吴起高级中学 2019—2020 学年第二学期
高二第一次质量检测文科数学试题
(全卷 150 分 时间 120 分钟)
一、选择题(共 60 分，每小题 5 分.)
1． （ ）
A． B． C． D．
2．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为 0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而
乙通过的概率为（ ）
A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16
3．设 ， 是虚数单位，则 的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
4．执行如右图所示的程序框图，若输入 的值分别是 ，则输出
的值依次为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四位同学各自对 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别
求得相关系数 如下表：
甲 乙 丙 丁
-0.78
则哪位同学的试验结果体现 A，B 两变量有更强的线性相关性（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．下列说法错误的是（ ）
A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好
C．线性回归方程对应的直线 至少经过其样本数据点中的一个点
D．在回归分析中，相关指数 越大，模拟的效果越好
(1 )(2 )i i+ − =
3 i− − 3 i− + 3 i− 3 i+
3 iz i
+= i z
, ,a b c 1,2,3
, ,a b c
2,3,3 2,3,1 3,2,1 1,3,3
,A B
r
r -0.82 -0.69 -0.85
ˆˆ ˆy bx a= +
2R7．有一段推理是：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线 ，
直线 ，直线 ，则直线 .”其结论显然是错误的，这是因
为 （ ）
A．使用了“三段论”，但大前提是错误的 B．使用了“三段论”，但小前提是错误的
C．使用了归纳推理 D．使用了类比推理
8．若复数 为纯虚数（ 为虚数单位），则实数 的值为（ ）
A．-3 B．-3 或 C．3 或-1 D．1
9．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有
四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）
若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断
参与此案的两名嫌疑人是（ ）
A．丙、丁 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丁
10.根据如下样本数据得到的回归方程为 .若 ＝7.9，则 每增加 1 个单位， 就
（ ）
3 4 5 6 7
4.0 2.5 0.5 0.5 2.0
A．增加 1.4 个单位 B．减少 1.4 个单位
C．增加 1.2 个单位 D．减少 1.2 个单位
11．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额
上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
，则按照以上规律，若
具有“穿墙术”，则 （ ）
A． B． C． D．
12．用反证法证明命题“已知 为非零实数，且 ， ，求证
中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）
α平面⊄b
α平面⊂a α平面//b α平面//b
( ) ( )2 2 3 3z a a a i= + − + + i a
axby ˆˆˆ += a x y
x
y
2 2 3 3 4 4 5 52 2 ,3 3 ,4 4 ,5 53 3 8 8 15 15 24 24
= = = =
8 88 8n n
= n =
35 48 63 80
, ,a b c 0a b c+ + > 0ab bc ac+ + > , ,a b cA． 中至少有两个为负数 B． 中至多有一个为负数
C． 中至多有两个为正数 D． 中至多有两个为负数
二、填空题(共 20 分，每小题 5 分.)
13．已知 与 之间的一组数据：
2 5 7 10
1 3 5 7
则 与 的线性回归方程为 必过点___________.
14．执行如右图所示的程序框图，输出 的值为___________.
15．有 20 件产品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中
依次抽 2 件.则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率
_______________.
16．关于下列说法：
①由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；
②归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确；
③演绎推理是由特殊到特殊的推理；
④演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
其中正确的是____________．（填所有正确说法的序号）
三、解答题(共 70 分，17 题 10 分.18-22 每题 12 分)
17．已知复数 ．
⑴求 ；
⑵若复数 满足 为实数，求 .
, ,a b c , ,a b c
, ,a b c , ,a b c
x y
x
y
y x ˆˆ ˆy bx a= +
S
1 21 i, 4 6iz z= − = +
2
1
z
z
1 iz b= + ( R)b∈ 1z z+ | |z18.设 ，用综合法证明： ．
19．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A={一个家庭中有男孩，
又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下列两种情形讨论 A 与 B 的独立性；
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩。
20．下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 和所支出的维修费 （万元）的
几组对照数据:
（年） 2 3 4 5 6
（万元） 1 2.5 3 4 4.5
（1）若知道 对 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的
线性回归方程 ；
0a b≥ > 3 3 2 2a b a b ab+ ≥ +
x y
x
y
y x y x
ˆˆ ˆy bx a= +（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元，试根据（1）求出的
线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用 10 年的维修费用能否比技术改造前降
低？
参考公式: ， .
21．某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取 80 名学生，得到男生身
高情况的频率分布直方图（如图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（如图（2））.已
知图（1）中身高在 的男生有 16 名.
（1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？
（2）根据频率分布直方图，完成下面的 列联表，并判断能有多大（百分数）的把握
认为身高与性别有关？
身高 身高 总计
男生
女生
总计
参考公式： ，其中
( )( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
170 175cm～
2 2×
170cm≥ 170cm<
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bck a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +参考数据：
0.40 0.25 0.10 0.010 0.001
0.708 1.323 2.706 6.635 10.828
22．已知函数
（1）求 的值
（2）求证： 、 、 至少有一个不小于 .
2
0( )P K k≥
0k
( ) 2f x x px q= + +
( ) ( ) ( )1 3 2 2f f f+ −
( )1f ( )2f ( )3f 1
2吴起高级中学 2019—2020 学年第二学期高二
第一次质量检测文科数学参考答案
一、选择题（每题 5 分）
1．D 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C
7．A 8．D 9．A 10．D 11．C 12．A
二、填空题（每题 5 分）
13． 14．48 15． 16．①④
三、解答题（共 70 分）
17．解：⑴
⑵∵
∴
∵ 为实数
∴ ∴
∴ ∴
18．证明：
又 ，而
故
即
19.解（1）有两个小孩的家庭样本空间有 4 个基本事件,其概率各为 1/4,此时
(6,4) 4
19
( )( )
( )( )2
1
4 6i 1 i4 6i 2 10i 1 5i1 i 1 i 1 i 2
z
z
+ ++ − += = = = − +− − +
1 iz b= + ( )Rb∈
( )1 2 1 iz z b+ = + −
1z z+
1 0b − = 1b =
1 iz = + 2z =
3 3 2 2 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )a b a b ab a a b b ab+ − + = − + −
2 2( ) ( )a a b b b a= − + −
2 2 2( )( ) ( )( )a b a b a b a b= − − = + −
0, 0, 0a b a b> > ∴ + > 2( ) 0a b− ≥
2( )( ) 0a b a b∴ + − ≥
3 3 2 2( ) ( ) 0a b a b ab+ − + ≥
3 3 2 2a b a b ab+ ≥ +A={(男，女），（女，男）} B={(男，男)(男，女)(女，男)}
AB={(男，女)(女，男)}
P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2 则事件 A,B 不独立
（2）有三个小孩的家庭样本空间有 8 个基本事件,其概率各为 1/4,此时
A={(男，男，女，），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，
女）}
B={(男，男，女)(男，女，男)(女，男，男)（男，男，男）}
AB={(男，男，女)(男，女，男)（女，男，男）}
P(A)=3/4,P(B)=1/2,P(AB)=3/8 则事件 A,B 相互独立
20．解：（1）根据所给表格数据计算得
, ,
, ,
, ,所以,y 关于 x 的线性回归方程
为 .
（2）由（1）得,当 时, ,即技术改造后的 10 年的维修费用为 8.1
万元,相比技术改造前,该型号的设备维修费降低了 0.9 万元.
21．解：（1）由图（1）可知，身高在 的男生的频率为 ，
设抽取的学生中，男生有 名，
则 ，解得 .
所以女生有 （名）.
（2）由（1）及频率分布直方图知，
身高 的男生有 （名），
身高 的女生有 （名），所以可得下列列表：
2 3 4 5 6 45x
+ + + += = 1 2.5 3 4 4.5 35y
+ + + += =
5
1
2 7.5 12 20 27 68.5i i
i
x y
=
= + + + + =∑ 5
2
1
4 9 16 25 36 90i
i
x
=
= + + + + =∑
5
1
5
2 2
1
5 68.5 60ˆ 0.8590 205
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
− ⋅ −∴ = = =−−
∑
∑
ˆˆ 0.4a y bx= − = −
ˆ 0.85 0.4y x= −
10x = ˆ 0.85 10 0.4 8.1y = × − =
170~175cm 0.08 5 0.4× =
1n
1
160.4 n
=
1 40n =
80 40 40− =
170cm≥ (0.08 0.04 0.02 0.01) 5 40 30+ + + × × =
170cm≥ 0.02 5 40 4× × =身高 身高 总计
男生 30 10 40
女生 4 36 40
总计 34 46 80
由列联表中数据得 的观测值为 ，
所以能有 的把握认为身高与性别有关.
22．解：（1）∵
∴ ， ，
∴ .
（2）假设 、 、 都小于 ，
则 ，
即有 ，
∴ ，
由（1）可知 ，矛盾，
假设不成立，即原命题成立．
170cm≥ 170cm<
2K
280 (30 36 10 4) 34.578 10.82840 40 34 46k
× × − ×= ≈ >× × ×
99.9%
( ) 2f x x px q= + +
(1) 1f p q= + + (2) 4 2f p q= + + (3) 9 3f p q= + +
( ) ( ) ( ) (1 ) (9 3 ) 2(4 2 ) 21 3 2 2f p qf f p q p q= + + + ++ + − + + =−
( )1f ( )2f ( )3f 1
2
( ) ( ) ( ),1 2 31 1 1,2 2 2f f f< < <
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1, ,2 2 2 2 2 3 21 2f f f− − < −
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