2020年高三数学（理）二轮复习专题能力训练　直线与圆（含答案及解析全国通用）

1 专题能力训练 16　直线与圆 一、能力突破训练 1.已知圆 E 经过三点 A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在 x 轴的正半轴上,则圆 E 的标准方程 为(　　) A.(푥 - 3 2)2 +y2=25 4 B.(푥 + 3 4)2 +y2=25 16 C.(푥 - 3 4)2 +y2=25 16 D.(푥 - 3 4)2 +y2=25 4 答案:C 解析:因为圆心在 x 轴的正半轴上,排除 B;代入点 A(0,1),排除 A,D.故选 C. 2.若直线 x-2y-3=0 与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9 交于 E,F 两点,则△ECF 的面积为(　　) A.3 2 B.2 5 C.3 5 5 D.3 4 答案:B 解析:由题意,圆心为 C(2,-3),半径为 r=3,则△ECF 的高 h=d=|2 + 2 × 3 - 3| 1 + ( - 2)2 = 5,底边长为 l=2 푟2 - 푑2=2 9 - 5=4,所以 S△ECF=1 2 × 4 × 5=2 5,故选 B. 3.(2018 全国Ⅲ,理 6)已知直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x- 2)2+y2=2 上,则△ABP 面积的取值范围是(　　) A.[2,6] B.[4,8] C.[ 2,3 2] D.[2 2,3 2] 答案:A 解析:设圆心到直线 AB 的距离 d=|2 + 0 + 2| 2 =2 2. 点 P 到直线 AB 的距离为 d'. 易知 d-r≤d'≤d+r, 即 2 ≤ d'≤3 2. 又 AB=2 2,∴S△ABP=1 2·|AB|·d'= 2d', ∴2≤S△ABP≤6.2 4.已知直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=2 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“∠AOB=120°”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:圆心(0,0)到直线 l:y=kx+1 的距离为 d= 1 1 + 푘2. 若∠AOB=120°,则有 1 1 + 푘2 = 2·1 2,解得 k2=1,即 k=±1. 若 k=1,则∠AOB=120°;但∠AOB=120°,则 k=-1 或 k=1,故选 A. 5.已知点 M,N 是圆 A:x2+y2-2x=0 与圆 B:x2+y2+2x-4y=0 的公共点,则△BMN 的面积 为　　　　　. 答案:3 2 解析:联立{푥2 + 푦2 - 2푥 = 0, 푥2 + 푦2 + 2푥 - 4푦 = 0,两式相减可得直线 MN 的方程为 x-y=0. 所以点 B(-1,2)到直线 MN 的距离为| - 1 - 2| 2 = 3 2 2 ,线段 MN 的长度为 2 ( 5)2 - (3 2 2 )2 = 2. 所以 △BMN 的面积为1 2 × 3 2 2 × 2 = 3 2. 6.公元前 3 世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了 众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹 为直线或圆,后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,已知点 A(- 2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点 P 的轨迹的圆心为　　　　　,面积为　　　　　. 答案:(10 3 ,0)　64π 9 解析:设 P(x,y),∵|PA|=2|PB|, ∴ (푥 + 2)2 + 푦2=2 (푥 - 2)2 + 푦2, 即(x+2)2+y2=4(x-2)2+4y2,化简可得(푥 - 10 3 )2 +y2=64 9 . 故圆心坐标为(10 3 ,0),面积为64π 9 . 7.已知圆 C 的圆心与抛物线 y2=4x 的焦点 F 关于直线 y=x 对称,直线 4x-3y-2=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为　 . 答案:x2+(y-1)2=10 解析:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0)关于直线 y=x 的对称点 C(0,1)是圆心,C 到直线 4x-3y- 2=0 的距离 d=|4 × 0 - 3 × 1 - 2| 5 =1.3 ∵圆截直线 4x-3y-2=0 的弦长为 6, ∴圆的半径 r= 12 + 32 = 10. ∴圆方程为 x2+(y-1)2=10. 8.已知 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,过点 P 作抛物线准线的垂线,垂足为点 M,N 是圆(x- 2)2+(y-5)2=1 上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是　　　　　. 答案: 26-1 解析:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1 的圆心为 C(2,5),根据抛物线的定 义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离,进而推断出当 P,C,F 三点共线时,点 P 到点 C 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|= (2 - 1)2 + (5 - 0)2 = 26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1= 26-1. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 3,求直线 MN 的方程; (3)设圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,若圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求푃퐴·푃퐵 的取值范围. 解:(1)依题意,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离, 即 r= 4 1 + 3=2.所以圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0. 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d=|푚| 5. 由垂径定理,得푚2 5 +( 3)2=22,即 m=± 5. 所以直线 MN 的方程为 2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0. (3)设点 P(x,y),由题意得点 A(-2,0),B(2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 得 (푥 + 2)2 + 푦2· (푥 - 2)2 + 푦2=x2+y2, 即 x2-y2=2. 因为푃퐴·푃퐵=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1), 且点 P 在圆 O 内,所以{0 ≤ 푥2 + 푦2 < 4, 푥2 - 푦2 = 2. 由此得 0≤y2|A'A|. 所以点 B 的轨迹是以 A',A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.其中,a=2,c= 3,b=1,故曲线 Γ 的 方程为푥2 4 +y2=1. (2)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB⊥CD, 则푂퐵 ⊥ 퐴퐵.设 B(x0,y0), 则 x0(x0- 3)+푦20=0. 又푥20 4 + 푦20=1,解得 x0= 2 3,y0=± 2 3. 则 kOB=± 2 2 ,kAB= ∓ 2,则直线 AB 的方程为 y=± 2(x- 3), 即 2x-y- 6=0 或 2x+y- 6=0. 11.已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若푂푀·푂푁=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解:(1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1. 因为 l 与 C 交于两点,所以|2푘 - 3 + 1| 1 + 푘2 0,则 b