2020 年春四川省叙州区第二中学高二第二学月考试
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．复数 的虚部是
A． B． C． D．
2．若 ，则
A． B． C． D．
3．双曲线 的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
5．已知实数 满足 , 则使 的概率为
A． B． C． D．
6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生
中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学
生中被抽到的是
A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生
2
1 2
i
i
−
+
0 5i 1 i
( )0 3f x′ = − ( ) ( )0 0
0
3lim
h
f x h f x h
h→
+ − − =
3− 12− 9− 6−
2 2
19 16
x y− =
xy 4
3±= xy 3
4±= xy 5
3±= xy 3
5±=
,a b∈R a b> 2 2a b>
a b、 ( ) ( )2 2a 2 b 2 4− + − = a b 2 0+ − ≤
π 2
4π
− 3
4
1
4
3π 2
4π
+7．过抛物线 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 4，
则 等于
A．10 B．8 C．6 D．4
8．设函数 ，若函数 的图像在点 处的
切线与 轴垂直，则实数
A．1 B． C． D．
9．已知椭圆 的焦距为 ，椭圆 C 与圆 交于
M，N 两点，且 ，则椭圆 C 的方程为
A． B． C． D．
10．设 P 是椭圆 上一点，M，N 分别是两圆： 和
上的点，则 的最小值、最大值分别为
A．18，24 B．16，22 C．24，28 D．20，26
11．已知 是常数，函数 的导函数 的图像如图
所示，则函数 的图像可能是
A． B． C．
D．
12．对于任意的正实数 x ，y 都有（2x )ln 成立，则实数 m 的取值范围为
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 4y x=
| |AB
2( ) lnf x a x bx= + ( )f x (1,1)
y a b+ =
1
2
1
4 1−
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 3 2 2( 3) 16x y+ + =
4MN =
2 2
115 12
x y+ =
2 2
112 9
x y+ =
2 2
16 3
x y+ =
2 2
19 6
x y+ =
2 2
1169 25
x y+ = ( )2 212 1x y+ + =
( )2 212 1x y− + = PM PN+
a ( ) ( )3 21 1 1 23 2f x x a x ax= + − − + ( )y f x′=
( ) 2xg x a= −
y
e
− y
x
x
me
≤
1( ,1]e 2
1( ,1]e 2
1( , ]ee ( 10, ]e13．曲线 在点 处的切线方程为___________．
14． 的单调递减区间是___________．
15．已知 在 上是减函数，则 的取值范围是
____________．
16．设 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线的左顶
点，以线段 为直径的圆交双曲线一条渐近线于 两点，且满足 ，则
该双曲线的离心率为_____．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(12 分)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商
场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（I）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（II）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： ．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．(12 分)如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥
EC1.
2 )3( exy x x= + (0,0)
xexxf 2)( =
( )
( )
, 1
3 5, 1
a xf x x
a x a x
≤ −=
− + − > −
( ),−∞ +∞ a
1 2F F、 ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > A
1 2F F M N、 135MAN∠ =
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +（Ⅰ）证明：BE⊥平面 EB1C1；
（Ⅱ）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 的体积．
19．(12 分)已知函数 ).
（Ⅰ）当 时，求 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 在 上是单调减函数，求 的取值范围.
20．(12 分)已知从椭圆 的一个焦点看两短轴端点所成视角为 ,且椭
圆经过 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数 ,使直线 与椭圆有两个不同交点 ，且
（ 为坐标原点），若存在,求出 的值.不存在,说明理由.
1 1E BB C C−
2( ) ( 2)lnf x x m x= + − (m∈ R
4m = ( )f x 1x =
4( ) ( )g x f x x
= + (0,2] m
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 060
1( 3, )2
k 2y kx= + ,A B 2OA OBk k+ =
O k21．(12 分)已知函数 ( 为常数)，曲线 在与 轴的交点
A 处的切线与 轴平行．
（Ⅰ）求 的值及函数 的单调区间；
（Ⅱ）若存在不相等的实数 使 成立，试比较 与 的大小．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
直角坐标系中曲线 的参数方程 （ 为参数），在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中， 点的极坐标 ，在平面直角坐标系中，直线 经过点
，倾斜角为
（Ⅰ）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若对于任意 ，有 ， ，求证： .
( ) 21 1e 12 2
xf x ax ax= − − − a ( )y f x= y
x
a ( )y f x′=
1 2,x x 1 2( ) ( )f x f x′ ′= 1 2x x+ 2ln 2
C
sin cos: 1 sin 2
x
y
θ θ
θ
= +
= +
θ x
P 1, 2
π
l
P .6
π
C l
l C ,A B 1 1
PA PB
+
( ) | 2 1|f x x= +
( ) 5f x x> +
,x y R∈ 13 1 4x y− − < 12 1 6y + < ( ) 1f x
⊂
1 1B C BE⊥
1BE EC⊥ 1 1EB C
1 1 45AEB A EB °∠ = ∠ = 1 2 6AA AE= =
1EF BB⊥ 1 1BB C C 3EF AB= =
1 1E BB C C− 1 3 6 3 183V = × × × =19．（1）当 时，
所以切线斜率
又切点为 所以 在 处的切线方程为
（2）由题意得
因为 在 上是减函数，所以 在 上恒成立
即 在 上恒成立.
所以 在 上恒成立.
令 易知 在 上单调递增，
所以 即 , 所以 .
20：(1）由于从椭圆 的一个焦点
看两短轴端点所成视角为 ,得,此时,椭圆方程为 又因为经过点 ,
即 ∴椭圆方程为 .
（2）由 ,
由 或 ,设
,则 , ,
即 ,
4m = ( ) 2 2lnf x x x= + ( 0)x > ( ) 22f x x x
=′ +
( )1 4k f= ′ =
4 3;y x= −
( ) ( )2 42 ln ( 0)g x x m x xx
= + − + >
( ) 2
2 42 mg x x x x
−= −′ +
( )g x ( ]0,2 ( ) 0g x′ ≤ ( ]0,2
2
2 42 0mx x x
−+ − ≤ ( ]0,2
2 42 2m x x
− ≥ − ( ]0,2
( ) 2 42h x x x
= − ( )h x ( ]0,2
( ) ( )2 6h x h≤ = 2 6m− ≥ 4m ≤ −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
060
2 2
2 2 14
x y
b b
+ = 13, 2
( ) 2
2
2
2 2
1
3 2 1 14 bb b
+ = ⇒ =
2
2 14
x y+ =
( )
2
2
2 2
x y 1 , y 1 4k x 8 2kx 4 04
2y kx
+ = + + + =
= +
消去 得
( ) ( )2 2 2 2 1 18 2 4 4 1 4 0 4 1 0 4 2k k k k k∆ = − × + > ⇒ − > ⇒ > ⇒ < − 1
2k >
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2 2
1 2 2
8 2
1 4
4
1 4
kx x k
x x k
+ = − +
⋅ = +
2OA OBk k+ = 1 2
1 2
2y y
x x
+ =
2 1 1 2 1 22x y x y x x+ = ( ) ( )2 1 1 2 1 22 2 2x kx x kx x x+ + + = ( ) ( )1 2 1 22 1 2 0k x x x x− + + = , 综上可知, 实数 存在且 .
21．(1)由 ，得 ．且 f(x)与 y 轴交于 A(0.0)
所以 ，所以 a=2， 所以 , ．
由 ＞0，得 x＞ln 2． 所以函数 在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln
2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：设 x＞ln 2，所以 2ln 2－x＜ln 2，
(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1＝ ＋2x－4ln 2－1．
令 g(x)＝ (x)－ (2ln 2－x)＝ex－ －4x＋4ln 2(x≥ln 2)，所以 g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，
当且仅当 x＝ln 2 时，等号成立，所以 g(x)＝ (x)－ (2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
又 g(ln 2)＝0，所以当 x＞ln 2 时，g(x)＝ (x)－ (2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，
即 (x)＞ (2ln 2－x)，不妨设 x1＜ln 2＜x2，所以 (x2)＞ (2ln 2－x2)，
又因为 (x1)＝ (x2)，所以 (x1)＞ (2ln 2－x2)， 由于 x2＞ln 2，所以 2ln 2－x2＜ln 2，
因为 x1＜ln 2，由(1)知函数 y＝ (x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，所以 x1＜2ln 2－x2，即 x1
＋x2＜2ln 2．
22．（1） 曲线 的直角坐标方程
点的极坐标为 ，化为直角坐标为 ，
直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数）
（2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得： ，
显然有 ，则
，
( ) 2 2
4 8 22 1 2 01 4 1 4
kk k k
− ⋅ + − = + +
1k = − k 1k = −
( ) 21 1 12 2
xf x e ax ax= − − − 1( ) 2
xf x e ax a= − −′
1(0) 1 0 02f a= − − =′ ( ) 2 1xf x e x′ = − − ) 2xf x e=′′ −（
) 2xf x e=′′ −（ ( )y f x′=
f ′ 4
xe
f ′ f ′ 4
xe
f ′ f ′
f ′ f ′
f ′ f ′ f ′ f ′
f ′ f ′ f ′ f ′
f ′
C 2 , 2, 2y x x = ∈ −
P 1, 2
π
( )0,1P
l 6
1 6
x tcos
y tsin
π
π
=
= +
3
2
11 2
x t
y t
=
= +
t
l C 23 2 4 0t t− − =
0∆ > 1 2 1 2
4 2, ,3 3t t t t⋅ = − + =
1 2 1 2
4
3PA PB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ =所以
23．（Ⅰ）解： 或 ，
∴解集为 ．
（Ⅱ）证明：
( )2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 134 ,3PA PB t t t t t t t t+ = + = − = + − =
1 1 13 .2
PA PB
PA PB PA PB
++ = =⋅
( ) 5 2 1 5 2 1 5f x x x x x x> + ⇒ + > + ⇒ + > + 2 1 5x x+ < − −
{ 4 2}x x x < −或
( ) 2 32 1 2 6 2 6 3 2 3 1 3 2 1 14 6f x x x y y x y y= + = − − + + ≤ − − + + < + =
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