2020 年春四川省泸县第一中学高二第二学月考试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为
A．-4 B．-1 C．1 D．4
2．已知函数 ，则
A． B． C． D．
3．“ ”是“直线 与圆 相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知点 P(3,4) 在角 的终边上，则 的值为
A． B． C． D．
5．有 8 件产品，其中 4 件是次品，从中有放回地取 3 次（每次 1 件），若 X 表示取得次品的
次数，则
A． B． C． D．
6．设 ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
17
4a i
− − ,a R i∈ a
( ) 2 xf x e=
( ) ( )' 2f x f x= + ( ) ( )'f x f x= ( ) ( )' 3f x f x= ( ) ( )' 2f x f x=
3
3k = : ( 2)l y k x= + 2 2 1x y+ =
α cos 2
π α +
3
5
3
5-
4
5
4
5
−
( 2)P X ≤ =
3
8
13
14
4
5
7
8
1a b> >
ln lna b b a> ln lna b b a< b aae be> b aae be ( ) 0f x > a
( )0, ∞+ ( ),12−∞ ( ),0−∞ ( )12,+∞
x y
x 2 3 4 5 6
y 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0
y 1.3x= + a 14
{ }6,5,4,3,2,1=Ω { }5,3,2=A ( )6,5,4,2,1=B则 ___________ ．
15．已知集合 M＝{(x，y) }，则在集合 M 中任取一点 P，则点 P 到直线 x＋y＝
0 的距离不小于 的概率为________．
16．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以 为圆心，
为半径的圆交 于 两点，若 ，且 的面积为 ，则此抛物线的方程
为__________．
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取 40 件产品，测
量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间
分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）
（Ⅰ）若从这 40 件产品中任取两件，设 X 为重量超过 505 克 的产品数量，求随机变量 X 的
分布列；
（Ⅱ）若将该群体分别近似看作总体分布，现从该流水线上任取 5 件产品，求恰有两件产品
的重量超过 505 克的概率．
18．（12 分）已知函数 ，
（Ⅰ）求函数 的单调区间;
( ) =ABP
2 2| 1 1
x
y
− ≤ ≤
− < F l A C F FA
l ,B D 90ABD∠ = ABF∆ 9 3
23( ) 3 ln2f x x a x b= − +
( )f x（Ⅱ）求函数 的极值.
19．（12 分）如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ，四边形
为菱形， 是边长为 2 的等边三角形， ，点 为 的中点.
（Ⅰ）若平面 与平面 交于直线 ，求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
20．（12 分）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂
足．当点 在圆上运动时，线段 的中点 形成轨迹 ．
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点， 为曲线 上一动点，求 面积的最大值
21．（12 分）已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若 在 内只有一个零点，求 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
( )f x
1 1 1ABC A B C− 1 1 1A AC C ⊥ ABC 1 1AAC C
ABC 1 60A AC °∠ = O AC
1 1A B C ABC l / /l AB
1 1C A B C− −
:O 2 2 4x y+ = P P y PD D
P PD M C
C
y x= C AB Q C ABQ△
2 21( ) ( 1) 2
xf x x a e ax a x= − − − + ea <
2a = ( )y f x= (0, (0))f
( )f x (1,2) a已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换 得到曲线 ，以原点为极点、 轴的正半轴为极轴，建立
极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点，与曲线 交于 两点，求
的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac ；
（Ⅱ） .
1C
2cos
3sin
x
y
α
α
= =
α 1C
3 2 32
3 2
x x
y y
=′
= +′
+
2C x
1C 2C
( )π
3 Rθ ρ= ∈ 1C ,M N 2C ,P Q MN
PQ
≤ 1
3
2 2 2
1a b c
b c a
+ + ≥2020 年春四川省泸县第一中学高二第二学月考试
理科数学试题参考答案
1．D 2．B 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．C 9．D 10．D
11．B 12．B
13．18 14． 15． 16．
17．（1）根据频率分布直方图可知，质量超过 505 克的产品数量为[（0．001+0．005） 5]
40=12
由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0，1， 2
， ．
∴随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P
由题意得该流水线上产品的重量超过 505 克的概率为 0．3
设 Y 为该流水线上任取 5 件产品重量超过 505 克的产品数量，则 Y~B（5，0．3）．
故所求概率为
18．（1）函数 的定义域为 ，
因为 ，
当 时， 在 恒成立，所以 的单调递增区间是 ，
当 时， ，所以 的单调递增区间是 ，
，所以 的单调递减区间是 ．
（2）由（1）得：当 时， 的单调递增区间是 ，所以 无极值，
3
2
2
1 xy 62 =
( )f x (0, )+∞
2
' 3 3( )( ) 3 a x af x x x x
−= − =
0a ≤ ' ( ) 0f x > 0x > ( )f x (0, )+∞
0a > ' ( ) 0f x x a> ⇒ > ( )f x ( , )a +∞
' ( ) 0 0f x x a< ⇒ < < ( )f x (0, )a
0a ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞ ( )f x当 时， 的极小值为 ，无极大值．
19．（1）证明：在三棱柱 中， ， 平面 .
所以 平面 ，且 平面
平面 平面 所以 ，所以 .
（2）由四边形 为菱形，且
所以 为等边三角形且点 为 的中点..
则 ，又侧面 底面 .
面 底面 .所以 平面 .
又 是等边三角形，且点 为 的中点..
则 . 所以 .
以 分别为 轴建立空间直角坐标系,
所以
设面 的一个法向量为 .
则 ，即 取
设面 的一个法向量为 .
则 ，即 取
所以 .所以二面角 的余弦值为 .
20．设 ，由题意 ， 为线段 的中点，
0a > ( )f x 3 3( ) 2 2f a a a a b= − +
1 1 1ABC A B C− 1 1/ /AB A B 1 1A B ⊄ ABC
1 1 //A B ABC 1 1A B ⊆ 1 1A B C
1 1A B C =ABC l 1 1/ /l A B / /l AB
1 1AAC C 1 60A AC °∠ =
1A BC O AC
1AO AC⊥ 1 1 1A AC C ⊥ ABC
1 1 1A AC C ABC AC= 1AO ⊥ ABC
ABC O AC
BO AC⊥ 1| | | | 3OA OB= =
1, ,OB OC OA , ,x y z
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10,0,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , 0,2, 3 ,, 0,0, 3O B C C A
1 1A BC ( )1 1 1, ,n x y z=
( ) ( )1 1 13,0, 3 , 0,2,0BA AC= − =
1
1 1
0
0
BA n
AC n
⋅ = ⋅ =
1 1
1
3 3 0
2 0
x z
y
− + = =
( )1,0,1n =
1A BC ( )2 2 2, ,m x y z= ( ) ( )1 3,0, 3 , 3,1,0BA BC= − = −
1 0
0
BA m
BC m
⋅ =
⋅ =
1 1
1 1
3 3 0
3 0
x z
x y
− + =
− + =
( )1, 3,1m =
2 5cos , 52 5
n mn m
n m
⋅= = =
×⋅
1 1C A B C− − 5
5
( ),M x y ( ),0D x ( )1,0P x M PD即 又 在圆 上，
，即 ，
所以轨迹 为椭圆，且方程为 .联立直线 和椭圆 ，
得到 ，即 即有
设过 且与直线 平行的直线为 ，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将 代入椭圆方程得：
由相切的条件得 解得 ，
则所求直线为 或 ，
故与直线 的距离为 ，
则 的面积的最大值为 .
21．解：（1） ,
，则 ，故所求切线方程为 ；
（2） ，当 时， 对 恒成立 ，
则 在 上单调递增，从而 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
1 0 2y y∴ + = 1 2y y= ( )1,P x y 2 2 4x y+ = 2 2
1 4x y∴ + =
2 24 4x y∴ + =
2
2 14
yx + =
C
2
2 14
yx + = y x= 2
2 14
yx + =
25 4x = 2 5
5x = ± 2 5 2 5 2 5 2 5, , ,5 5 5 5A B
− −
2 2
2 5 2 5 2 5 2 5 4 10
5 5 5 5 5AB
∴ = + + + =
Q y x= y x t= +
y x t= + 2 25 8 4 4 0x tx t+ + − =
( )2 264 4 5 4 4 0t t∆ = − × × − = 5t = ±
5y x= + 5y x= −
y x= 5 10
22
d = =
ABQ△ 1 4 10 10 22 5 2S = × × =
22, ( ) ( 3)e 4 , (0) 3xa f x x x x f= ∴ = − − + ∴ =−
( ) ( 2)e 2 4xf x x x′ = − − + (0) 2f ′ = 2 3y x= −
( )( ) ( ) exf x x a a′ = − − 10 (1,2)x∈
( )f x (1,2)
( )2
1(1) e 02
(2) (1 ) e 2 0
f a a
f a a
= − −
(0,1)a∈
1 2a< < ( )f x (1, )a ( ,2)a
1 21(1) e 0, ( ) 0, (2) 02
af a a f a f
< a∈∅当 时， 对 恒成立，则 在 上单调递减，
在（1，2）内没有零点 ，综上，a 的取值范围为（0，1）.
22．（1）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 得
.
又 ，
即曲线 的极坐标方程为 .又由已知 得
代入 得 曲线 的直角坐标方程为
.
（2）将 代入 ，得 .
又直线的参数方程为 （ 为参数），代入 ，整理得
，
分别记 两点对应的参数为 ，则
， .
23．（Ⅰ）由 ， ， 得：
ea
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