辽宁省锦州市2020届高三数学（理）4月质量检测（一模）试题（含答案扫描版）

2020 年高三质量检测 数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分， 1.～12. DBADC BCACB AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．95%，40 （第一空 2 分，第二空 3 分） 14. x+y-2=0 15． 16. 44 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 12 分） 解: （Ⅰ）由 则 …………………………………………2 分 ∴ …………………………………………………………3 分 所以 …………………………………………………5 分 而 故 ……………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由 且 ∴ ……………………7 分 ∴ ……………………………8 分 ∴ 所以 ……………………………9 分 当且仅当 时等号成立，此时 A=B 则 ，不符合题意∴ ……………10 分 又 ……………………………………………………………11 分 π ca b AB AC +=− − sinsin sinsin ca b ab ac +=− − abcba =−+ 222 2 1 22cos 222 ==−+= ab ab ab cbaC ),0( π∈C 3 π=C abcba =−+ 222 3=c ababba =−−+ 92)( 2 22 )2(339)( baabba +≤=−+ 2( ) 36a b+ ≤ 6a b+ ≤ =a b sin sinA B= 6a b+ < 3=>+ cba所以 的取值范围是 …………………………………………………12 分 18.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件 C，“小明射击 靶命中”为事件 , “该射手第一次 射击 靶命中”为事件 ，“该射手第二次射击 靶命中”为事件 ， 由题意可知 ， ， ……………………………2 分 由于 …………………………… 4 分 = ； ……………………………6 分 （Ⅱ） …………………………… 7 分 ， ， ， ， ………………………… …9 分 0 1 2 3 4 5 ……………………………10 分 ba + (3,6) A D B E B F 4( ) 5P D = 3( ) ( ) 4P E P F= = C DEF DEF DEF= + + ( ) ( )P C P DEF DEF DEF= + + 8 1 0 1 2 3 4 5X = ， ， ， ， ， 21 1 1( 0) ( )5 4 80P X = = × = 24 1 1( 1) ( )5 4 20P X = = × = 1 2 1 1 3 3( 2) 5 4 4 40P X C= = × × × = 1 2 4 1 3 3( 3) 5 4 4 10P X C= = × × × = 21 3 9( 4) ( )5 4 80P X = = × = 24 3 9( 5) ( )5 4 20P X = = × = X P 1 80 1 20 3 40 3 10 9 80 9 20. ………………………… 12 分 19.（本题满分 12 分） 证明：（Ⅰ）连接 ，在 中， 故 . …………………………… 1 分 由于三棱柱 是直三棱柱，故 平面 ， 直角三角形 中，因为 ， ，所以 所以 ， 又因 为直角，即 . ……………………………2 分 再由 为 中点并且 为等腰三角形可知 ， 结合 ， 得 平面 ，∴ . ……………………………4 分 综合 ， ， ， 得到 平面 . …………………………… 6 分 （Ⅱ）由于 ，如图以点 为坐标原点建立空间直角坐标系， 1 1 3 3 9 9 19( ) 0 1 2 3 4 580 20 40 10 80 20 5E X = × + × + × + × + × + × = ,AE AF ABC 1 1· ·sin1202 2 = ⋅AB AC BC AE 1AE = 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1ABC AA AE⇒ ⊥ 1A AE 1 3AA = 1AE = 1 2A E = ， 1 2EF = 1A EAE AFEEF AE = ⇒ ∠ 1A E AF⊥ E BC ABC AE BC⊥ 1AA BC⊥ 1AA AE A∩ = BC ⊥ 1A AE BC AF⊥ 1A E AF⊥ BC AF⊥ 1BC A E E∩ = AF ⊥ 1A BC AE BC⊥ E，故 ， ， ， ， , , 设面 法向量为 ，面 法向量为 ， ，取 ，得 ， ……………………… 8 分 ，取 ，得 ， ………………………… 10 分 则二面角 的余弦值 . …………………………… 12 分 20．（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题知 ………………………………………………………… 2 分 解得 ， ， ………………………………………………………… 3 分 3tan60 AEBE = =  ( )3,0,0B − ( )1 0,1, 3A ( )0,0,0E ( )1 3,0, 3B − ( )3,0,0EB = − ( )1 0,1, 3=EA ( )1 3,0, 3EB = − 1BA E ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1B A E ( )2 2 2 2, ,n x y z= 11 1 1 1 1 3 00 0 3 0 xn EB n EA y z  − =⋅ = ⇒ ⋅ = + =      1 1z = ( )1 0, 3,1n = − 2 22 1 2 1 2 2 3 3 00 0 3 0 x zn EB n EA y z  − + =⋅ = ⇒ ⋅ = + =      2 1z = ( )2 1, 3,1n = − 1 1B A E B− − 1 2 1 2 4 2 5cos 54 5 n n n n θ ⋅ = = = ⋅⋅        =+ = 12 11 1 22 ba c 22 =a 12 =b所以椭圆 的方程为 ………………………………………………………… 4 分 （Ⅱ）设 ， 因为直线 的斜率不为零，令 的方程为： 由 得 ……………………………………… 5 分 则 ， ， ………………………………………6 分 因为以 为直径的圆与直线 的另一个交点为 ,所以 ，则 …7 分 则 ，故 的方程为： …………………8 分 令 ，则 …………………9 分 而 ， ， …………………10 分 所以 …………………11 分 故直线 恒过定点，且定点为 ……………………………………12 分 C 12 2 2 =+ yx ),( 11 yxA ),( 22 yxB l l 1+= myx    =+ += 12 1 2 2 yx myx 012)2( 22 =−++ myym 2 2 221 +−=+ m myy 2 1 221 +−=⋅ myy AP 2=x Q PQAQ ⊥ ),2( 1yQ 22 12 − −= x yykBQ BQ )2(22 12 1 −− −=− xx yyyy 0=y 22)1(2)2( 12 121 12 21 12 21 +− +−=+− −−=+− −−= yy yymy yy myy yy xyx 2 2 221 +−=+ m myy 2 1 221 +−=⋅ myy 2 21 21 yyymy +−=− 2 322 122 12 1 21 =+−=+− ++− = yy yyy x BQ )0,2 3(21.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为 ---------------------------------------------------------------1 分 所以 -------------------------------------------3 分 ① 若 ---------------4 分 ② 若 上 单 调 递 增；--5 分 . -------------------6 分 （Ⅱ） ， 是 -----------------------------------------------------------------------------------------7 分 所 以 存 在 唯 一 正 实 数 ---------------------8 分 当 当 ----------------------9 分 所以 将 式代入整理得 -------------------------10 分 由题设 所以 -----11 分 ( ) 1 l n ,f x a x′ = − − ( )f x′ ( ) ( )1在 0，+ 上单调递减且 0af e −′∞ = ( ) ( ) ( )1 1即 1, 则当 1时， 0, 所以 在 1，+ 上单调递减ae a x f x f x− ′≤ ≤ > < ∞ ( ) ( ) ( )1 1 11即 1, 则当1 时， 0, 所以 在 1，a a ae a x e f x f x e− − −′> > < < > ( ) ( ) ( )1 1当 时， 0, 所以 在 , 上单调递减a ax e f x f x e− −′> < +∞ ( ) ( ) 2l n xh x x a x x e−= − − − ( ) 1 l n 2 xh x a x x e−′ = − − − + ( )0，+ 上的减函数∞ ( ) ( )当 0时 , 时 -x h x x h x′ ′→ → +∞ → +∞ → ∞ ( )0 0满足 0即x h x a′ = = ( )0 0 01+l n +2 - - - - - - - -xx x e− ∗ ( ) ( ) ( ) ( )0 00, 时h 0, 是 0, 上的增函数；x x x h x x′∈ > ( ) ( ) ( ) ( )0 0，+ 时h 0, 是 ，+ 上的减函数.x x x h x x′∈ ∞ < ∞ ( ) ( ) 02 0 0 0 0 0max l n xh x h x ax x x x e−= = − − − ( )∗ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 0 0 0 0 0 0max + - = 1+x x xh x h x x x x e e x x e− − −= = − − ( ) 0 0 0 0 0max 0而1+ 0所以 =0即 =x xh x x x e e x− −= > − 0 0l nx x− =所以 -----------------------------12 分 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）曲线 的普通方程为 ， 即 ……………………2 分 又 ，代入上式 ……………………3 分 得 的极坐标方程为 ． ……………………5 分 （Ⅱ）设 ， ， ……………………6 分 将 代入 ， ……………………7 分 得 ， ……………………8 分 所以 ， ……………………9 分 所以 ． ……………………10 分 23．（本题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 解：（Ⅰ）当 时， ……………………2 分 或 或 ， ……………………3 分 解得 ，所以原不等式的解集为 ． ……………………5 分 （Ⅱ） 对任意 恒成立，对实数 有解． ∵ ， …………………… 6 分 根 据 分 段 函 数 的 单 调 性 可 知 ： 时 ， 取 得 最 大 值 1C 2 2( 3) ( 2) 4x y− + − = 1C 2 2 3 cos 4 sin 3 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 1( , )P ρ θ 2( , )Q ρ θ π 6 θ = 2 2 3 cos 4 sin 3 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2 5 3 0ρ ρ− + = 1 2 3ρ ρ = | | | | 3OP OQ⋅ = 1m = 1| 1| | 2 2 | 1 3 1 xx x x ≤ −− − + ≥ ⇔  + ≥ 1 1 3 1 1 x x − <