2020 年春四川省泸县第一中学高二第二学月考试
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为
A．-4 B．-1 C．1 D．4
2．已知函数 ，则
A． B． C． D．
3．“ ”是“直线 与圆 相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知点 P(3,4) 在角 的终边上，则 的值为
A． B． C． D．
5．函数 在区间 上单调递增，那么实数 的取值范围是
A． B． C． D．
6．设 ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
7．若圆的参数方程为 （ 为参数），直线的参数方程为 （t 为
17
4a i
− − ,a R i∈ a
( ) 2 xf x e=
( ) ( )' 2f x f x= + ( ) ( )'f x f x= ( ) ( )' 3f x f x= ( ) ( )' 2f x f x=
3
3k = : ( 2)l y k x= + 2 2 1x y+ =
α cos 2
π α +
3
5
3
5-
4
5
4
5
−
( ) af x x x
= + ( )2,+∞ a
0 2a< ≤ 0 4a< ≤ 4a ≥ 4a ≤
1a b> >
ln lna b b a> ln lna b b a< b aae be> b aae be<
1 2cos ,
3 2sin
x
y
θ
θ
= − +
= +
θ 2 1,
6 1
x t
y t
= −
= −参数），则直线与圆的位置关系是
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离
8．为使关于 x 的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1(a∈R)的解集在 R 上为空集，则 a 的取值范围
是
A．(0, 1) B．(－1, 0) C．(1, 2) D．(－∞, －1)
9．已知 a，b 为正实数，向量 =（a，a-4）向量 =（b，1-b）若 ，则 a+b 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．
10．若 是函数 的极值点，则 的极大值为
A． B． C． D．
11．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、，若 ，且 ，则
下列关系一定不成立的是
A． B． C． D．
12．设函数 ，若 时， ，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．某设备的使用年限 与所支出的维修费用 的统计数据如下表：
使用年限 （单位：年）
维修费用 （单位：万元）
根据上表可得回归直线方程为 = ，据此模型预测，若使用年限为 年，估计维
修费约为
m n m n
9
2
3x = 2( ) ( 1) xf x x ax e= + + ( )f x
2e− 32e− 322e− 16e−
( ) ( )
2
2
16
1 1
ax xx x x x
f x = + − ++ + 0x > ( ) 0f x > a
( )0, ∞+ ( ),12−∞ ( ),0−∞ ( )12,+∞
x y
x 2 3 4 5 6
y 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0
y 1.3x= + a 14__________万元．
14．设 是曲线 （ 为参数， ）上任意一点，则 的取
值范围是________．
15．已知集合 M＝{(x，y) }，则在集合 M 中任取一点 P，则点 P 到直线 x＋y＝
0 的距离不小于 的概率为________．
16．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以 为圆心，
为半径的圆交 于 两点，若 ，且 的面积为 ，则此抛物线的方程
为__________．
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）32．某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待工作的态度进行了调查，统计
数据如下所示：
积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计
学习积极性高 18 7 25
学习积极性一般 6 19 25
合计 24 26 50
（I）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽
到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
（II）试运用独立性检验的思想方法分析：有多大把握认为学生的学习积极性与对班级工作的
态度有关系？并说明理由.
本题参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
( ),P x y 2 cos: sin
xC y
θ
θ
= − +
=
θ 0 2θ π≤ < y
x
2 2| 1 1
x
y
− ≤ ≤
− < F l A C F FA
l ,B D 90ABD∠ = ABF∆ 9 3
( )2P k k>0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12 分）已知函数 ，
（Ⅰ）求函数 的单调区间;
（Ⅱ）求函数 的极值.
19．（12 分）如图，在底面是矩形的四棱锥 中， ⊥平面 ，
， 是 的三等分点，
（I）求证： 平面 ；
（II）求证：平面 ⊥平面 ；
（III）求多面体 的体积．
20．（12 分）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂
足．当点 在圆上运动时，线段 的中点 形成轨迹 ．
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点， 为曲线 上一动点，求 面积的最大值
21．（12 分）已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
k
23( ) 3 ln2f x x a x b= − +
( )f x
( )f x
P ABCD− PA ABCD
1, 2PA AB BC= = = ,E F PD
/ /FB EAC
EDC PAD
PB AEC−
:O 2 2 4x y+ = P P y PD D
P PD M C
C
y x= C AB Q C ABQ△
2 21( ) ( 1) 2
xf x x a e ax a x= − − − + ea <
2a = ( )y f x= (0, (0))f（Ⅱ）若 在 内只有一个零点，求 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换 得到曲线 ，以原点为极点、 轴的正半轴为极轴，建立
极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点，与曲线 交于 两点，求
的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac ；
（Ⅱ） .
( )f x (1,2) a
1C
2cos
3sin
x
y
α
α
= =
α 1C
3 2 32
3 2
x x
y y
=′
= +′
+
2C x
1C 2C
( )π
3 Rθ ρ= ∈ 1C ,M N 2C ,P Q MN
PQ
≤ 1
3
2 2 2
1a b c
b c a
+ + ≥2020 年春四川省泸县第一中学高二第二学月考试
文科数学试题参考答案
1．D 2．B 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．B 9．D 10．D
11．B 12．B
13．18 14． 15． 16．
17．解：（1）抽到积极参加班级工作的学生的概率为
抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是
（2）
因 ，
因此我们有 的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关.
18．（1）函数 的定义域为 ，
因为 ，
当 时， 在 恒成立，所以 的单调递增区间是 ，
当 时， ，所以 的单调递增区间是 ，
，所以 的单调递减区间是 ．
（2）由（1）得：当 时， 的单调递增区间是 ，所以 无极值，
3 3,3 3
−
2
1 xy 62 =
24 12
50 25
=
19
50
( )2
2 50 18 19 6 7 50 300 300 300 11.525 25 24 26 25 25 24 26 26K
× × − × × ×= = = ≈× × × × × ×
11.5 10.828> ( )2 10.828 0.001P K ≥ =
99.9%
( )f x (0, )+∞
2
' 3 3( )( ) 3 a x af x x x x
−= − =
0a ≤ ' ( ) 0f x > 0x > ( )f x (0, )+∞
0a > ' ( ) 0f x x a> ⇒ > ( )f x ( , )a +∞
' ( ) 0 0f x x a< ⇒ < < ( )f x (0, )a
0a ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞ ( )f x当 时， 的极小值为 ，无极大值．
19．（1）连接 BD 交 AC 于点 G,连接 EG，因为 E 为 FD 的中点，G 为 BD 的中点，
所以 ,又因为 , ，
所以 平面 .
(2) 平面 , , .
， , , ,
.
（3） ,因为 E 为 PD 的三等分点， ,
所以点 E 到平面 ADC 的距离是 ,即 ,
所以 .
20．设 ，由题意 ， 为线段 的中点，
即 又 在圆 上，
，即 ，
所以轨迹 为椭圆，且方程为 .联立直线 和椭圆 ，
得到 ，即 即有
设过 且与直线 平行的直线为 ，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将 代入椭圆方程得：
由相切的条件得 解得 ，
0a > ( )f x 3 3( ) 2 2f a a a a b= − +
/ /EGFB EG EAC⊂ 平面 PB EAC⊄ 平面
/ /FB EAC
PB EAC P ABCD E ADCV V V− − −= − PA ABCD平面⊥
( ),M x y ( ),0D x ( )1,0P x M PD
1 0 2y y∴ + = 1 2y y= ( )1,P x y 2 2 4x y+ = 2 2
1 4x y∴ + =
2 24 4x y∴ + =
2
2 14
yx + =
C
2
2 14
yx + = y x= 2
2 14
yx + =
25 4x = 2 5
5x = ± 2 5 2 5 2 5 2 5, , ,5 5 5 5A B
− −
2 2
2 5 2 5 2 5 2 5 4 10
5 5 5 5 5AB
∴ = + + + =
Q y x= y x t= +
y x t= + 2 25 8 4 4 0x tx t+ + − =
( )2 264 4 5 4 4 0t t∆ = − × × − = 5t = ±则所求直线为 或 ，
故与直线 的距离为 ，
则 的面积的最大值为 .
21．解：（1） ,
，则 ，故所求切线方程为 ；
（2） ，当 时， 对 恒成立 ，
则 在 上单调递增，从而 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
当 时， 对 恒成立，则 在 上单调递减，
在（1，2）内没有零点 ，综上，a 的取值范围为（0，1）.
22．（1）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 得
.
又 ，
即曲线 的极坐标方程为 .又由已知 得
5y x= + 5y x= −
y x= 5 10
22
d = =
ABQ△ 1 4 10 10 22 5 2S = × × =
22, ( ) ( 3)e 4 , (0) 3xa f x x x x f= ∴ = − − + ∴ =−
( ) ( 2)e 2 4xf x x x′ = − − + (0) 2f ′ = 2 3y x= −
( )( ) ( ) exf x x a a′ = − − 10 (1,2)x∈
( )f x (1,2)
( )2
1(1) e 02
(2) (1 ) e 2 0
f a a
f a a
= − −
(0,1)a∈
1 2a< < ( )f x (1, )a ( ,2)a
1 21(1) e 0, ( ) 0, (2) 02
af a a f a f
< a∈∅
ea
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