四川宜宾叙州区二中2019-2020高二数学（理）下学期第二次月考试题（含答案Word版）

2020 年春四川省叙州区第二中学高二第二学月考试 理科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．复数 的虚部是 A． B． C． D． 2．若 ，则 A． B． C． D． 3．双曲线 的渐近线方程为 A． B． C． D． 4．设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 5．已知实数 满足 , 则使 的概率为 A． B． C． D． 6．学校将 5 个参加知识竞赛的名额全部分配给高二年级的 4 个班级，其中甲班级至少分配 2 个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有 A．20 种 B．24 种 C．26 种 D．30 种 7．在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 的方程为 2 1 2 i i − + 0 5i 1 i ( )0 3f x′ = − ( ) ( )0 0 0 3lim h f x h f x h h→ + − − = 3− 12− 9− 6− 2 2 19 16 x y− = 3 4y x=± 4 3y x= ± 3 5y x= ± 5 3y x= ± ,a b∈R a b> 2 2a b> a b、 ( ) ( )2 2a 2 b 2 4− + − = a b 2 0+ − ≤ π 2 4π − 3 4 1 4 3π 2 4π +）的点的个数估计值为 A．5000 B．6667 C．7500 D．7854 8．设函数 ，若函数 的图像在点 处的 切线与 轴垂直，则实数 A．1 B． C． D． 9．已知椭圆 的焦距为 ，椭圆 C 与圆 交于 M，N 两点，且 ，则椭圆 C 的方程为 A． B． C． D． 10．设 P 是椭圆 上一点，M，N 分别是两圆： 和 上的点，则 的最小值、最大值分别为 A．18，24 B．16，22 C．24，28 D．20，26 11．已知 是常数，函数 的导函数 的图像如图 所示，则函数 的图像可能是 A． B． C． D． 12．对于任意的正实数 x ，y 都有（2x )ln 成立，则实数 m 的取值范围为 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 2 0x y− = 2( ) lnf x a x bx= + ( )f x (1,1) y a b+ = 1 2 1 4 1− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 3 2 2( 3) 16x y+ + = 4MN = 2 2 115 12 x y+ = 2 2 112 9 x y+ = 2 2 16 3 x y+ = 2 2 19 6 x y+ = 2 2 1169 25 x y+ = ( )2 212 1x y+ + = ( )2 212 1x y− + = PM PN+ a ( ) ( )3 21 1 1 23 2f x x a x ax= + − − + ( )y f x′= ( ) 2xg x a= − y e − y x x me ≤ 1( ,1]e 2 1( ,1]e 2 1( , ]ee ( 10, ]e二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．直线 的一个方向向量为 ，直线 的一个方向向量为 ， 则 与 的夹角为__________． 14．设 ，则二项式 展开式中的 项的系数为 ． 15．已知 在 上是减函数，则 的取值范围是 ____________． 16．设 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线的左顶 点，以线段 为直径的圆交双曲线一条渐近线于 两点，且满足 ，则 该双曲线的离心率为_____． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分)为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计， 随机抽取的 100 名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图. （Ⅰ）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于 70 千米的人数； （Ⅱ）已知跑步千米数在 的人数是跑步千米数在 的 ，跑步千米数在 的人数是跑步千米数在 的 ，现在从跑步千米数在 的跑友中抽取 3 名代表发言，用 表示所选的 3 人中跑步千米数在 的人数，求 的分布列及数学期望. l ( 2, 3,2 3)a = − − n ( 1,2, 3)b = − − l n ( ) ( ) , 1 3 5, 1 a xf x x a x a x  ≤ −=   − + − > − ( ),−∞ +∞ a 1 2F F、 ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > A 1 2F F M N、 135MAN∠ =  [20,30) [60,70) 1 10 [40,50) [50,60) 1 2 [20,40) ξ [20,30) ξ18．(12 分)已知函数 ). （Ⅰ）当 时，求 在 处的切线方程； （Ⅱ）若函数 在 上是单调减函数，求 的取值范围. 19．(12 分)如图 1，在边长为 2 的正方形 中， 是边 的中点．将 沿 折起使得平面 平面 ，如图 2， 是折叠后 的中点． （Ⅰ）求证： BF 平行平面 ； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值． 20．(12 分)已知从椭圆 的一个焦点看两短轴端点所成视角为 ,且椭 圆经过 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在实数 ,使直线 与椭圆有两个不同交点 ，且 （ 为坐标原点），若存在,求出 的值.不存在,说明理由. 2( ) ( 2)lnf x x m x= + − (m∈ R 4m = ( )f x 1x = 4( ) ( )g x f x x = + (0,2] m ABCD E AB ADE∆ DE ADE ⊥ BCDE F AC ADE E-AB-D 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 060 1( 3, )2 k 2y kx= + ,A B 2OA OBk k+ = O k21．(12 分)已知函数 ( 为常数)，曲线 在与 轴的交点 A 处的切线与 轴平行． （Ⅰ）求 的值及函数 的单调区间； （Ⅱ）若存在不相等的实数 使 成立，试比较 与 的大小． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 直角坐标系中曲线 的参数方程 （ 为参数），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 点的极坐标 ，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，倾斜角为 （Ⅰ）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程； （Ⅱ）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 . （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若对于任意 ，有 ， ，求证： . ( ) 21 1e 12 2 xf x ax ax= − − − a ( )y f x= y x a ( )y f x′= 1 2,x x 1 2( ) ( )f x f x′ ′= 1 2x x+ 2ln 2 C sin cos: 1 sin 2 x y θ θ θ = +  = + θ x P 1, 2 π     l P .6 π C l l C ,A B 1 1 PA PB + ( ) | 2 1|f x x= + ( ) 5f x x> + ,x y R∈ 13 1 4x y− − < 12 1 6y + < ( ) 1f x ( ) 22f x x x =′ + ( )1 4k f= ′ = 4 3;y x= − ( ) ( )2 42 ln ( 0)g x x m x xx = + − + > 因为 在 上是减函数，所以 在 上恒成立 即 在 上恒成立. 所以 在 上恒成立. 令 易知 在 上单调递增， 所以 即 , 所以 . 19 ． （ Ⅰ ） 证 明 ： 取 中 点 ， 连 结 ， ∵ 为 中 点 ， ∴ ， ， ∴ ，∴四边形 是平行四边形 ∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （Ⅱ）如图示以 为坐标原点， 建立空间直角坐标系 则 由 已 知 得 ， ， 设 平 面 的 法 向 量 为 则 解得一个法向量为 设平面 的法向量为 则 解得一个法向量为 ∵ ， ， ∴二面角 的平面角的余弦值 ． ( ) 2 2 42 mg x x x x −= −′ + ( )g x ( ]0,2 ( ) 0g x′ ≤ ( ]0,2 2 2 42 0mx x x −+ − ≤ ( ]0,2 2 42 2m x x − ≥ − ( ]0,2 ( ) 2 42h x x x = − ( )h x ( ]0,2 ( ) ( )2 6h x h≤ = 2 6m− ≥ 4m ≤ − AD G EG,FG F AC 1FG/ / CD2 1BE/ / CD2 FG/ /BE EBFG BF / /EG BF ⊄ ADE EG ⊂ ADE EG / / ADE E 1 2 2A , ,5 5 5  −   ( )B 1,0,0 ( )D 1,2,0− EAB ( )1 1 1 1n x ,y ,z= 1 1 n ·EA=0{ n ·EB=0 ⇒     1 1 1 1 1 2 2x y z 05 5{ 5 x 0 − + + = = ( )1n 0, 5, 1= − ABD ( )2 2 2 2n = x ,y ,z 2 2 n ·BA=0{ n ·BD=0 ⇒     2 2 2 2 2 6 2 2x + y + z 05 5{ 5 2x +2y 0 − = − = ( )2n 5, 5,2= 1cos n<  1 2 2 1 2 n ·n 21n 14n · n >= =     E AB D− − 21 1420．：(1）由于从椭圆 的一个焦点 看两短轴端点所成视角为 ,得,此时,椭圆方程为 又因为经过点 , 即 ∴椭圆方程为 . （2）由 , 由 或 ,设 ,则 , , 即 , , 综上可知, 实数 存在且 . 21．(1)由 ，得 ．且 f(x)与 y 轴交于 A(0.0) 所以 ，所以 a=2， 所以 , ． 由 ＞0，得 x＞ln 2． 所以函数 在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增． (2)证明：设 x＞ln 2，所以 2ln 2－x＜ln 2， (2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1＝ ＋2x－4ln 2－1． 令 g(x)＝ (x)－ (2ln 2－x)＝ex－ －4x＋4ln 2(x≥ln 2)，所以 g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0， 当且仅当 x＝ln 2 时，等号成立，所以 g(x)＝ (x)－ (2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增． 又 g(ln 2)＝0，所以当 x＞ln 2 时，g(x)＝ (x)－ (2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0， 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 060 2 2 2 2 14 x y b b + = 13, 2      ( ) 2 2 2 2 2 1 3 2 1 14 bb b    + = ⇒ = 2 2 14 x y+ = ( ) 2 2 2 2 x y 1 , y 1 4k x 8 2kx 4 04 2y kx  + = + + + =  = + 消去 得 ( ) ( )2 2 2 2 1 18 2 4 4 1 4 0 4 1 0 4 2k k k k k∆ = − × + > ⇒ − > ⇒ > ⇒ < − 1 2k > ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 2 1 2 2 8 2 1 4 4 1 4 kx x k x x k  + = − +  ⋅ = + 2OA OBk k+ = 1 2 1 2 2y y x x + = 2 1 1 2 1 22x y x y x x+ = ( ) ( )2 1 1 2 1 22 2 2x kx x kx x x+ + + = ( ) ( )1 2 1 22 1 2 0k x x x x− + + = ( ) 2 2 4 8 22 1 2 01 4 1 4 kk k k  − ⋅ + − =  + +  1k = − k 1k = − ( ) 21 1 12 2 xf x e ax ax= − − − 1( ) 2 xf x e ax a= − −′ 1(0) 1 0 02f a= − − =′ ( ) 2 1xf x e x′ = − − ) 2xf x e=′′ −（ ) 2xf x e=′′ −（ ( )y f x′= f ′ 4 xe f ′ f ′ 4 xe f ′ f ′ f ′ f ′即 (x)＞ (2ln 2－x)，不妨设 x1＜ln 2＜x2，所以 (x2)＞ (2ln 2－x2)， 又因为 (x1)＝ (x2)，所以 (x1)＞ (2ln 2－x2)， 由于 x2＞ln 2，所以 2ln 2－x2＜ln 2， 因为 x1＜ln 2，由(1)知函数 y＝ (x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，所以 x1＜2ln 2－x2，即 x1 ＋x2＜2ln 2． 22．（1） 曲线 的直角坐标方程 点的极坐标为 ，化为直角坐标为 ， 直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数） （2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得： ， 显然有 ，则 ， 所以 23．（Ⅰ）解： 或 ， ∴解集为 ． （Ⅱ）证明： f ′ f ′ f ′ f ′ f ′ f ′ f ′ f ′ f ′ C 2 , 2, 2y x x  = ∈ −  P 1, 2 π     ( )0,1P l 6 1 6 x tcos y tsin π π  =  = + 3 2 11 2 x t y t  =  = + t l C 23 2 4 0t t− − = 0∆ > 1 2 1 2 4 2, ,3 3t t t t⋅ = − + = 1 2 1 2 4 3PA PB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ = ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 134 ,3PA PB t t t t t t t t+ = + = − = + − = 1 1 13 .2 PA PB PA PB PA PB ++ = =⋅ ( ) 5 2 1 5 2 1 5f x x x x x x> + ⇒ + > + ⇒ + > + 2 1 5x x+ < − − { 4 2}x x x < −或 ( ) 2 32 1 2 6 2 6 3 2 3 1 3 2 1 14 6f x x x y y x y y= + = − − + + ≤ − − + + < + =