浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2019届高三第三次联考数学试题卷

绝密★考试结束前（2019 届高三 5 月仿真联考） 浙江省名校新高考研究联盟（Z20 联盟）2019 届第三次联考 数学试题卷 命题： 胡云华、等 审稿： 王欣元 济高级中学 刘春苗 校稿：王铮、徐柏军 考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟： 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的 地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答 题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 参考公式： 柱体的体积公式： 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式： 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式： 其中 ， 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体 的高 球的表面积公式： 球的体积公式： ，其中 R 表示球的半径 第Ⅰ卷 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求． 1．已知集合 ， ，则 V Sh= 1 3V Sh= 1 1 2 2 1 ( )3V h S S S S= + + 1S 2S 24S Rπ= 34 3V Rπ= 1{ }|A x y x= = − –1 2{ | }B x x= < < A B∩ =A． B． C． D． 2． （i 为虚数单位），则复数 对应点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知顶点在 x 轴上的双曲线实轴长为 4，其两条渐近线方程为 ，该双曲线的焦点为 A． B． C． D． 4．“ ”是“圆 与圆 外切”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 5．已知实数 x，y 满足不等式 ，则 最小值为 A．2 B．4 C． D．8 6．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是 A． B． C． D． 7．某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的 20 个球，其中 6 个红球、14 个黑球， 参加活动的人，每人都有放回地取球 2 次，每次从中任取一球，每个红球兑换 20 元，每个黑球兑换 5 元，则每位参与者获奖的期望是 A．15．5 元 B．31 元 C．9．5 元 D．19 元 8．已知 ，则下列不等式正确的是 ( )1,1− ( ]1,1− [ )1,2 ( )1,2 ( )1 2z i i+ = z 2 0x y± = ( 2 3,0)± ( 4 3,0)± ( 2 5,0)± ( 4 5,0)± 3a = 2 2: 2O x y+ = 2 2: ( ) ( ) 8C x a y a− + − = | | 2 2x y+ ≥ 22x y+ 2 2 i( s) n1 1 x x ef x e x −= ⋅+ 1( ) 1 sin x x ef x e x −= ⋅+ o( c) s1 1 x x ef x e x −= ⋅+ 1( ) 1 cos x x ef x e x −= ⋅+ 0a b> >A． B． C． D． 9．用四种颜色给下图的 6 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共 有多少种不同的涂法 A．72 B．96 C．108 D．144 10．如图，棱长为 2 的正方体 的顶点 A 在平面 上，棱 与平面 所成的角为 ， 点 在平面 上的射影为 O，正方体 绕直线 旋转，则当直线 与 所成角 最小时，侧面 在平面 上的投影面积为 A． B． C． D．2 第Ⅱ卷 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每空 4 分，双空题每空 3 分，共 36 分． 11．二项式 展开式的二项式系数和为___________;常数项为___________． 12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________;表面积为___________． 正视图 侧视图 俯视图 ln lna b b a− > − | | | |a b b a− < − ln lna b b a− < − | | | |a b b a− > − 1 1 1 1ABCD A B C D− α 1AA α 60° 1A α 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 1AO 1BC 11ABB A α 2 3 6 2− 6 2+ 61( )x x −13．已知 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， 的面积 ，则 ___________;a 的最小值为___________． 14．已知方程 ，（其中 ），若 是方程的解，则 ___________，当 时方程的解 ___________． 15．已知边长为 1 的正方形 ABCD，E，F 分别是边 BC，DC 上的两个动点， ，若 ，则 的最小值为___________． 16．已知 ， 是焦距为 2 的椭圆 的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一个点，过点 P 作椭圆 C 的切线 l，若 ， 到切线 l 的距离之积为 4，则椭圆 C 的离心率为___________． 17．若存在无穷数列 ， 满足：对于任意 ， 是方程 的两根，且 ， ，则 ___________． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分） 已知函数 的最小正周期为 ，且当 时， 取最大 值． （I）求 ， 的值； （Ⅱ）若 ， ，求 的值． 19．（本题满分 15 分）在所有棱长都相等的三棱柱 中， ． （I）证明： ; （Ⅱ）若二面角 的大小为 ，求 与平面 ABC 所成角的正弦值． ABC 3 cos sin a b A B = ABC 3S = A = og 3( )l 5x x a x− = 0, 1a a> ≠ 2x = a = 2a = x = AE AF xAB yAD+ = +    3x y+ = | |EF 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F { }na { }nb n N+∈ 1, 1n na b+ + 2 1 ( ) 02 n n n nx a b x a b− + + = 10 1a = 1 0b > 1b = ( ) 4sin( ( 0,) )0f x xω ϕ ω ϕ π+ > + 2018n∴ > n 4 2 22 mp pm = + = m 2 4 4 0p p− + = 2p = E 2 4y x= 1 1 2 2( , ), ( , )A x y C x y ABCD 0 0( , )M x y当 轴，则 在原点， ， ， ，菱形的面积 ， 解法一：当 与 轴不垂直时， 设直线 方程： ，则直线 的斜率为 消去 得： ， ∴ ， ∵ 为 的中点 ， 点 在抛物线上，且直线 的斜率为 ，解得： ， ． 综上， 或 ． 解法二：设 ，直线 的斜率为 ， ，直线 的斜率为 ， AC ⊥ x B (4,0)M | | 8AC = |B | 8D = 1 | | | | 322s AC BD= ⋅ = AC x AC x ty m= + BD t− 2 4y x x ty m  =  = + x 2 4 4 0y ty m− − = 1 2 1 2 4 4 y y t y y m + =  = − 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 4 24 4 y y y y y yx x t m + + −+ = = = + 2 0 02 , 2x t m y t= + = M BD 2(4 2 8,4 )B t m t∴ + − B BD t− 2 2 2 16 4(4 2 8) 2 ,( 0)2 8 t t m t t tt m  = + − = − ≠ + − 4, 1m t= = ± (4, 4)B ± | | 4 2BD = 2 2 2 1 2| | 1 | | 1 16 16 2 16 64 4 10AC t y y t t m= + − = + + = + = 1 | || | 16 52s AC BD= = 32s = 16 5 2( ,2 )B a a BD ( 0)k k ≠ 2 2 8 ak a = − 2 8( , )2 aM a + AC 1 k −可以设 消去 得： ∵ ，∴ 解方程： ， 解得 ， ……13 分，接下去同上． 22．解析 （Ⅰ）因为函数 不单调，所以 有两个不同正根， 即 得 此时， ， 所以 ． （Ⅱ）令 的两根为 ，且 ， 则 在 上递增， 上递减， 上递增， 且 ， ， ， 因为 存在 3 个不同的零点， 且 时， ， 时， ， 2 8: ( )2 aAC x k y a +− = − −直线 2 2 8 ( )2 4 ax k y a y x  +− = − −  = x 2 24 4 2 16 0y ky ka a+ − − − = 1 2 02 2y y y a+ = = 4 2 , 2 ak a k− = = − 2 2 ( 0)2 8 a a aa − = ≠− 2a = ± 1k = ± ( )f x ( ) 1 +2 0f x x ax ′ = − = ( )min min 1 +2 2 2 0f x x a ax  ′ = − = − 1 0f a  ′ >   02 af  ′ >   2 2a > ( ) 22 1 0x axf x x − +′ = = 1 2,x x 1 2x x< ( )f x ( )10, x ( )1 2,x x ( )2,x +∞ 1 2 2 ax x+ = 1 2 1 2x x⋅ = 1 2 2 2x x< < 1 2 1 2 1 12 2a x xx x = + = + ( )f x 0x → ( )f x → −∞ x → +∞ ( )f x → +∞所以 ， 同理 ， 令 ，则 ，得 ， 所以 在 上递增， 上递减， 因为 ，所以 ， 又因为 ，当 时， 所以存在 使得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 法一：令 ， ， ， 所以 有两个根， 设为 且 ，则 在 上单调递减． 若 ，则 ， 即 ， 即 ； ( ) ( )1 20, 0f x f x> < ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln 2 2 ln 1f x x x x x x xx  = + − + + = − +   ( ) 2 2 2 2ln 1f x x x= − + ( ) 2ln 1g x x x= − + ( ) 1 2 0g x xx ′ = − < 2 2x > ( )g x 20, 2       2 ,2  +∞    ( )1 0g = 2 1x > 1 02g   >   0x → ( )g x → −∞ 0 10, 2x  ∈   ( )0 0g x = ( )1 0g x > 1 0 2 1 2 x xx = > 2 0 11 2x x < < 2 0 2 0 1 12 3, 2a x xx x  = + ∈ +   ( ) ( ) ( ) ( )22 2 3 ln 2 2 3 2h x f x x x x a x= − − = + − + − + ( ) ( )1 2 2 2 3h x x ax ′ = + − + − ( )min 3 0h x a′ = − < ( ) 0h x′ = 1 2,t t 1 2t t< ( )h x ( )1 2,t t 1 2t m n t< < < ( ) ( )h m h n> ( ) ( ) ( )( )2 2 3f m f n m n− > − − ( ) ( ) 2 2 3f m f n m n − < −−若 同理可证， 所以对于任意的 ， 不等式 成立； 即存在 ， 使得 成立． 法二：因为 所以 有两根， 若 是方程的两根，不妨令 ， 则对任意的 有 由拉格朗日中值定理知存在 ， 使得 所以存在 使得 ． 1 2t n m t< < < ( )1 2, ,m n t t∈ ( ) ( ) 2 2 3f m f n m n − < −− ( ), 0,m n∈ +∞ ( ) ( ) 2 2 3f m f n m n − < −− ( )min min 1 +2 2 2 2 2 3f x x a ax  ′ = − = − < −   ( ) 2 2 3f x′ = − m n， m n< ( ),t m n∈ ( ) 2 2 3f t′ < − ( )0 ,t m n∈ ( ) ( ) ( ) 0 f m f nf t m n −= − ( ), 0,m n∈ +∞ ( ) ( ) 2 2 3f m f n m n − < −−