陕西吴起高级中学2019-2020高二数学（理）下学期第一次质量检测试题（含答案Word版）

吴起高级中学 2019—2020 学年第二学期 高二第一次质量检测理科数学试题 (全卷 150 分 时间 120 分钟) 一、选择题(共 60 分，每小题 5 分.) 1．已知向量 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数 所对应的点在复平面的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列说法错误的是(　　)． A．向量 与 的长度相等 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于 0 D．零向量没有方向 4．分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） A．必要条件 B．必要条件 C．充分条件 D．必要条件或成分条件 5．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的虚部是（ ） A．1 B．-1 C． D． 6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A． B． C． D． 7． 的展开式中 的系数是（ ） A． B． C． D． 8．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法 共有（ ） ( )2,3,1a = − ( )1, 2,4b = − a b+ = ( )1,1,5− ( )3,5, 3− − ( )3, 5,3− ( )1, 1, 5− − 2z i= − + AB BA 1 iz i −= i z i i− n 8 2n − 6 2n − 8 2n + 6 2n + 7(1 )x+ 2x 42 35 28 21A．32 种 B．25 种 C．20 种 D．10 种 9．已知 且 ,则 的值是 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从中选出不属于同一学 科的书 2 本，则不同的选法有 A．21 种 B．315 种 C．153 种 D．143 种 11．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅 读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅 读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学 生是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．一个向量 在基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标 为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(共 20 分，每小题 5 分.) 13．已知向量 ， ，若 与 共线，则 __________． 14．用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是 ． 15．设复数 满足 ，则 的最大值是_______. 16．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁 4 个小朋友分发 5 本不同的课外书，则每个小朋友 至少分得 1 本书的不同分法数为______. 三、解答题(共 70 分，17 题 10 分.18-22 每题 12 分) 17．已知长方体 中, ，点 是 的中点，点 是 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． ( ) ( )3,2,5 , 1, , 1 ,a b x= − = −  2a b⋅ = x p { }, ,a b c  ( )1,2,3 p { }, ,a b a b c+ −    3 1 32 2  −  ， ， 3 1 32 2  −  ，， 1 3 32 2  −  ， ， 1 3 32 2  −  ，， (1, 2,3)a = − (3, , )b x y= a b x y+ = ( 3)( 4)1 2 3 ( 3) ( )2 n nn n ∗+ ++ + + + + = ∈N 1n = z 3 4 1z i− − = z 1 1 1 1ABCD A B C D− 1| | | | 2, | | 3AB BC D D= = = N AB M 1 1B C（1）写出点 的坐标； （2）求线段 的长度； （3）判断直线 与直线 是否互相垂直，说明理由． 18．已知复数 （ 为正实数），且 为纯虚数. （1）求复数 ； （2）若 ，求复数 的模 ． 19．设 均为正实数，反证法证明： 至少有一个不小于 2. 20．一个口袋内有 个不同的红球， 个不同的白球， （1）从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2）若取一个红球记 分，取一个白球记 分，从中任取 个球，使总分不少于 分的取 法有多少种？ , ,D N M ,MD MN DN MN z 3 bi= + b ( )2z 2− z zw 2 i = + w w∣ ∣ , ,a b c 1 1 1, ,a b cb c a + + + 4 6 4 2 1 5 721．已知空间三点 ，设 . 1 求 和 的夹角 的余弦值； 2 若向量 与 相垂直，求实数 k 的值； 3 若向量 与 共线，求实数 的值． 22．如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧棱 底面 ， ，点 为 的中点，作 ， 交 于点 . （1）求证： 平面 ； （2）求证： ； （3）求二面角 的余弦值. ( ) ( ) ( )4,0,32,1,12,0,2 −−− CBA ，， ,a AB b AC= =  ( ) a → b → θ ( ) k a b → → + 2ka b−  ( ) a bλ −  a b λ− λ P ABCD− ABCD 60DAB∠ = ° PD ⊥ ABCD PD CD= E PC EF PC⊥ PB F PA  BDE PC DF⊥ B PC D− −吴起高级中学 2019—2020 学年第二学期高二 第一次质量检测理科数学参考答案 一、选择题（每题 5 分） 1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．D 8．A 9．C 10．D 11．B 12．A 二、填空题（每题 5 分） 13．3 14． 15．6 16．240 三、解答题（共 70 分） 17、（10 分）解：（1）两直线垂直，证明：由于 为坐标原点，所以 ， 由 得： ， 因为点 N 是 AB 的中点，点 M 是 的中点， ， ； （2）由两点距离公式得： ， ； （3）直线 与直线 不垂直， 理由：由（1）中各点坐标得： ， ， 与 不垂直， 所以直线 与直线 不垂直. 18、（12 分）解：（1） . ，所以 ，又 为正实数， 1 2 3 4+ + + D (0,0,0)D 1| | | | 2, | | 3AB BC D D= = = 1 1(2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (2,2,3), (0,2,3)A B C B C 1 1B C (2,1,0)N∴ (1,2,3)M 2 2 2| | (1 0) (2 0) (3 0) 14MD = − + − + − = 2 2 2| | (2 1) (1 2) (0 3) 11MN = − + − + − = DN MN (2,1,0)DN = (1, 1, 3)MN = − − (2,1 (1, 1,) 3)0 1,MD NN∴ ⋅ = −⋅ − =   DN∴ MN DN MN z 2 1 bi− = + ( )2 21 bi 1 2bi b+ = − − 21 b 0− = b所以 ．所以 ， （2） ，所以 ． 19、（12 分）证明：假设 全部小于 2.即 ， 则 ，① 又 ，当 且仅当 时等号成立， 与①矛盾，所以假设错误．原命题为真． 所以 至少有一个不小于 2. 20、（12 分）解：（1）从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法，红球 4 个，红球 3 个和白球 1 个，红球 2 个和白球 2 个， 红球 4 个，取法有 种， 红球 3 个和白球 1 个，取法有 种； 红球 2 个和白球 2 个，取法有 种； 根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有 种． （2）使总分不少于 7 分情况有三种情况，4 红 1 白，3 红 2 白，2 红 3 白. 第一种，4 红 1 白，取法有 种； 第二种，3 红 2 白，取法有 种， 第三种，2 红 3 白，取法有 种， 根据分类计数原理，总分不少于 7 分的取法有 21、（12 分）解： 1 ， 和 的夹角 的余弦值为 ． b 1= z 3 i= + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 i 2 i3 i 7 i 7 1w i2 i 2 i 2 i 5 5 5 + ⋅ −+ −= = = = −+ + ⋅ − 2 27 1w 25 5 ∣ ∣    = + =       1 1 1, ,a b cb c a + + + 1 1 12, 2, 2a b cb c a + < + < + < 1 1 1 6a b cb c a + + + + + < 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )a b c a b cb c a a b c + + + + + = + + + + + 1 1 12 2 2 6a b ca b c ≥ × + × + × = 1a b c= = = 1 1 1, ,a b cb c a + + + 1 24 90 115+ + = 4 1 4 6 6C C = 3 2 4 6 60C C⋅ = 2 3 4 6 120C C⋅ = 6 60 120 186.+ + = ( ) ( )= 1,1,0 = -1,0,2a AB b AC= =  ， ( ) · 1 0 0 10cos 102 5· a b a b θ − + += = = − ×   ∴ a b θ 10 10 −2 ， 与 相垂直 ，或 ． 3) ， 向量与 共线， 存在实数 ，使得 即 ， ，或 ． 22、（12 分）解:（1）证明:连接 交 于 ,连接 . 因为 , 分别为 , 的中点,所以 为 的中位线 ∴ ,又 平面 , 平面 ,∴ 平面 （2）在 中, ,点 为 的中点, ∴ ,则 平面 . 又∵ 平面 ,则 . （3）取 中点 ,连接 . 依题意可得 为等边三角形,∴ , 又因为 底面 , , 平面 则 , 建立以 为坐标原点,如图所示坐标系,则有: , , , , , , , ,设平面 的法向量为 , ( ) ( )1, ,2 ,ka b k k+ = − ( )2 2, , 4ka b k k− = + −  ka b+  2ka b − ∴ ( )( )· 2ka b ka b+ − =   ( ) ( )1, ,2 2, , 4k k k k− ⋅ + − ( )( ) 2 21 2 8 2 10 0k k k k k= − + + − = + − = 5 2k∴ = − 2k = ( ( )1, , 2λ λ= + − ( )1 ,1, 2λ λ= + −  a b λ− ∴ µ ( )=a b a bλ µ λ− −   ( ) ( )1, , 2 1 ,1, 2λ λ µ λ λ+ − = + − ( )1 1 2 2 λ µ λ λ µ µλ  + = + ∴ =  − = − 1λ∴ = 1λ = − AC BD O EO E O PC AC EO PCA∆ EO PA EO ⊂ BDE PA ⊄ BDE PA  BDE PBC∆ PD CD= E PC , , EF PC EF DE E PC DE DEEF EFD ⊥  ∩ =  ⊂  ⊥ 平面 PC ⊥ EFD DF ⊂ EFD PC DF⊥ AB H DH ABD∆ DH AB⊥ DH CD⊥ PD ⊥ ABCD DH CD ⊂ ABCD DH PD⊥ CD PD⊥ D ( )0,0,0D ( )2,0,0A ( )3,0,0H ( )3,1,0B ( )0,2,0C ( )0,0,2P ( )0,1,1E ( )0,2, 2PC = − ( )3,1,0BC = PBC ( ), ,n x y z=则 ,∴ ∵ 平面 ,所以 为平面 的一条法向量,且 ∴ 2 2 0 3 0 y z x y − =− + = 1 3 3 x y z = ⇒ =  = ( )1, 3, 3n = DH ⊥ PCD DH PCD ( )3,0,0DH = 3 7cos 77 3 n DH n DH θ ⋅ = = =    