四川宜宾叙州区二中2019-2020高一数学下学期第二次月考试题（含答案Word版）

2020 年春四川省叙州区第二中学高一第二学月考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1． A． B． C． D． 2．若 ，则 的模不可能是 A．0 B． C．2 D．3 3．设角 的终边经过点 ，则 的值等于 A． B． C． D． 4．下列命题正确的是 A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 B．向量 共面，即它们所在的直线共面 C．若 ，则存在唯一的实数 使 D．零向量是模为 ，方向任意的向量 5．已知 M 是△ABC 的 BC 边上的中点，若向量 =a, = b，则向量 等于 cos31 cos1 sin149 sin1° ° + ° ° = 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 1, 2a b= =  a b⋅  1 2 θ ( )3,4− cos( )4 πθ − 2 10 − 2 10 7 2 10 7 2 10 − a b b c a c , ,a b c   / /a b  λ a b= λ  0 AB AC AMA． (a－b) B． (b－a) C． ( a＋b) D． (a＋b) 6．已知向量 ,若 ,则 A．1 B． C． D． 7．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值可以是 A． B． C．1 D．2 8．已知向量 满足 ,则 与 的夹角 A．150° B．120° C．60° D．30° 9．已知 ， ，则 等于 A． B． C． D． 10．已知函数 在 处取得最大值，则函数 A．偶函数且它的图象关于点 对称 B．偶函数且它的图象关于点 对称 C．奇函数且它的图象关于点 对称 D．奇函数且它的图象关于点 对称 11．在 中，已知 ， ， 的外接圆半径为 1，则 A． B． C． D．6 12．若函数 为定义在 上的奇函数,且在 为减函数,若 ,则不等式 的解集为 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．函数 的定义域是________. 1 2 1 2 1 2 1 2 − (4sin ,1 cos ), (1, 2)a bα α= − = − 2a b⋅ = − 2 2 sin cos 2sin cos α α α α =− 1− 2 7 − 1 2 − { }2| 2 0A x x x= − − ≤ { }|B x x m= ≤ A B A= m 2− 1− ,a b  5, 4, 61a b b a= = − =   a b θ = π 02x  ∈ −  ， 4cos 5x = tan 2x 7 24 7 24 − 24 7 24 7 − ABC∆ 3A π= 1b = ABC∆ ABCS∆ = 3 3 3 4 3 2 ( )f x R ( )0, ∞+ ( )2 0f = ( ) ( )1 1 0x f x− − > ( )3, 1− − ( ) ( )1,1 1,3−  ( ) ( )3,0 1,3−  ( ) ( )3, 1 2,− − +∞ tan 1 sin xy x = +14．已知 、 、 分别是 的三个内角 、 、 所对的边，若 ，则 __． 15．已知 中， ， ， 为 中点，当 取最小值时， 面积为_____． 16．已知函数 ，若关于 x 的方程 有六个不同的 实根，则 a 的取值范围是_______． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知 ， ，且 ， ，求角 的值. 18．（12 分）已知向量 ， ， ． (1) 若 ，求 ； (2) 求 的最大值． 19．（12 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ． （1）求 ； （2）求 的值． a b c ABC∆ A B C cos cos 2 B b C a c = − + B = ABC∆ 2 3AB = 3 6AC BC+ = D AB CD ABC∆ ( ) 3 1 , 0 9, 0 x xf x x x x  + >=   + ≤ ( ) ( )2 2f x x a a R+ = ∈ ( ) 3cos 5 α β− = − ( ) 3cos 5 α β+ = ,2 πα β π − ∈   3 ,22 πα β π + ∈   β (sin ,1)a θ= (1,cos )b θ= 2 2 π πθ− < < a b⊥  θ | |a b+  ABC∆ A B C a b c 10cos 10A = − 2b = 5c = a cos( )B A−20．（12 分）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 在单位圆上， . (1)若点 ，求 的值; (2)若 ，求 . 21．（12 分）在 中，角 的对边分别为 ，向量 ， 向量 ，且 ； （1）求角 的大小； （2）设 中点为 ，且 ；求 的最大值及此时 的面积． 22．（12 分）如图，要在河岸 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了 图中所示坐标系，其中 ， 在 轴上，且 ，道路的前一部分为曲线段 ，该 曲线段为二次函数 在 时的图像，最高点为 ，道路中间部分 为直线段 ， ，且 ，道路的后一段是以 为圆心的一段圆弧 ． xOy ( )1,0A B ( )0AOB θ θ π∠ = < < 3 4,5 5B −   tan 4 πθ +   ( ) 9 5OA OB OB+ ⋅ =   2cos 23 π θ −   ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ,sin sin )m a b A C= + − ( ,sin sin )n c A B= − / /m n  B BC D 3AD = 2a c+ ABC∆ EF E F x ( )3,0F − FBC ( ) ( )21 4f x a x= + + [ ]3,0x ∈ − B CD //CD EF 3CD = O DE（1）求 的值； （2）求 的大小； （3）若要在扇形区域 内建一个“矩形草坪” ， 在圆弧 上运动， 、 在 上，记 ，则当 为何值时，“矩形草坪”面积最大． a DOE∠ ODE MNPQ P DE M N OE POE α∠ = α2020 年春四川省叙州区第二中学高一第二学月考试 数学试题参考答案 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．D 10．B 11．C 12．B 13． 14． 15． 16．(8,9] 17．解：由 ， ，可知 . 又 ， ， ， . ， ， ， ，故 . 18．解：（1） ， ，整理得 ，又 ， . （2） ， ，故当 时， 取到最大值 . 19．解：（1）在 中，由余弦定理得 ，∴ ． ,2x x k k ππ ≠ + ∈   Z 2 3 π 3 23 8 ,2 πα β π − ∈   ( ) 3cos 5 α β− = − ( ) 4sin 5 α β− = 3 ,22 πα β π + ∈   ( ) 3cos 5 α β+ = ( ) 4sin 5 α β∴ + = − ( ) ( )cos2 cosβ α β α β∴ = + − −   ( ) ( ) ( ) ( )cos cos sin sinα β α β α β α β= + − + + − 3 3 4 4 15 5 5 5    = × − + − × = −       ,2 πα β π − ∈   3 ,22 πα β π + ∈   32 ,2 2 π πβ  ∴ ∈   2β π∴ = 2 πβ =  a b⊥  ∴ sin cos 0θ θ+ = 2 sin( ) 04 πθ + =  ( , )2 2 π πθ ∈ − 4 πθ∴ = − 2 2| | (1 sin ) (1 cos ) 3 2(sin cos ) 3 2 2 sin( )4a b πθ θ θ θ θ+ = + + + = + + = + + ( , )2 2 π πθ ∈ − 4 πθ = | |a b+  1 2+ ABC∆ 2 2 2 102 2 5 2 2 5 910a b c bccosA  = + − = + − × × × − =    3a =（2）在 中，由 得 ， ∴ ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ，∴ ， 又 ，故 ， ∴ ， ∴ ． 20．解：(1)由三角函数定义，得 ， ∴ . (2)∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ， ， ∴ . 21．解：（1）因为 ，故有 ，由正弦定理可 得 ，即 .由余弦定理可知 ，因为 ，所以 . ABC∆ 10 10cosA = − ,2A π π ∈   2 2 10 3 101 1 10 10sinA cos A  = − = − − =    ABC∆ a b sinA sinB = 3 2 3 10 10 sinB = 5 5sinB = ,2A π π ∈   0, 2B π ∈   2 2 5 2 51 1 5 5cosB sin B  = − = − =    ( ) 2 5 10 5 3 10 2cos B A cosBcosA sinBsinA 5 10 5 10 10  − = + = × − + × =    4 45tan 3 3 5 θ = = − − 4 1tan tan 134tan 44 71 tan tan 14 3 πθπθ πθ − ++ + = = = −     − − −   ( ) 9 5OA OB OB+ ⋅ =   2 9 5OA OB OB⋅ + =   4cos 5 θ = 2 3sin 1 cos 5 θ θ= − = 24sin 2 2sin cos 25 θ θ θ= = 2 7cos2 2cos 1 25θ θ= − = 2 1 3 24 3 7cos 2 cos2 sin 23 2 2 50 π θ θ θ − − = − + =   / /m n  ( )(sin sin ) (sin sin ) 0a b A B c A C+ − − − = ( )( ) ( ) 0a b a b c a c+ − − − = 2 2 2a c b ac+ − = 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac + −= = = (0, )B π∈ 3B π=（2）设 ，则在 中，由 可知 ，由正弦定理及 有 ； 所以 ，所以 ，从而 .由 可知 ，所以当 ，即 时， 的最大值为 ；此时 ，所以 . 22．解：（1）由图可知函数 的图象过点 ， ； （2）由（1）知 ，当 时， ， ， 又 在 中， ， ； （3）由（2）可知 易知矩形草坪面积最大时，Q 在 OD 上． 如图： ， ， ， 又 ， 矩形草坪的面积为： ， 又 ，故当 即 时，有 . 综上所述，当 时，矩形草坪面积最大． BAD θ∠ = BAD∆ 3B π= 2(0, )3 πθ ∈ 3AD = 22sin sin( ) sin3 3 BD AB AD π πθ θ = = = − 22sin , 2sin( ) 3 cos sin3BD AB πθ θ θ θ= = − = + 2 4sin , 3 cos sina BD c ABθ θ θ= = = = + 2 2 3 cos 6sin 4 3sin( )6a c πθ θ θ+ = + = + 2(0, )3 πθ ∈ 5( , )6 6 6 π π πθ + ∈ 6 2 π πθ + = 3 πθ = 2a c+ 4 3 2 3, 3a c= = 1 3 3sin2 2S ac B= = ( ) ( )21 4f x a x= + + ( )3,0F − ( )3 4 4 0 1f a a∴ − = + = ⇒ = − ( ) ( )21 4f x x= − + + 0x = ( )0 3f = 3OC∴ = 3CD = Rt OCD∆ 6COD π∠ = 3DOE π∴∠ = 2 2 2 3OD OC CD= + = 0 3POE πα α ∠ = <