2020 年河南省六市高三第一次模拟调研试题
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
2.答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的
位置上。
3.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第 I 卷 选择题(共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有，
一项是符合题目要求的。
1.若复数 z 满足(1＋i) ＝1＋2i，则|z|＝
A. B. C. D.
2.集合 M＝{y|y＝ ，x∈Z}的真子集的个数为
A.7 B.8 C.31 D.32
3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、
木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克
的关系。若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为
A. B. C. D.
4.已知 f(x)＝(cosθ)x，θ∈(0， )，设 a＝f( log2 )，b＝f(log43)，c＝f(log165)，则 a，b，c
的大小关系是
z
2
2
3
2
10
2
1
2
24 x−
1
5
1
4
1
3
1
2
2
π 1
2 7A.a>c>b B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a
5.已知 cos( ＋α)＝ ，且 a∈( ， )，则 tanα＝
A. B. C.－ D.±
6.设函数 f(x)＝ ，则函数的图像可能为
7.已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是
A.该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高
B.该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低
C.该超市 2019 年 7 至 12 月份的总收益比 2019 年 1 至 6 月份的总收益增长了 90 万元
D.该超市 2019 年 1 至 6 月份的总收益低于 2019 年 7 至 12 月份的总收益
8.已知向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝ ，|b|＝1，则向量 b 与 a－b 的夹角为
A. B. C. D.
9.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.
它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东
南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用。卷八中第 33 问是：“今有三角果
一垛，底阔每面七个，问该若干?”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛
果子的总数 S 为
2
π 3
5 2
π 3
2
π
4
3
3
4
3
4
3
4
1ln1
xx x
+
−
3
3
π 2
3
π
6
π 5
6
πA.84 B.56 C.35 D.28
10.已知点 M 是抛物线 x2＝4y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆 C：(x－1)2＋(y－4)2＝
1 上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.6
11.设锐角△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的边长分别为 a，b，c，且 b＝2，A＝2B，则 a 的
取值范围为
A.(2 ，2 ) B.(2，2 ) C.(2 ，4) D.(0，4)
12.设 F1，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 F1 作圆 x2＋y2＝b2 的
切线与双曲线的左支交于点 P，若|PF2|＝2|PF1|，则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
第 II 卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y＝xsinx 在点(π，0)处的切线方程为 。
14.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝7，S6＝63。则 a1＝ 。
15.已知函数 f(x)＝ sinωx＋cosωx(ω>0)，当|f(m)－f(n)|＝4 时，|m－n|的最小值为 ，若将
函数 f(x)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位后所得函数图像关于 y 轴对称，则 φ 的最小值为 。
16.在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1＝3。底面三边长分别为 3、5、7，P 是上底面 A1B1C1
所在平面内的动点，若三棱锥 P－ABC 的外接球表面积为 ，则满足题意的动点 P 的轨
迹对应图形的面积为 。
2 3 3 2
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
3 5 6
3 3
π
244
3
π三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60 分
17.(本小题满分 12 分)
党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一。为
坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶
单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，
其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80，100]的为优等品；指标在区间[60，80)的为合格
品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取 100 件作为样本进行
检测，测试指标结果的频数分布表如下：
甲种生产方式：
(1)在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品采用分层抽样方式，随机抽出 5 件产品，①
求这 5 件产品中，优等品和合格品各有多少件；②再从这 5 件产品中，随机抽出 2 件，求这 2
件中恰有 1 件是优等品的概率；
(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售 55 元，若是合格品每件可售 25 元甲种生产方
式每生产一件产品的成本为 15 元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为 20 元用样本估计
总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位应选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱
贫?
18.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}的公差 d>0，其前 n 项和为 Sn，且 S5＝20，a3，a5，a8 成等比数列。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
19.(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 4BCD 为正方形，△PAD 为等边三角形，中面 PAD⊥平
1
1
n n
na a +
+⋅面 PCD。
(1)证明：平面 PAD⊥平面 ABCD；
(2)若 AB＝2，Q 为线段 PB 的中点，求三棱锥 Q－PCD 的体积。
20.(本小题满分 12 分)
设椭圆 C： 的左，右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，动点 P(x0，y0)
在椭圆 C 上运动，当 PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)延长 PF1，PF2 分别交椭圆 C 于 A，B(A，B 不重合)两点，设 ， ，
求 λ＋μ 的最小值。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝lnx＋ (a∈R)。
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)令 g(a)＝ ，若对任意的 x>0，a>0，恒有 f(x)≥g(a)成立，求满足条件的最大整
数 k 的值。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1 1AF F Pλ=
2 2BF F Pµ=
a
x
( 5) 2a k
a
− −滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 Ox 中，方程 ρ＝a(1－sinθ)(a>0)
表示的曲线 C1 就是一条心形线，如图，以极轴 Ox 所在的直线为 x 轴，极点 O 为坐标原点的
直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C2 的参数方程为 (t 为参数)。
(1)求曲线 C2 的极坐标方程；
(2)若曲线 C1 与 C2 相交于 A、O、B 三点，求线段 AB 的长。
23.[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，a∈R。
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥7 的解集；
(2)若 f(x)≤|x－4|＋|x＋2a|的解集包含[0，2]，求 a 的取值范围。
1 3
3
3
x t
y t
= +
= +
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