四川宜宾四中2019-2020高二数学（文）下学期第二次月考试题（含答案Word版）

2020 年春四川省宜宾市第四中学高二第二学月考试 文科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知复数 满足： ，则 的虚部是（） A．－2 B．2 C． D． 2．已知函数 f（x）在 x0 处的导数为 1，则 等于 A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 3．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的两焦点坐标分别为 A． B． C． D． 4．设向量 ， ，则“ ”是“ ”的 A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序 为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= ，则当 x > 2 2 15 4 x y+ = 2 2 15 x y+ = 2 2 19 4 x y+ = 2 2 16 4 x y+ = 3 22 2y x ax ax= − + a 2− 1− ( )f x R ( )'f x ( ) ( )'g x xf x= ( )f x 2x = − 0x = 2x = − 0x = 2x = − 0x = ( ) ( )2 2 1 : 2 3 1C x y− + − = ( ) ( )2 2 2 : 3 4 9C x y− + − = M N 1C 2C P x PN PM− 5 2 4+ 2 5 2 2 4+ a b R∈ ( 1)xe a x b≥ − + x∈R ab 33 2 e 32 2 e 31 2 e 3e13．若变量 x，y 满足约束条件 则 z=3x–y 的最大值是___________. 14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 20 个车次的正点 率为 0.97，有 40 个车次的正点率为 0.98，有 20 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁 列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 15．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 __________． 16．已知抛物线 的准线与双曲线 交于 、 两点，点 为抛物线的焦点，若 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业， 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表. 的分组 企业数 2 24 53 14 7 （I）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （II）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表）.（精确到 0.01） 附： . 18．(12 分)已知函数 . （Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 2 3 6 0 3 0 2 0 x y x y y    + − ≥ + − ≤ − ≤ ， ， ， xxxf sin23)( −= 0)3()3( 2 > A B F FAB∆ y [ 0.20,0)− [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 74 8.602≈ ( ) 2 2( , )xf x e ax x R a R= − − ∈ ∈ 1a = ( )y f x= 1x = 0x ≥ ( ) 0f x ≥ a19．(12 分)如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°， E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点. （Ⅰ）证明：MN∥平面 C1DE； （Ⅱ）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 20．(12 分)已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左顶点为 ， 离心率为 ，点 是椭圆上的动点， 的面积的最大值为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设经过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，线段 的中垂线为 .若 直线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点 ，求 的最小值. 21．(12 分)设函数 （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）若 ，证明：当 时， . C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F A 2 2 B 1ABF 2 1 2 − C 1F l C M N MN 'l 'l l P 2x = Q PQ MN 21( ) ln(1 )2f x x a x= + + ( )f x 1a = 0x > ( ) 1xf x e< −（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数， ）， 将曲线 经过伸缩变换： 得到曲线 . （Ⅰ）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 （ 为参数）与 相交于 两点，且 ，求 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 的图象的对称轴为 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若函数 的最小值为 ，正数 ， 满足 ，求证： . xOy 1C cos sin x y θ θ =  = θ [ ]0,θ π∈ 1C 3 x x y y ′ =′ = 2C x 2C cos: sin x tl y t α α =  = t 1 2,C C ,A B 2 1AB = − α ( ) 2f x x m x= − + + 1x = ( ) 2f x x≥ + ( )f x M a b a b M+ = 1 2 9 2 4a b + ≥2020 年春四川省宜宾市第四中学高二第二学月考试 文科数学试题参考答案 1-5:BACAA 6-10:DDABC 11-12:DC 13．9 14．0.98 15．(1,3) 16． . 17．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的 企业频率为 .产值负增长的企业频率为 . 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负 增长的企业比例为2%. （2） ， ， ， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%. 18．解：（1）连结 .因为M，E分别为 的中点，所以 ，且 .又因为N为 的中点，所以 . 由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边形MNDE为平行四边形， .又 平面 ，所以MN∥平面 . （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得 ， ，所以DE⊥平面 ，故DE⊥CH. 从而CH⊥平面 ，故CH的长即为C到平面 的距离， 由已知可得CE=1，C1C=4，所以 ，故 . 从而点C到平面 的距离为 . ( )5,+∞ 14 7 0.21100 + = 2 0.02100 = 1 ( 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7) 0.30100y = − × + × + × + × + × = ( )5 22 1 1 100 i i i s n y y = = −∑ 2 2 2 2 21 ( 0.40) 2 ( 0.20) 24 0 53 0.20 14 0.40 7100  = − × + − × + × + × + ×  =0.0296 0.0296 0.02 74 0.17s = = × ≈ 1 ,B C ME 1,BB BC 1ME B C∥ 1 1 2ME B C= 1A D 1 1 2ND A D= 1 1 =A B DC∥ 1 1=B C A D∥ =ME ND∥ MN ED∥ MN ⊄ 1C DE 1C DE DE BC⊥ 1DE C C⊥ 1C CE 1C DE 1C DE 1 17C E = 4 17 17CH = 1C DE 4 17 1719．详解：（Ⅰ）当 时， ， ， ， 即曲线 在 处的切线的斜率为 ，又 ， 所以所求切线方程为 . （Ⅱ）当 时，若不等式 恒成立 ，易知 ， ①若 ，则 恒成立， 在 上单调递增； 又 ，所以当 时， ，符合题意. ②若 ，由 ，解得 ，则当 时， ， 单调 递减； 当 时， ， 单调递增.所以 时，函数 取得最小值. 则当 ，即 时，则当 时， ，符合题意. 当 ，即 时， 则当 时， 单调递增， ，不符合题意. 综上，实数 的取 值范围是 . 20（1）由已知，有 ，即 .∵ ，∴ .设 点的纵坐标为 . 则 ，即 .∴ ， . ∴椭圆 的方程为 . （2）由题意知直线 的斜率不为 ，故设直线 ： . 1a = ( ) 2 2xf x e ax= − − ( )' 2 1xf x e= − ( )' 1 2 1f e= − ( )y f x= 1x = 2 1k e= − ( )1 2 3f e= − ( )2 1 2y e x= − − 0x ≥ ( ) 0f x ≥ ( ) min 0f x ⇔ ≥  ( )' 2 xf x e a= − 0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x R ( )0 0f = [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )0 0f x f≥ = 0a > ( )' 0f x = ln 2 ax = ,ln 2 ax  ∈ −∞   ( )' 0f x < ( )f x ln ,2 ax  ∈ +∞   ( )' 0f x > ( )f x ln 2 ax = ( )f x ln 02 a ≤ 0 2a< ≤ [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )0 0f x f≥ = ln 02 a > 2a > 0,ln 2 ax  ∈   ( )f x ( ) ( )0 0f x f< = a ( ],2−∞ 2 2 c a = 2 22a c= 2 2 2a b c= + b c= B ( )0 0 0y y ≠ ( ) 1 0 1 2ABFS a c y∆ = − ⋅ ( )1 2 a c b≤ − 2 1 2 −= ( )2 2 1b b b− = − 1b = 2a = C 2 2 12 x y+ = l 0 l 1x my= −设 ， ， ， . 联立 ，消去 ，得 .此时 . ∴ ， . 由弦长公式，得 .整理，得 . 又 ，∴ . ∴ . ∴ ， 当且仅当 ，即 时等号成立. ∴当 ，即直线 的斜率为 时， 取得最小值 . 21．（Ⅰ）、 的定义域为 由 得 得 . ①当 时， 恒成立， 在 上单调递增. ②当 时， 的根为 当 ，即 时， 递减， 递增 ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( ),P PP x y ( )2, QQ y 2 22 2 1 x y x my  + =  = − x ( )2 22 2 1 0m y my+ − − = ( )28 1 0m∆ = + > 1 2 2 2 2 my y m + = + 1 2 2 1 2y y m = − + 21MN m= + 2 1 2 1y y m− = + 2 2 2 4 4 8 2 m m m + + + 2 2 12 2 2 mMN m += ⋅ + 1 2 22 2P y y my m += = + 1P Px my= − 2 2 2m −= + 21 2PPQ m x= + − 2 2 2 2 61 2 mm m += + ⋅ + 2 2 2 6 2 2 1 PQ m MN m += + 2 2 2 3 2 1 m m += ⋅ + 2 2 2 21 22 1 m m  = + + ≥  +  2 2 21 1 m m + = + 1m = ± 1m = ± l 1± PQ MN 2 ( )f x ( )1,+x∈ − ∞ ( ) ( )21 ln 12f x x a x= + + ( ) 2 1 1 a x x af x x x x + += + =′ + + ( ) 0f x′ =令 2 0x x a+ + = 1 4a∆ = − 10, 4a∆ ≤ ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x -1 +x∈ ∞（ ， ） 0∆ > ( ) 0f x′ = 1 2 1 1 4 1 1 4 2 2 a ax x，− − − − + −= = 1。 1 -1x ≤ 0a ≤ 2-1x x∈（ ， ） 2 +x x∈ ∞（ ， ）当 ，即 时， 递增， 递减. 综上所述： 当 时， 递减， 递增； 当 时， 递增， 递减； 当 时 在 上单调递增. （Ⅱ） 所以令 所以只需要 在 上的最大值小于 0. ， 令 . 令 . 递减， ，不等式成立. 22．（1） 的普通方程为 ，把 ， 代入上述方程得， ，∴ 的方程为 .令 ， ， 所以 的极坐标方程为 . （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ， 由 得 ，由 得 .而 ， ∴ .而 ，∴ 或 . 2。 1 -1x > 10 4a< < 1 2-1 +x x x（ ， ），（ ， ）∈ ∞ 1 2x x x∈（ ， ） 0a ≤ 2-1x x∈（ ， ） 2 +x x∈ ∞（ ， ） 10 4a< < 1 2-1 +x x x（ ， ），（ ， ）∈ ∞ 1 2x x x∈（ ， ） 1 4a ≥ ( )f x -1 +x∈ ∞（ ， ） ( ) ( )211 = ln 12a f x x x= + +当 时， ( ) ( )21= ln 1 -e 12 xh x x x+ + + ( ) ( )21= ln 1 -e 12 xh x x x+ + + 0 +x∈ ∞（ ， ） ( ) 1' = -e1 xh x x x + + ∴ ( )' =0, 0h x x = ∴ ( ) ( )2 1( = ' ( =1- e 0 1 xg x h x g x x ′∴ − < +） ） ( )' 0h x∴ < ( ) 0 +h x x∈ ∞在 ， ( ) ( )0 0h x h< = 1C ( )2 2 1 0x y y+ = ≥ 'x x= 3 '3y y= ( )2 2 '' 1 ' 03 yx y+ = ≥ 2C ( )2 2 1 03 yx y+ = ≥ cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2 2 3 3cos sin ρ θ θ= + 2 3 2cos 1θ= + [ ]( )0,θ π∈ l ( )Rθ α ρ= ∈ 1ρ θ α =  = 1A ρ = 2 2 3 2cos 1 ρ θ θ α  = +  = 2 3 2cos 1 ρ α= + 2 3 1 2 12cos 1α − = −+ 1cos 2 α = ± [ ]0,α π∈ 3 πα = 2 3 π23．（1）∵函数 的对称轴为 ，∴ ，∴ ， 由 ，得 ，或 ，或 ，解得 或 ， 故不等式 的解集为 . （2）由绝对值不等式的性质，可知 ， ∴ ，∴ ， ∴ （当且仅当 ， 时取等号）.即 . ( )f x 1x = 0m = ( ) 2f x x x= + − 2 2, 0 2,0 2 2 2, 2 x x x x x − + ≤ = <