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2019-2020 学年度下学期深州长江中学 4 月月考卷
高二数学
考试时间：120 分钟；总分 150 分；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题)
一、单选题（每题 5 分，共 60 分）
1．设 是椭圆 上的一动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由椭圆的定义 即可得解.
【详解】
解：设椭圆的两个焦点为 ，点 为椭圆上的点，
由椭圆的定义有： ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，属基础题.
2．若曲线 表示椭圆，则 的取值范围是( )
P
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > P
2b 2a b a
1 2 2PF PF a+ =
1 2,F F P
1 2 2PF PF a+ =
2 2
11 1
x y
k k
+ =− + kA． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆标准方程可得 ，解不等式组可得结果.
【详解】
曲线 表示椭圆，
，
解得 ，且 ，
的取值范围是 或 ，故选 D．
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属
于简单题.
3．若椭圆 ＋ ＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1，0)，则 m 的值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
解方程 即得解.
【详解】
由题得 ，所以 .
因为 ，所以 .
1k > 1k < − 1 1k− < < 1 0k− < <
0 1k< <
1 0
1 0
1 1
k
k
k k
− >
+ >
− ≠ +
2 2
11 1
x y
k k
+ =− +
1 0
1 0
1 1
k
k
k k
− >
∴ + >
− ≠ +
1 1k− < < 0k ≠
k 1 0k− < < 0 1k< <
2
9
x 2
2
y
m
3 2
29 1m− =
29 1m− = 2 2m = ±
0m > 2 2m =故选：D
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．已知双曲线的标准方程是 ，其渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由标准方程求出 ，即可求解
【详解】
双曲线的标准方程是 ，可得 ， ，
由于渐近线方程为 ，即为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程的求法，需要注意焦点是在 轴还是 轴上，属于基础题
5．双曲线 ： 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线离心率定义直接计算得到答案.
【详解】
双曲线 ： ，故 ， ， ，故 .
故选： .
【点睛】
2
2 19
yx − =
3y x= ± 4y x= ± 4x y= ± 3x y= ±
,a b
2
2 19
yx − = 1a = 3b =
3y x= ± 3y x= ±
x y
C
2 2
19 4
y x− =
5
3
13
3
13
9
13
2
C
2 2
19 4
y x− = 3a = 2b = 2 2 13c a b= + = 13
3
ce a
= =
B本题考查了双曲线的离心率，属于简单题.
6．若双曲线 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
实轴长、虚轴长、焦距成等差数列可得 ，再结合 可求得离心率.
【详解】
因为实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，故 ，
所以 ，又 ，故 ，
整理得到 ，故 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，注意根据题设条件构建 的方程，本题属于基础题.
7．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵ ，∴2p=1，∴ ，∴抛物线 的焦点坐标为 ，故选 C
考点：本题考查了抛物线焦点坐标的求法
点评：熟练掌握常见标准抛物线的性质是解决此类问题的关键，属基础题
8．下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2 2
2 2 1x y
a b
− =
3
2
2
2 2
5
3
, ,a b c 2 2 2+ =a b c
2b a c= +
( )224b a c= + 2 2 2c a b= + ( ) ( )22 24 c a a c− = +
( )4 c a c a− = + 5
3
c
a
=
, ,a b c
2y x= −
1( ,0)2
− 1( ,0)2
1( ,0)4
− 1( ,0)4
2y x= − 1
2 4
p = 2y x= − 1( ,0)4
−
( )21 ' 1 2x x− = − ( )cos30 ' sin30° = − °
( ) 1ln 2 ' 2x x
= ( )3 3' 2x x=【解析】
【分析】
按照基本初等函数的求导法则，求出 、 、 、 选项中正确的结果即可．
【详解】
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， ，故 B 错误；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正
确的导数即可．
9．已知函数 在 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A．2 B．0 C．1 D．－1
【答案】C
【解析】
分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可.
详解：由题可知：函数 在 处的切线的斜率为 ，直线 的斜率
为-1，故 =-1 得 1，故选 C.
点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题.
10．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出导函数 ，再计算导数值．
A B C D
2(1 ) 2x x− ′ = −
(cos30 ) 0° ′ =
1 1[ (2 )] (2 )2ln x xx x
′ = × ′ =
3 1
3 2 23 3( ) 2 2x x x x
′ ′= = =
( )y f x= 1x = 3 0x y+ − = (1)f ′ =
( )y f x= 1x = ( )1f ′ 3 0x y+ − =
( )1f− ′ ( )1f ′ =
2( ) 3f x x= (3)f ′ =
6 12 18 27
( )f x′【详解】
∵ ，∴ ，∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础．
11．若向量 ，向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ， ，则 ，代入运算即可得
解.
【详解】
解:因为向量 ，向量 ，
则 ,
则 ,
故选:C.
【点睛】
本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题.
12．已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 ，则（ ）
A．α⊥β B．α∥β C．α 与 β 相交但不垂直 D．以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算结果，即可判断.
【详解】
因为
2( ) 3f x x= ( ) 6f x x′ = (3) 6 3 18f ′ = × =
(2,0, 1)a = − (0,1, 2)b = − 2a b− =
( 4,1,0)− ( 4,1, 4)− − (4, 1,0)− (4, 1, 4)− −
1 1 1( , , )m x y z=
2 2 2( , , )n x y z=
1 2 2 2 1 2( , , )m n x x x y z z− = − − −
(2,0, 1)a = − (0,1, 2)b = −
2 (4,0, 2)a = −
2a b− = (4, 1,0)−
( ) ( )3,1,2 , 6, 2,10m n= = − −
18 2 20 0m n⋅ = − − + = 故可得 ，
则平面 α 和平面 β 垂直.
故选：A.
【点睛】
本题考查平面的法向量垂直，与平面垂直之间的等价关系.
第 II 卷（非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．焦点在 x 轴上的椭圆 的焦距是 2，则 m 的值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】
由题意可知： ，根据椭圆的性质可知： ，即可求得 m 的值.
【详解】
由题意可知， ，即 ，
由椭圆的性质可知： ，
即 ，
故答案为:5.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题.
14．双曲线 的渐近线方程是____；焦点坐标____.
【答案】
【解析】
【分析】
m n⊥
2 2
14
x y
m
+ =
1c = 2 2m b c= +
2 2c = 1c =
2 2m b c= +
4 1 5m = + =
2
2 12
x y− =
2
2y x= ± ( 3,0)±直接根据双曲线的简单性质即可求出．
【详解】
解：在双曲线 1 中，a2＝2，b2＝1，
则 c2＝a2+b2＝3，
则 a ，b＝1，c ，
故双曲线 1 的渐近线方程是 y＝± x，焦点坐标（ ，0），
故答案为：y＝± x，（ ，0）
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．
15．若向量 ，向量 ，且 ，则 _____， _____.
【答案】1 -2
【解析】
【分析】
由题意可得 ，再求解即可.
【详解】
解：由向量 ，向量 ，且 ，
则 ，
解得： ，
故答案为：1，-2.
【点睛】
本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题.
16．已知函数 ,则函数的单调减区间为_________.
2
2
2
x y− =
2= 3=
2
2
2
x y− = 2
2 3±
2
2 3±
( , 1,3)a x= − (2, ,6)b y= / /a b x = y =
1 3
2 6
x
y
−= =
( , 1,3)a x= − (2, ,6)b y= / /a b
1 3
2 6
x
y
−= =
x 1, y 2= = −
( ) 3 21 2 42f x x x x= + − +【答案】
【解析】
【分析】
求导求导 ，解 即可.
【详解】
求导 ，令
得到
∴函数的单调减区间为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数求三次函数的单调区间，属于基础题.
三、解答题（17 题 10 分，其他每题 12 分，共 70 分）
17．求下列函数的导数：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据导数的加法法则，以及基础函数的导数，可得结果.
（2）根据导数的除法法则，以及基础函数的导数，可得结果.
【详解】
解：（1） .
21, 3
−
( ) 2' 3 2f x x x= + − ( )' 0f x <
( ) ( )( )2' 3 2 3 2 1f x x x x x= + − = − + ( )' 0f x <
21 x 3
− < <
21, 3
−
21, 3
−
cosy x x= +
2
ln xy x
=
sin 1x− + 3
1 2ln x
x
−
(cos ) ( ) sin 1y x x x′ ′ ′= + = − +（2） .
【点睛】
本题考查导数的运算，属基础题.
18．设函数
（1）求 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】
(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值.
【详解】
（1）定义域为 ， ，由 得 ，
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）
，由 得 ，
∴ 在 上单调递减，在（1，2）上单调递增，
∴ 的最小值为 .
【点睛】
(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分
析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间：求函数的定义域 →求导 →解不等式
＞ 0 得解集 →求 ,得函数的单调递增（减）区间.
19．
( ) 22 2
4 4 3
1 2 ln(ln ) ln 1 2lnx x xx x x x xxy x x x
′′
′
⋅ − ⋅⋅ − ⋅ −= = =
2( ) 1 lnf x x x= + −
( )f x
( ) ( )g x f x x= − 1[ ,2]2
( )0, ∞+ ( ) 12f x x x
= −＇ ( ) 0f x >＇ 2
2x >
( )f x 20, 2
2 +2
∞
，
2( l) 1 nxg xxx + −= −
( ) ( )( )2 1 11' 2 1 x xg x x x x
+ −= − − = ( )' 0g x > 1x >
( )g x 1 12
，
( )g x ( )1 1g =
D ' ( )f x
' ( )f x ( )< P D P∩已知椭圆 C 的两焦点分别为 ，长轴长为 6．
⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点（0，2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求
线段 AB 的长度．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)由焦点坐标可求 c 值，a 值，然后可求出 b 的值．进而求出椭圆 C 的标准方程．
（2）先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．
【详解】
解：⑴由 ，长轴长为 6
得： 所以
∴椭圆方程为
⑵设 ,由⑴可知椭圆方程为 ①,
∵直线 AB 的方程为 ②
把②代入①得化简并整理得
所以
又
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查运算能力，属于中档
题．
20．如图，四棱锥 中，底面 ABCD 为平行四边形， ， ，
底面 ABCD．
Ⅰ证明： ；
( ) ( )1 22 2,0 2 2,0F F− 、
2 2
19 1
x y+ = 6 3
5
( ) ( )1 22 2,0 2 2,0F F− 、
2 2, 3c a= = 1b =
2 2
19 1
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
19 1
x y+ =
2y x= +
210 36 27 0x x+ + =
1 2 1 2
18 27,5 10x x x x+ = − =
2
2
2
18 27 6 3(1 1 )( 4 )5 10 5AB = + − × =Ⅱ求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由余弦定理得 ，从而 BD⊥AD，由 PD⊥底面 ABCD，得 BD⊥PD，从而 BD⊥
平面 PAD，由此能证明 PA⊥BD．
（Ⅱ）以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系
D-xyz，利用向量法能法出平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小．
【详解】
证明：Ⅰ因为 ， ，
由余弦定理得 ，从而 ，故 BD ，
又 底面 ABCD，可得 ，所以 平面 故
Ⅱ如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，
射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， 0， ，
， ， 0， ，
平面 PAD 的一个法向量为 1， ，设平面 PBC 的法向量为 y， ，则 ，取 ，得 1， ，
，故平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为
【点睛】
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．长方体 中，
（1）求直线 与 所成角；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦.
【答案】（1）直线 所成角为 90°；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出直线 AD1 与 B1D 的方向向量，利用向量的夹角公
式，即可求直线 AD1 与 B1D 所成角；
（2）求出平面 B1BDD1 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线 AD1 与平面 B1BDD1 所
成角的正弦．
解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D
（1，0，0）．
∴ ，
∴cos = =0，
∴ =90°，
1 1 1 1ABCD A B C D− 12, 1, 1AB BC AA= = =
1AD 1B D
1AD 1 1B BDD
1 1AD B D与 10
5
1 1
2 6
−
×∴直线 AD1 与 B1D 所成角为 90°；
（2）设平面 B1BDD1 的法向量 =（x，y，z），则
∵ ， =（﹣1，2，0），
∴ ，
∴可取 =（2，1，0），
∴直线 AD1 与平面 B1BDD1 所成角的正弦为 = ．
考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
22．已知抛物线 的准线方程为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）直线 交抛物线于 、 两点，求弦长 .
【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）依已知得 ，所以 ；（Ⅱ）设 ， ，由 消去 ，
得 ,再利用韦达定理求弦长 .
【详解】
（Ⅰ）依已知得 ，所以 ；
（Ⅱ）设 ， ，由 消去 ，得 ，
则 ， ，
2
2 5×
2 2 ( 0)y px p= > 1x = −
p
: 1l y x= − A B AB
12
p = 2p = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
1
4
y x
y x
= −
=
y
2 6 1 0x x− + = AB
12
p = 2p =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
1
4
y x
y x
= −
=
y 2 6 1 0x x− + =
1 2 6x x+ = 1 2 1x x =所以
.
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌
握水平及其应用能力.
( ) ( )2 2
1 2 1 2AB x x y y= − + − ( )2
1 22 x x= ⋅ −
( )2
1 2 1 22 4x x x x= ⋅ + − 2 32 8= ⋅ =
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