四川宜宾四中2019-2020高二数学（理）下学期第二次月考试题（含答案Word版）

2020 年春四川省宜宾市第四中学高二第二学月考试 理科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知复数 满足： ，则 的虚部是（） A．－2 B．2 C． D． 2．已知函数 f（x）在 x0 处的导数为 1，则 等于 A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 3．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的两焦点坐标分别为 A． B． C． D． 4．设向量 ， ，则“ ”是“ ”的 A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设 ，其正态分布密度曲线如图所示，且 ，那么向正方形 中随机投掷 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 z (1 ) 4i z− = z 2i− 2i 0 0 0 ( 2 x) ( )lim x f x f x x∆ → + ∆ − ∆ 2 2: 1yE x n − = 2y x= E ( 3,0),( 3,0)− (0, 3),(0, 3)− ( 5,0),( 5,0)− (0, 5),(0, 5)− (1, 1)a x= − ( 1,3)b x= + 2x = a b∥附：（随机变量服从正态分布 ，则 ， ） A． B． C． D． 6．在 200 件产品中有 3 件次品，现从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的抽法有 A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 7．抛物线 在 处的切线与 y 轴及抛物线所围成的图形面积为 A．1 B． C． D．2 8．已知直线 经过椭圆 的上顶点与右焦点，则椭圆的方 程为 A． B． C． D． 9．若曲线 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数 等于 A．0 B．1 C． D． 10．设函数 在 上可导，其导函数为 ，如图是函数 的图象，则 的极值点是 A．极大值点 ，极小值点 B．极小值点 ，极大值点 2 3 3 197C C 5 1 4 200 3 197( )C C C− 2 3 3 198C C 2 3 3 2 3 197 3 197( )C C C C+ 2y x= (1,1)A 1 2 1 3 2 2 0x y+ − = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 15 4 x y+ = 2 2 15 x y+ = 2 2 19 4 x y+ = 2 2 16 4 x y+ = 3 22 2y x ax ax= − + a 2− 1− ( )f x R ( )'f x ( ) ( )'g x xf x= ( )f x 2x = − 0x = 2x = − 0x =C．极值点只有 D．极值点只有 11．已知圆 ，圆 ， 、 分别是圆 、 上动点， 是 轴上动点，则 的最大值是 A． B． C． D． 12．已知 ， ，且 对 恒成立，则 的最大值是 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．在空间直角坐标系 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为__________． 14． __________． 15．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 __________． 16．已知抛物线 的准线与双曲线 交于 、 两点，点 为抛物线的焦点，若 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(12 分)从某校高三年级中随机抽取 100 名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统 计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这 100 人中随机抽取 1 人，其视力在 的概率为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若某大学 专业的报考要求之一是视力在 0.9 以上，则对这 100 人中能报考 专业的 2x = − 0x = ( ) ( )2 2 1 : 2 3 1C x y− + − = ( ) ( )2 2 2 : 3 4 9C x y− + − = M N 1C 2C P x PN PM− 5 2 4+ 2 5 2 2 4+ a b R∈ ( 1)xe a x b≥ − + x∈R ab 33 2 e 32 2 e 31 2 e 3e O xyz− (1,2, 1)A − (0,1,2)B (1,1,1)C OA BC ( ) 3 2f x x x= + ( ) ( )2 3 3 0f a a f a− + − < a 2 4y x= 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b ，− = > > A B F FAB∆ 0.3 0.5∼ 1 10 ,a b A A学生采用按视力分层抽样的方法抽取 8 人，调查他们对 专业的了解程度，现从这 8 人中随 机抽取 3 人进行是否有意向报考该大学 专业的调查，记抽到的学生中视力在 的人 数为 ，求 的分布列及数学期望. 18．(12 分)已知函数 . （Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 19．(12 分)如图，四棱锥 的底面为矩形， 是四棱锥的高， 与平面 PAD 所 成角为 45º， 是 的中点，E 是 BC 上的动点． （Ⅰ）证明：PE⊥AF； （Ⅱ）若 BC=2AB，PE 与 AB 所成角的余弦值为 ，求二面角 D-PE-B 的余弦值． 20．(12 分)已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，左顶点为 ， A A 1.1 1.3∼ ξ ξ ( ) 2 2( , )xf x e ax x R a R= − − ∈ ∈ 1a = ( )y f x= 1x = 0x ≥ ( ) 0f x ≥ a P ABCD− PA PB F PB 2 17 17 C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F A离心率为 ，点 是椭圆上的动点， 的面积的最大值为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设经过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，线段 的中垂线为 .若 直线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点 ，求 的最小值. 21．(12 分)设函数 （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）若 ，证明：当 时， . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数， ），将 曲线 经过伸缩变换： 得到曲线 . （Ⅰ）以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 （ 为参数）与 相交于 两点，且 ，求 的值. 2 2 B 1ABF 2 1 2 − C 1F l C M N MN 'l 'l l P 2x = Q PQ MN 21( ) ln(1 )2f x x a x= + + ( )f x 1a = 0x > ( ) 1xf x e< − xOy 1C cos sin x y θ θ =  = θ [ ]0,θ π∈ 1C 3 x x y y ′ =′ = 2C x 2C cos: sin x tl y t α α =  = t 1 2,C C ,A B 2 1AB = − α23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 的图象的对称轴为 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若函数 的最小值为 ，正数 ， 满足 ，求证： . ( ) 2f x x m x= − + + 1x = ( ) 2f x x≥ + ( )f x M a b a b M+ = 1 2 9 2 4a b + ≥2020 年春四川省宜宾市第四中学高二第二学月考试 理科数学试题参考答案 1-5:BACAB 6-10:DCABC 11-12:DC 13． 14．4 15．(1,3) 16． . 17．解：（1） ； （2） 的可能取值为 0，1，2，3，概率为： ， ，所以其分布列如下： 0 1 2 3 则 . 18．解：（Ⅰ）当 时， ， ， ， 即曲线 在 处的切线的斜率为 ，又 ， 所以所求切线方程为 . （Ⅱ）当 时，若不等式 恒成立 ，易知 ， ①若 ，则 恒成立， 在 上单调递增； 又 ，所以当 时， ，符合题意. ②若 ，由 ，解得 ，则当 时， ， 单调 递减； 当 时， ， 单调递增.所以 时，函数 取得最小值. 则当 ，即 时，则当 时， ，符合题意. 3 3 ( )5,+∞ 0.2 0.1 0.50 100b b a× = ⇒ = ⇒ = ξ ( ) ( )3 2 1 5 5 3 3 3 8 8 ·10 300 , 156 56 C C CP PC C ξ ξ= = = = = = ( ) ( )1 2 3 5 3 3 3 3 8 8 · 15 12 , 356 56 C C CP PC C ξ ξ= = = = = = ξ p 10 56 30 56 15 56 1 56 ( ) 63 9 56 8E ξ = = 1a = ( ) 2 2xf x e ax= − − ( )' 2 1xf x e= − ( )' 1 2 1f e= − ( )y f x= 1x = 2 1k e= − ( )1 2 3f e= − ( )2 1 2y e x= − − 0x ≥ ( ) 0f x ≥ ( ) min 0f x ⇔ ≥  ( )' 2 xf x e a= − 0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x R ( )0 0f = [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )0 0f x f≥ = 0a > ( )' 0f x = ln 2 ax = ,ln 2 ax  ∈ −∞   ( )' 0f x < ( )f x ln ,2 ax  ∈ +∞   ( )' 0f x > ( )f x ln 2 ax = ( )f x ln 02 a ≤ 0 2a< ≤ [ )0,x∈ +∞ ( ) ( )0 0f x f≥ =当 ，即 时， 则当 时， 单调递增， ，不符合题意. 综上，实数 的取值范围是 . 19．（1）建立如图所示空间直角坐标系．设 ，则， 于是， ， 则 ，所以 ． （2）设 则 , 若，则由 得 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ，得： ，于是 ，而 设二面角 D-PE-B 为 ，则为钝角 所以， 20（1）由已知，有 ，即 .∵ ，∴ .设 点的纵坐标为 . 则 ，即 .∴ ， . ∴椭圆 的方程为 . ln 02 a > 2a > 0,ln 2 ax  ∈   ( )f x ( ) ( )0 0f x f< = a ( ],2−∞ , ,AP AB b BE a= = = ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0, ,0 , , ,0 , 0,0, ,A B b E a b P b ( ), , , 0, , .2 2 b bPE a b b AF   = − =    0PE AF⋅ =  AF PE⊥ 2AB = 4,BC = ( ) ( ) ( ) ( )4,0,0 , 0,2,0 , ,2,0 , 0,0,2 ,D B E a P ( ) ( )0,2,0 , ,2, 2 ,AB PE a= = −  2 17 17 ABPE AB PE    = ( )3, 3,2,0a E= PDE ( ), ,n x y z= ( ) ( )4,0, 2 , 3, 2,0 ,PD ED= − = −  0 0 n PD n PE  ⋅ =  ⋅ =   4 2 0,2 0 2 2 x x x z xyx y z x = − =  = − =  = ( )2,1,4 , 21.n n= =  ( ), 0,1,1 , 2.AF PBC AF AF⊥ = =     θ 1 5 5 42cos .4221 2 nAF n AF θ += − = − = −   2 2 c a = 2 22a c= 2 2 2a b c= + b c= B ( )0 0 0y y ≠ ( ) 1 0 1 2ABFS a c y∆ = − ⋅ ( )1 2 a c b≤ − 2 1 2 −= ( )2 2 1b b b− = − 1b = 2a = C 2 2 12 x y+ =（2）由题意知直线 的斜率不为 ，故设直线 ： .设 ， ， ， .联立 ，消去 ，得 .此时 . ∴ ， . 由弦长公式，得 .整理，得 . 又 ，∴ . ∴ . ∴ ， 当且仅当 ，即 时等号成立. ∴当 ，即直线 的斜率为 时， 取得最小值 . 21．（Ⅰ）、 的定义域为 由 得 得 .①当 时， 恒成立， 在 上单调递增. ②当 时， 的根为 当 ，即 时， 递减， 递增 l 0 l 1x my= − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( ),P PP x y ( )2, QQ y 2 22 2 1 x y x my  + =  = − x ( )2 22 2 1 0m y my+ − − = ( )28 1 0m∆ = + > 1 2 2 2 2 my y m + = + 1 2 2 1 2y y m = − + 21MN m= + 2 1 2 1y y m− = + 2 2 2 4 4 8 2 m m m + + + 2 2 12 2 2 mMN m += ⋅ + 1 2 22 2P y y my m += = + 1P Px my= − 2 2 2m −= + 21 2PPQ m x= + − 2 2 2 2 61 2 mm m += + ⋅ + 2 2 2 6 2 2 1 PQ m MN m += + 2 2 2 3 2 1 m m += ⋅ + 2 2 2 21 22 1 m m  = + + ≥  +  2 2 21 1 m m + = + 1m = ± 1m = ± l 1± PQ MN 2 ( )f x ( )1,+x∈ − ∞ ( ) ( )21 ln 12f x x a x= + + ( ) 2 1 1 a x x af x x x x + += + =′ + + ( ) 0f x′ =令 2 0x x a+ + = 1 4a∆ = − 10, 4a∆ ≤ ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x -1 +x∈ ∞（ ， ） 0∆ > ( ) 0f x′ = 1 2 1 1 4 1 1 4 2 2 a ax x，− − − − + −= = 1。 1 -1x ≤ 0a ≤ 2-1x x∈（ ， ） 2 +x x∈ ∞（ ， ）当 ，即 时， 递增， 递减. 综上所述： 当 时， 递减， 递增； 当 时， 递增， 递减； 当 时 在 上单调递增. （Ⅱ） 所以令 所以只需要 在 上的最大值小于 0. ， 令 . 令 . 递减， ，不等式成立. 22．（1） 的普通方程为 ，把 ， 代入上述方程得， ，∴ 的方程为 .令 ， ， 所以 的极坐标方程为 . （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ， 由 得 ，由 得 .而 ， ∴ .而 ，∴ 或 . 23．（1）∵函数 的对称轴为 ，∴ ，∴ ， 由 ，得 ，或 ，或 ，解得 或 2。 1 -1x > 10 4a< < 1 2-1 +x x x（ ， ），（ ， ）∈ ∞ 1 2x x x∈（ ， ） 0a ≤ 2-1x x∈（ ， ） 2 +x x∈ ∞（ ， ） 10 4a< < 1 2-1 +x x x（ ， ），（ ， ）∈ ∞ 1 2x x x∈（ ， ） 1 4a ≥ ( )f x -1 +x∈ ∞（ ， ） ( ) ( )211 = ln 12a f x x x= + +当 时， ( ) ( )21= ln 1 -e 12 xh x x x+ + + ( ) ( )21= ln 1 -e 12 xh x x x+ + + 0 +x∈ ∞（ ， ） ( ) 1' = -e1 xh x x x + + ∴ ( )' =0, 0h x x = ∴ ( ) ( )2 1( = ' ( =1- e 0 1 xg x h x g x x ′∴ − < +） ） ( )' 0h x∴ < ( ) 0 +h x x∈ ∞在 ， ( ) ( )0 0h x h< = 1C ( )2 2 1 0x y y+ = ≥ 'x x= 3 '3y y= ( )2 2 '' 1 ' 03 yx y+ = ≥ 2C ( )2 2 1 03 yx y+ = ≥ cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2 2 3 3cos sin ρ θ θ= + 2 3 2cos 1θ= + [ ]( )0,θ π∈ l ( )Rθ α ρ= ∈ 1ρ θ α =  = 1A ρ = 2 2 3 2cos 1 ρ θ θ α  = +  = 2 3 2cos 1 ρ α= + 2 3 1 2 12cos 1α − = −+ 1cos 2 α = ± [ ]0,α π∈ 3 πα = 2 3 π ( )f x 1x = 0m = ( ) 2f x x x= + − 2 2, 0 2,0 2 2 2, 2 x x x x x − + ≤ = <