石城中学 2020 届高三下学期第十次周考
数学（理科）
满分 150 分 时间 120 分钟
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．在复平面内，复数 z=i 对应的点为 Z，将向量 绕原点 O 按逆时针方向旋转 ，所得向
量对应的复数是（ ）
A. B. C. D.
3.在等比数列 中，“ 是方程 的两根”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若 ，则 （ ）
A B. C. D.
5. 设 F 为 抛 物 线 的 焦 点 ， A, B,C 为 抛 物 线 上 三 点 , 若 则 |
( )
A.9 B.6
6.函数 （其中 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为 5,则 P 的取值范围是( )
{ }2 6 0A x x x= + − > { | 1 3}B x x= − < < A B =
( 1,2)− (2,3) ( )3,3− ( 1,3)−
OZ 6
π
i2
3
2
1 +− i2
1
2
3 +− i2
3
2
1 −− i2
1
2
3 −−
{ }na 4 12,a a 2 3 1 0x x+ + = 8 1a = −
3cos( )4 5
π α− = sin 2α =
7
25
1
5
1
5
− 7
25
−
24x y= 0,FA FB FC+ + =
| | | | |FA FB FC+ + =
3.8C 3.16D
2 ( )
( ) e
x n
mf x
−
= e
0m > 0 1n< < 0m > 1 0n− < <
0m < 0 1n< < 0m < 1 0n− < > >， ， ( ) 16a a b c bc+ + + = 22 2a b c m m+ + > +
m
( ) ( )2 4−∞ − + ∞， ， ( ) ( )4 2−∞ − + ∞， ， ( )2 4− ， ( )4 2− ，
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
2
2 AC DB=
1
3 6,3 3
3[ ,1)3
3(0, ]3
6[ ,1)312.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其方程为(x +y
) =x y .给出下列四个结论:
①曲线 C 有四条对称轴;
②曲线 C 上的点到原点的最大距离为 ;
③曲线 C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 ;
④四叶草面积小于 .
其中,所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④
二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知二项式 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 ，则 的
系数为________．
14.若 为假，则实数 a 的取值范围为 .
15.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)和点 B（-3，4），若点 C 在∠AOB 的平分线上，且
，则向量 的坐标为
16．已知抛物线 C：y2=4x，点 P 为抛物线 C 上一动点，过点 P 作圆 M：(x-3)2+y2=4 的切
线，切点分别为 A，B，则线段 AB 长度的取值范围为
三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.如图，等腰直角三角形 中， ， ，点 为 内一点，且
2
2 3 2 2
1
4
1
8
4
π
12
n
x
x
− 2:5 3x
051, 2
0
2
00 > 1F 2F
1 2 0BF BF⋅ =
(2,0)A
1F 2F
( ) eln
xbf x a x x
= − ( )y f x= ( )( )1, 1f 2 2x y− − −
0e =（1）求 ， 的值；
（2）证明函数 存在唯一的极大值点 ，且 .
21.某工厂生产零件 A，工人甲生产一件零件 A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为
，工人乙生产一件零件 A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为 ．己知生
产一件一等品、二等品、三等品零件 A 给工厂带来的效益分别为 10 元、5 元、2 元。
(I)试根据生产一件零件 A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏：
(II)为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：
每一轮比赛，甲乙各生产一件零件 A，如果一方生产的零件 A 品级优干另一方生产的零件，则
该方得分 1 分，另一方得分-l 分，如果两人生产的零件 A 品级一样，则两方都不得分，当一
方总分为 4 分时，比赛结束，该方获胜． （i=-4，-3，-2，…4）表示甲总分为 i 时，最
终甲获胜的概率．
①写出 的值；②求决赛甲获胜的概率．
(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则技所做的第一题计分
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是Error!(t 为参数)．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；
(2)设点 P(m,0)，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数 m 的值．
a b
( )f x 0x ( )0 2ln 2 2f x < −
4
1,2
1,4
1
3
1,3
1,3
1
4+ip
80 , pp23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 .
（1）解不等式： ；
（2）当 时，函数 的图象与 轴围成一个三角形，求实数 的
取值范围.
( ) 2 2 5f x x= + −
( ) | 1|f x x≥ −
1m ≥ − ( ) ( ) | |g x f x x m= + − x m数学参考答案（理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A D C C C B B D A C
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.240 14. 15.（-3，9） 16.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
17【详解】（1）由条件及两角和的正切公式得：
，
而 ，所以 ，
则 ，
∵ ，∴ .
在 中，由正弦定理知： ，即 .
（2）由（1）知， ，而在等腰直角三角形 中， ，
，所以 ，
则 .
在 中，由余弦定理，
，
∴ ，
]4,(−∞ )4,22[
tan tantan( ) 1 tan tan
PAB PBAPAB PBA PAB PBA
∠ + ∠∠ + ∠ = − ∠ ⋅ ∠
1 1
3 2 11 11 3 2
+
= =
− ×
0 PAB PBA π< ∠ + ∠ <
4PAB PBA
π∠ + ∠ =
3( ) 4 4APB PAB PBA
π ππ π∠ = − ∠ + ∠ = − =
1tan 2PBA∠ = 1sin
5
PBA∠ =
PAB∆
sin sin
PA AB
PBA APB
=∠ ∠
4 10
5PA =
4PAB PBA
π∠ + ∠ = ABC 2 2CA =
4CAB CAP PAB
π∠ = ∠ + ∠ = CAP PBA∠ = ∠
2cos
5
CAP∠ =
PAC∆
2 2 2 2 cosPC AC AP AC AP CAP= + − ⋅ ⋅ ∠
32 4 10 2 5 88 2 2 25 5 5 5
= + − × × × =
2 10
5PC =∵ ，∴ .
18.【详解】 设 ，连结 OE，OF，
四边形 ABCD 是菱形， 平面 ABCD， ， 平面 BDE，
， ， 平面 ABCD，
设 ， ， ，
以 O 为原点，OA，OB，OF 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 0， ， ， b， ， 0， ， 0， ，
b， ， 0， ， ，
设平面 BCF 的法向量为 y， ，
则 ，取 ，得 c， ，
， 平面 BCF，
平面 BCF．
设 ， ， ， ，
， 1， ， ， ，
， ， ，
设平面 ABE 的法向量 y， ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 BDE 的法向量 y， ，
则 ，取 ，得 0， ，
设二面角 的平面角为 ，
2 2 2PC PA AC+ = 90APC∠ = °
( )1 证明： AC BD O∩ =
EA ⊥ / /EF AC / /CF
/ /COE F∴ EF AO CO∴ = = OF∴ ⊥
OA a= OB b= AE c=
( ,E a )c , ,02 2
a bG
(0,B 0) ( ,C a− 0) (0,F )c
(0,FB = )c− ( ,FC a = − )c− , ,2 2
a bEG c = − − −
( ,n x= )z
0
0
n FB by cz
n FC ax cz
⋅ = − = ⋅ = − − =
z b= ( ,bcn a
= − )b
( ) 02 2
a bc bn EG c c ba
⋅ = − ⋅ − + ⋅ + − ⋅ =
EG ⊄
E / /G∴
( )2 2AE AB= = 60BAD ∠ = 1OB∴ = 3OA =
( )3,0,0A∴ (0,B 0) ( )3,0,2E ( )0, 1,0D −
( )3, 1,2BE = − ( )3, 1,0BA = − ( )0, 2,0BD = −
( ,n x= )z
3 0
3 2 0
n BA x y
n BE x y z
⋅ = − =
⋅ = − + =
1x = ( )1, 3,0n =
( ,m x= )z
3 2 0
2 0
m BE x y z
m BD y
⋅ = − + =
⋅ = − =
2x = (2,m = 3)−
A BE D− − θ则 ， 二面角 的余弦值为 ．
19．【详解】（1）易知 ，因为 ，所以 为等腰三角形．
所以 ，由 可知 ，故椭圆的标准方程为： ．
（2）由已知得 ， ，设椭圆的标准方程为 ，P 的坐标为
因为 ， ，所以 ， ，
由题意得 ，所以 ．
又因为 P 在椭圆上，所以 ，由以上两式可得
因为 P 不是椭圆的顶点，所以 ， ，故
设圆心为 ，则 ，
圆的半径 假设存在过 直线满足题设条件，并设该直线的
方程为 由相切可知 ，所以 ，即
，解得 ，故存在满足条件的直线．
20【详解】（1）函数的定义域为 ， ，
则 （1） ， （1） ，
故曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
又曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
， ；
（2）证明：由（1）知， ，则 ，
2 7
74 7
m ncos
m n
θ ⋅= = =
⋅ ⋅
∴ A BE D− − 7
7
2a = 1 2 0BF BF⋅ = 1 2BF F△
b c= 2 2 2a b c− = 2b =
2 2
14 2
x y+ =
2 2b c= 2 22a c=
2 2
2 2 12
x y
c c
+ = ( )0 0,x y
1( ,0)F c− (0, )B c ),( 001 ycxPF += ),(1 ccPF =
011 =• BFPF 0 0 0x c y+ + =
2 2
0 0
2 2 12
x y
c c
+ = 2
0 03 4 0x cx+ =
0
4
3x c= − 0
1
3y c= 4 1,3 3c c −
( )1 1,x y 1
2
3x c= − 1
2
3y c=
( ) ( )2 2
1 1
50 3r x y c c= − + − = 2F
( )y k x c= − 1 1
2 1
kx kc y r
k
− − =
+ 2
2 2
3 3 5
31
k c kc c
c
k
− − − =
+
2120 20 1 0k k+ − = 1 30
2 10k = − ±
(0, )+∞
2
( )( )
x xa b xe ef x x x
−′ = −
f ′ a= f be= −
( )y f x= (1 f ) 0ax y a be− − − =
( )y f x= (1 f ) 2 2 0x y e− − − =
2a∴ = 1b =
( ) 2
xef x lnx x
= − 2
2( )
x xx xe ef x x
− +′ =令 ，则 ，易知 在 单调递减，
又 ， （1） ，
故存在 ，使得 ，
且当 时， ， 单调递增，当 ， 时， ， 单调递
减，
由于 ， （1） ， （2） ，
故存在 ，使得 ，
且当 时， ， ， 单调递增，当 ， 时， ，
， 单调递减，
故函数存在唯一的极大值点 ，且 ，即 ，
则 ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
由于 ，故 （2） ，即 ，
．
( ) 2 x xg x x xe e= − + ( ) 2 xg x xe′ = − ( )g x′ (0, )+∞
(0) 2 0g′ = > g′ 2 0e= − <
1 (0,1)x ∈ 1( ) 0g x′ =
1(0, )x x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x 1(x x∈ )+∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
(0) 1 0g = > g 2 0= > g 24 0e= − <
0 (1,2)x ∈ 0( ) 0g x =
0(0, )x x∈ ( ) 0>g x ( ) 0f x′ > ( )f x 0(x x∈ )+∞ ( ) 00，解得－1
+ − ≥ −
8x ≤ − ∅ 2x ≥
( ) 1f x x≥ − ( ] [ ), 8 2,−∞ − ∪ +∞
1m = − ( ) 2 2 5 1g x x x= + − + + 3 1 5x= + −
( )g x x
1m > − ( ) 2 2 5g x x x m= + − + −
3 7, 1
3, 1
3 3,
x m x
x m x m
x m x m
− + − ≤ −
= + − − < ≤
− − >
( )g x ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞
( )g x x
( )
( )
1 4 0
2 3 0
g m
g m m
− = −
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