辽宁省锦州市2020届高三数学（文）4月质量检测（一模）试题（含答案扫描版）

2020 年高三质量检测 数学（文科）试题参考答案答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 1.～12. CBADC ADABC CB 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．60 14． 15. 16. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 12 分） 解: （Ⅰ）由 则 …………………………………………2 分 ∴ …………………………………………………………3 分 所以 ………………………………………………………5 分 而 故 ……………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由 且 ∴ ………………………7 分 ∴ ……………………………………………………………8 分 ∴ 所以 ……………………………9 分 当且仅当 时等号成立，此时 A=B 则 ，不符合题意∴ ……………10 分 2 289 16 π ca b AB AC +=− − sinsin sinsin ca b ab ac +=− − abcba =−+ 222 2 1 22cos 222 ==−+= ab ab ab cbaC ),0( π∈C 3 π=C abcba =−+ 222 3=c ababba =−−+ 92)( 2 22 )2(339)( baabba +≤=−+ 2( ) 36a b+ ≤ 6a b+ ≤ =a b sin sinA B= 6a b+ + cba ba + (3,6) ,m n 0.4 0.5< 0.7 0.5> 85 90m< < 0.4 0.06 ( 85) 0.5m+ × − = 86.67m = 77.5 5 0.01 82.5 5 0.07 87.5 5 0.06 92.5 5 0.04 97.5 5 0.02 87.25n = × × + × × + × × + × × + × × = 86.67 87.25 0.04+0.02 5=0.3×（ ） 0.3 1000=300× 75 80 0.01 85 100 0 90 95 分数 0.02 0.04 0.03 0.06 0.07 0.05 频率 组距∵ ， ， 平面 ， …………………………………2 分 ∴ 平面 ． ……………………………………………………………………3 分 ∵ 平面 ，∴平面 平面 ．………………………………………………… 4 分 （Ⅱ）取 的中点 ，连接 ， ． ∵ 是 的中点，∴ ， ． ∵ 是 的中点，∴ ， ，…………………………………………………5 分 ∴四边形 是平行四边形，∴ …………………………………………………6 分 ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．………………………………8 分 （Ⅲ）∵ ， ， ，…………………………………………………10 分 ∴ ，∴ ．……………………………12 分 20．（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由题知 …………………………………………………………2 分 AB BC⊥ 1BB BC B= 1,BB BC ⊂ 1 1B BCC AB ⊥ 1 1B BCC AB ⊂ ABE ABE ⊥ 1 1B BCC AB G EG FG F BC FG AC∥ 1 2FG AC= E 1 1A C 1FG EC∥ 1FG EC= 1FGEC 1C F EG∥ 1C F ⊄ ABE EG ⊂ ABE 1C F∥ ABE 1 2AA AC= = 1BC = AB BC⊥ 3AB = 1 1 1 1 3( 3 1) 23 3 2 3E ABC ABCV S AA− = ⋅ = × × × =△    =+ = 12 11 1 22 ba c解得 ， ， …………………………………………………………3 分 所以椭圆 的方程为 …………………………………………………………4 分 （Ⅱ）设 ， 因为直线 的斜率不为零，令 的方程为： 由 得 ………………………………………5 分 则 ， ， ………………………………………6 分 因为以 为直径的圆与直线 的另一个交点为 ,所以 ，则 …7 分 则 ，故 的方程为： …………………8 分 令 ，则 …………………9 分 而 ， ， …………………10 分 所以 …………………11 分 故直线 恒过定点，且定点为 ……………………………………12 分 21.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）若 ， ，……………………2 分 令 ， 得 或 ， 则 的 单 调 递 增 区 间 为 ， 4 3a = 2 4 2(2 1)(2 3)( ) (2 4) ( 0)3 3 x xf x x xx x − −′ = + − = > ( ) 0f x′ > 3 2x > 10 2x< < ( )f x 1(0, )2 22 =a 12 =b C 12 2 2 =+ yx ),( 11 yxA ),( 22 yxB l l 1+= myx    =+ += 12 1 2 2 yx myx 012)2( 22 =−++ myym 2 2 221 +−=+ m myy 2 1 221 +−=⋅ myy AP 2=x Q PQAQ ⊥ ),2( 1yQ 22 12 − −= x yykBQ BQ )2(22 12 1 −− −=− xx yyyy 0=y 22)1(2)2( 12 121 12 21 12 21 +− +−=+− −−=+− −−= yy yymy yy myy yy xyx 2 2 221 +−=+ m myy 2 1 221 +−=⋅ myy 2 21 21 yyymy +−=− 2 322 122 12 1 21 =+−=+− ++− = yy yyy x BQ )0,2 3(，……………3 分 令 ，得 ，则 的单调递减区间为 ． …………………… 4 分 （Ⅱ）（ⅰ）设 ， ……………………5 分 则 ，令 ，得 ；令 ，得 ，…………………6 分 故 ，从而 ，即 ．……………………7 分 （ⅱ）若 ，则 ，…………………………………………………8 分 所以，当 时，由（ⅰ）知， ，则 ， ……………………9 分 又 ， ……………………10 分 所以，当 ， 时， ，……………………11 分 故对任意 ， 对 恒成立．——————————12 分 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）曲线 的普通方程为 ， 即 ……………………2 分 (3 , )2 +∞ ( ) 0f x′ < 1 3 2 2x< < ( )f x 1 3( , )2 2 ( ) ln ( 1)g x x x= − − 1( ) ( 0)xg x xx −′ = > ( ) 0g x′ > 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > max( ) (1) 0g x g= = ( ) ln ( 1) 0g x x x= − − ≤ ln 1x x≤ − ( ,0)a∈ −∞ 3 2( , )ax a −∈ +∞ ln 1x x< − 2( ) 2( 1) ( 4 3)f x x a x x< − + − + 2 3 22( 1) ( 4 3) ( 1)( 2 3 ) ( 1)( )ax a x x x ax a a x x a −− + − + = − + − = − − ( ,0)a∈ −∞ 3 2( , )ax a −∈ +∞ 3 2( 1)( ) 0aa x x a −− − < ( ,0)a∈ −∞ ( ) 0f x < 3 2( , )ax a −∈ +∞ 1C 2 2( 3) ( 2) 4x y− + − = 32323 >−=− aa a 2 2 2 3 4 3 0x y x y+ − − + =又 ，代入上式 ……………………3 分 得 的极坐标方程为 ． ……………………5 分 （Ⅱ）设 ， ， ……………………6 分 将 代入 ， ……………………7 分 得 ， ……………………8 分 所以 ， ……………………9 分 所以 ． ……………………10 分 23．（本题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）当 时， ……………………2 分 或 或 ， ……………………3 分 解得 ，所以原不等式的解集为 ． ……………………5 分 （Ⅱ） 对任意 恒成立，对实数 有解． ∵ ， ……………………6 分 根 据 分 段 函 数 的 单 调 性 可 知 ： 时 ， 取 得 最 大 值 ，……………………7 分 ∵ ， …………………… 8 分 ∴ ， 即 的 最 大 值 为 1C 2 2 3 cos 4 sin 3 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 1( , )P ρ θ 2( , )Q ρ θ π 6 θ = 2 2 3 cos 4 sin 3 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 5 3 0ρ ρ− + = 1 2 3ρ ρ = | | | | 3OP OQ⋅ = 1m = 1| 1| | 2 2 | 1 3 1 xx x x ≤ −− − + ≥ ⇔  + ≥ 1 1 3 1 1 x x − <