 2 2 242 3 4 3 4ABF
mS S F F y y m m∆
∆ += = × × × − = × = ×+ +
2 1t m= +
( )2 2 1 1m t t= − ≥ 2
124 24 13 1 3
tS t t t
= × = ×+ + 1t ≥ 13 4t t
+ ≥
( ]0,6S ∈ 1AMBF 6
( )f x ( )0, ∞+ ( )'f x = 222a a xxx x
++ =
0a ≥ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( )' 0f x = x =
2
a−
222 22 0a x+ < ( )' 0f x < ( )f x 0, 2
a −
2
ax > − 22 0a x+ > ( )' 0f x > ( )f x ,2
a − +∞
0a ≥ ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( )f x 0, 2
a −
,2
a − +∞
a 1= ( ) 2lnf x x x= + ( ) 2 1f x x x≤ + −
ln 1x x≤ − ln 1 0x x− + ≤
( )g ln 1x x x= − + ( )g' x = 1 x
x
− ( ) 0g x′ = 1x =
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ <
1x = ( )g x 1x =
( ) ( )1 0g x g≤ = ln 1 0x x− + ≤ ( ) 2 1f x x x≤ + −
ln 1x x≤ − 1x = 11lnx
x x
≤ −则有 +
,
故： +
22．解：（1）曲线 的直角坐标方程是 ，即
化成极坐标方程为：
曲线 的直角坐标方程是 ；
（2）曲线 是圆，射线 过圆心 ，所以方程是
代入 ，得
又 ，将 ，代入 ，得
因此
23．（1）由 得 ，
则 或 或
解得 ，或 ，或 ，即 ，
所以不等式 的解集为 .
（2）证明：由 ， ，
所以 .
2
2
2
2
ln 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 1 1 11 1 1 n 13 2 3 2 3
ln lnn
n n n
+…+ < − + − +…+ − = − − + +…+
( )
1 1 1n 1 2 3 3 4 1n n
< − − + +…+ × × +
( )( )
( )
1 2 11 1 1 1 1 1 1 1n 1 n 12 3 3 4 1 2 1 2 1
n n
n n n n
− + = − − − + − +…+ − = − − − = + + +
2
2
2
2
ln ( )( )
( )
2 2
2 2
1 2 13
3 2 1
n nln lnn
n n
− ++…+ < +
1C ( ) ( )221 3 4x y− + − = 2 22 2 3 0x x y y− + − =
2cos 2 3sinρ θ θ= +
2C 2 4x y=
1C OM ( )1, 3 ( )03
πθ ρ= ≥
2cos 4sinρ θ θ= 8 3A
ρ =
2AOB
π∠ = 5
6
πθ = 2cos 4sinρ θ θ= 8
3B
ρ =
2 2 16 7
3A BAB ρ ρ= + =
( ) | | 3f x x< + | 2 1| | | 3x x− < +
1
2
2 1 3
x
x x
≥
− < +
， 10 2
1 2 3
x
x x
<
微信/支付宝扫码支付