容山中学 2019-2020 第二学期期中考试高二年级数学试
卷
(考试时间：120 分钟 满分 150 分) 2020.4.18 9:40—11:40
注意事项：
1．考试时务必诚信作答，在父母的监督下答题；
2．考前 15 分钟推送试题，考试结束后迅速将非选择题的答案拍照上传到智学网上相应
答题区域内．
第 I 卷 选择题 （共 60 分）
一、单项选择题（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题的四个选项中，只有一
个是正确的）
1. 若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．20
2. =（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 下列求导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 已知函数 ，则 （ ）
( )( )3 1z i i= − + z =
2 2 2 5 10
2 2 2 2
3 4 5 6C C C C+ + +
91 i
1 i
+ =−
1− i− 1 i
( )cos sinx x′ =
( )3 3 ln3x x′ =
( )ln ln -1x x x′ =
sin cos3 3
x x′ =
( ) lnf x x x= +
0
(2 ) (2)lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ − =∆A．2 B． C． D．3
6. 已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
7. 的展开式中，各项系数之和为（ ）
A．-32 B．32 C．256 D．-256
8. 从某学习小组的 5 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生进行视力检测，其中至少要选
到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ）
A．35 B．70 C．80 D．140
9. 若 上是减函数，则 b 的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）
10. 定义域为 R 的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分，每小题的四个选项中，至少有一个是
正确的，少答 3 分，多答错答 0 分）
11. 定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．-3 是 的一个极小值点；
B．-2 和-1 都是 的极大值点；
3
2
5
4
( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( )1f ′ =
51( 3)
x
−
21( ) ln( 2)2f x x b x= − + + ∞在( - 1, + )
( )y f x= ( )f x′ ( ) ( ) 0f x f x′ − <
( )0 1f = ( )
1x
f x
e
<
( )0, ∞+ ( )2,+∞ ( ),0−∞ ( ),2−∞
R ( )y f x=
( )f x
( )f xC． 的单调递增区间是 ；
D． 的单调递减区间是 ．
12. 设函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 定义域是（0，+ ）
B．x∈（0，1）时， 图象位于 x 轴下方
C． 存在单调递增区间
D． 有且仅有两个极值点
第 II 卷（共 90 分）
三、填空题（本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13. 已知 i 是虚数单位，则复数 对应的点在第________象限．（用一、二、三、
四作答）
14. 在 的展开式中， 的系数为________．
15. 若 ，则 __________．
16. 若直线 与曲线 相切，则 __________．
四、解答题（共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分 10 分）
已知复数 ．
（1）若 为实数，求实数 的值；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值；
( )f x ( )3,− +∞
( )f x ( ), 3−∞ −
( ) ln
xef x x
=
( )f x ∞
( )f x
( )f x
( )f x
2 1 2(2 ) 2
ii i
++ −
( ) ( )6 41 1 x y+ + 2 3x y
3 412m mA C= m =
2y kx= − 1 3lny x= + k =
2( 4) ( 2) ,z a a i a R= − + + ∈
z a
z a（3）若 在复平面上对应的点在直线 上，求实数 的值．
18. （本小题满分 12 分）
RSZX 将要举行校园歌手大赛，现有 3 男 3 女参加，需要安排他们的出场顺序．
（1）如果 3 个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？
（3）如果 3 位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
（要有必要的文字说明，结果用数字作答）
19. （本小题满分 12 分）
已知在 的展开式中第 5 项为常数项．
（1）求 的值；
（2）求展开式中含有 项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
20. （本小题满分 12 分）
如图所示， 是边长 ， 的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去
边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子， 、 是 上
被切去的小正方形的两个顶点，设 ．
z 2 1 0x y+ + = a
3
3
1( )
2
nx
x
−
n
2x
ABCD 24AB cm= 9AD cm=
M N AB
( )AM x cm=（1）将长方体盒子体积 表示成 的函数关系式，并求其定义域；
（2）当 为何值时，此长方体盒子体积 最大？并求出最大体积．
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 在（ ）处的切线方程；
（2）若函数 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 的图像在点 处的切线为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）当 时，求证： ；
（3）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
3( )V cm x
x 3( )V cm
( ) 21 3 ln4 2g x x x x b= − + +
5
4b = − ( )g x ( )1, 1g
( )g x b
2( ) ,xf x e x a x R= − + ∈ 0x = y bx=
( )f x
x∈R ( ) 2f x x x≥ − +
( )f x kx> (0, )x∈ +∞ k容山中学 2019-2020 学年第二学期期中考试高二年级数
学试卷
(考试时间：120 分钟 满分 150 分)
注意事项：
3．考试时务必诚信作答，在父母的监督下答题；
4．考前 15 分钟推送试题，考试结束后迅速将非选择题的答案拍照上传到智学网上
相应答题区域内．
第 I 卷 选择题 （共 60 分）
一、单项选择题（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题的四个选项中，只有一
个是正确的）
23. 若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【解析】 ，故 ．故选： ．
24. =（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】D
【解析】
25. （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
26. 下列求导数运算正确的是（ ）
A． B．
( )( )3 1z i i= − + z =
2 2 2 5 10
( )( )3 1 4 2z i i i= − + = + 20 2 5z = = B
2 2 2 2
3 4 5 6C C C C+ + +
2 2 2 2
3 4 5 6
3 2 4 3 5 4 6 5 3 6 10 15 342 1 2 1 2 1 2 1C C C C
× × × ×+ + + = + + + = + + + =× × × ×
91 i
1 i
+ =−
1− i− 1 i
( )cos sinx x′ = ( )3 3 ln3x x′ =C． D．
【答案】B
【解析】由于 ，故选项 A 不正确；由于 ，故选项 B 正确；
由于 ，故选项 C 不正确；由于 ，故选项 D 不正
确．故选：B
27. 已知函数 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】根据题意，对函数 ，有 ，
又由 ，则 ，则有 ．故选：B．
28. 已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】C
【解析】函数 ，则 ，
令 代入上式可得 ，则 ，故选：C．
29. 的展开式中，各项系数之和为（ ）
A．-32 B．32 C．256 D．-256
【答案】A
【解析】令 中 ，则有各项系数之和为 ，故选：A．
( )ln ln -1x x x′ = sin cos3 3
x x′ =
(cos ) sinx x′ = − ( )3 =3 ln3x x′
( ln ) ln 1x x x′ = + 1sin cos3 3 3
x x ′ =
( ) lnf x x x= +
0
(2 ) (2)lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ − =∆
3
2
5
4
( )f x
0
(2 ) (2)lim (2)
x
f x f fx∆ →
+ ∆ − ′=∆
( ) lnf x x x= + 1( ) 1f x x
′ = + 1 3(2) 1 2 2f ′ = + =
( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( )1f ′ =
( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( ) ( )2 3 1f x x f′ ′= +
1x = ( ) ( )1 2 3 1f f′ ′= + ( )1 1f ′ = −
51( 3)
x
−
51( 3)
x
− 1x = 5( 2) 32− = −30. 从某学习小组的 5 名男生和 4 名女生中任意选取 3 名学生进行视力检测，其中至少要选
到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ）
A．35 B．70 C．80 D．140
【答案】B
【解析】由题得，从 9 名学生中任选 3 人，共 种情况，若选出的 3 人都为男生时，
有 种情况，选出 3 人都为女生时，有 种情况，可得符合题意的选取种数为
．故选：B
31. 若 f(x)= 上是减函数，则 b 的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）
【答案】C
【解析】由题意可知 ，在 上恒成立，即
在 上恒成立，由于 ，所以 ，故Ｃ为正确答案．
32. 定义域为 R 的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
， ， 函数 在 上单调递减，
又 ， ， ．故选：A．
二、多选题（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分，每小题的四个选项中，至少有一个是
正确的，少答 3 分，多答错答 0 分）
33. 定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
3
9 84C =
3
5 10C = 3
4 4C =
84 10 4 70− − =
21 ln( 2)2 x b x− + + ∞在( - 1, + )
( ) 02
bf x x x
+′ = −
≠ 0x > 1x ≠
( ) ln
xef x x
= (0,1) (1, )∪ +∞
( ) ln
xef x x
= (0,1)x∈ ln 0x < ( ) 0f x < ( )f x (0,1)
( ) 0f x′ > ( )f x由 ，则 ，所以 ，函数 单调增，
则函数 只有一个根 ，使得 ，当 时， ，函数单
调递减，当 时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 不正确；
故选 BC．
第 II 卷（共 90 分）
三、填空题（本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
35. 已知 i 是虚数单位，则复数 对应的点在第________象限．
【答案】二
【解析】由题意得，已知复数 ，则设
，
即： ，则复数所对应的点为 ，则在第二象限．故答案为：二．
36. 在 的展开式中， 的系数为________．
【答案】
【解析】 的展开式中，所求项为： ，
的系数为 ．故答案为: ．
37. 若 ，则 __________．
【答案】5
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ．故答案为: ．
38. 若直线 与曲线 相切，则 __________．
( ) 1lng x x x
= − ( ) 2
1 1 .( 0)g x xx x
′ = + > ( ) 0g x′ > ( )g x
( ) 0f x′ = 0x 0( ) 0f x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ <
0( , )x x∈ +∞
2 1 2(2 ) 2
ii i
++ −
2 1 2(2 ) 2
ii i
++ −
( )( )
( )( )2 2 1 2 21 2(2 ) 4 42 2 2
i iiz i i ii i i
+ ++= + = + = − +− − +
4z i= − + ( )4,1−
( ) ( )6 41 1 x y+ + 2 3x y
60
( ) ( )6 41 1 x y+ + 2 2 3 3 2 3 2 3
6 4
6 5 4 602C x C y x y x y
×= × =
2 3x y 60 60
3 412m mA C= m =
3 412m mA C= ! !12( 3)! 4! ( 4)!
m m
m m
= ×− × −
1 12 , 3 2, 53 4 3 2 1 m mm
= ∴ − = =− × × × 5
2y kx= − 1 3lny x= + k =【答案】3
【解析】设切点为 ，
∵ ，∴ 由①得 ，代入②得 ，则
， ．
四、解答题（共 70 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
39. （本小题满分 10 分）
已知复数 ．
（1）若 为实数，求实数 的值；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值；
（3）若 在复平面上对应的点在直线 上，求实数 的值．
【解析】（1）若 为实数，则 ， ；
………
………2 分
（2）若 z 为纯虚数，则 ，
………
………4 分
解得实数 a 的值为 2；
………
………6 分
（3） 在复平面上对应的点 ，
………
………7 分
0 0( , 2)x kx −
3y x
′ = 0
0 0
3 ,
2 1 3ln ,
kx
kx x
=
− = +
①
②
0 3kx = 01 3ln 1x+ =
0 1x = 3k =
2( 4) ( 2) ,z a a i a R= − + + ∈
z a
z a
z 2 1 0x y+ + = a
z 2 0a + = 2a = −
2 4 0
2 0
a
a
− =
+ ≠
z ( )2 4 2a a− +，在直线 上，则 ，即
………
………8 分
解得 ．
………
………10 分
40. （本小题满分 12 分）
RSZX 将要举行校园歌手大赛，现有 3 男 3 女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用
数字作答）
（1）如果 3 个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？
（3）如果 3 位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
【解析】（1）先排 3 个男生，总共有 种可能；
再在产生的四个空中，选出 3 个，将女生进行排列，有 种可能，
故所有不同出场顺序有： ；
………
………4 分
（2）先计算全部的排列可能有： ，
因为每一次全排列，甲乙都有 种可能，故甲和乙定序的排列有： ；
………
………8 分
（3）将 3 个男生进行捆绑后，总共有 4 个元素进行排列，
先从甲女生以外的 3 个元素中选取 1 个第一个出场，再对剩余 3 个元素进行全排列，
同时对 3 个男生也要进行全排列，故所有的可能有
………
2 1 0x y+ + = ( )2 4 2 2 1 0a a− + + + = 2 2 1 0a a+ + =
1a = −
3
3A
3
4A
3 3
3 4 144A A× =
6
6A
2
2A
6
6
2
2
360A
A
=
3 1 3
3 3 3 108A C A =………12 分
（说明：每问 4 分，其中文字分析 2 分、列式子计算 2 分；下列情况可以不给分：1、只
有一个式子或只有一个数字答案，毫无分析文字描述；2、计算式子不正确，答案正
确；）
41. （本小题满分 12 分）
已知在 的展开式中第 5 项为常数项．
（1）求 的值；（2）求展开式中含有 项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．
【解析】（1）展开式的通项公式为 ．
………
………2 分
因为第 5 项为常数项，所以 时，有 ，解得 ．
………
………4 分
（2）令 ，由（1） ，解 ，故所求系数为
………
………8 分
（3）有题意得， ，令 ，则
………
……10 分
所以 可取 ，即 可取 1，4，7，它们分别为 ， ， ．
………
……12 分
3
3
1( )
2
nx
x
−
n 2x
2
3 3
1 3
1 1( ) ( ) ( )22
n r
r n r r r r
r n nT C x C x
x
−
−
+ = − = −
4r = 2 03
n r− = 8n =
2 23
n r− = 8n = 1r = 1
8
1( ) 42C − = −
8 2
3
0 8
r
r
r Z
− ∈Ζ
≤ ≤
∈
8 2 ( )3
r k k Z
− = ∈ 8 3 342 2
kr k
−= = −
k 2,0, 2− r 24x− 35
8 2
1
16x
−42. （本小题满分 12 分）
如图所示， 是边长 ， 的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去
边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子， 、 是 上
被切去的小正方形的两个顶点，设 ．
（1）将长方体盒子体积 表示成 的函数关系式，并求其定义域；
（2）当 为何值时，此长方体盒子体积 最大？并求出最大体积．
【解析】长方体盒子长 ，宽 ，高 ．
（1）长方体盒子体积 ，
………
………4 分
由 得 ，故定义域为 ．
………
………6 分
（2）由（1）可知长方体盒子体积
则 ，
………
………8 分
ABCD 24AB cm= 9AD cm=
M N AB
( )AM x cm=
3( )V cm x
x 3( )V cm
(24 2 )EF x cm= − (9 2 )FG x cm= − EE xcm′ =
(24 2 )(9 2 )V x x x= − − 3 24 66 216V x x x= − +
0
24 2 0
9 2 0
x
x
x
>
− >
− >
90 2x< < 90, 2
3 24 66 216V x x x= − +
( )( )212 132 216 12 2 9V x x x x′ = − + = − −在 内令 ，解得 ，故体积 V 在该区间单调递增；
令 ，解得 ，故体积 V 在该区间单调递减；
………
………10 分
∴ 在 取得极大值也是最大值．此时 ．
故当 时长方体盒子体积 最大，此时最大体积为 ．
………
………12 分
43. （本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 在（ ）处的切线方程；
（2）若函数 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
………
………2 分
所以 ，
………
………4 分
又因为切点为（1， ），所以切线的方程为 ；
………
………6 分
90, 2x ∈ 0V′ > (0,2)x∈
0V′ < 92, 2x ∈
V 2x = 3 2 34 2 66 2 216 2 200V cm= × − × + × =
2x = ( )3V cm 3200cm
( ) 21 3 ln4 2g x x x x b= − + +
5
4b = − ( )g x ( )1, 1g
( )g x b
( ) 21 3 5ln4 2 4g x x x x= − + − ( ) 1 3 1
2 2g x x x
′ = − +
( ) 1 31 1 02 2
′ = − + =g
5
2
− 5
2y = −（2）若函数 在[1，4]上有两个不同的零点，可得 在[1，4]内
有两个实根，
设 ， ，
………
………7 分
当 时， 递减，当 时， 递增，
………
………9 分
由 ， ， ，
画出 的图象，如图所示：
………
………11 分
可得 ，解得 ．
………
………12 分
44. （本小题满分 12 分）
已知函数 的图像在点 处的切线为 ．
（1）求函数 的解析式；
( )g x 21 3 ln4 2b x x x− = − +
( ) 21 3 ln4 2h x x x x= − + ( ) ( )( )1 21 3 1
2 2 2
x xh x x x x
− −′ = − + =
( )1,2x∈ ( )h x ( )2,4x∈ ( )h x
( ) 51 4h = − ( )2 2 ln 2h = − + ( )4 ln 4 2h = −
( )y h x=
52 ln 2 4b− + < − ≤ − 5 2 ln 24 b≤ < −
2( ) ,xf x e x a x R= − + ∈ 0x = y bx=
( )f x（2）当 时，求证： ；
（3）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，
………
………1 分
由已知得 解得 ，故 ．
………
………3 分
（2）令 ，由 得 ．
………
………4 分
当 时， ， 单调递减；
………
………5 分
当 时， ， 单调递增．
………
………6 分
∴ ，从而 ．
………
………7 分
（3） 对任意的 恒成立 对任意的 恒成
立．…………8 分
令 ，
∴
………
x∈R ( ) 2f x x x≥ − +
( )f x kx> (0, )x∈ +∞ k
2( ) , ( ) 2x xf x e x a f x e x′= − + = −
(0) 1 0
(0) 1
f a
f b
= + =
= =′
1
1
a
b
= −
=
2( ) 1xf x e x= − −
2( ) ( ) 1xg x f x x x e x= + − = − − ( ) 1 0xg x e′ = − = 0x =
( , 0)x ∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
(0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
min( ) (0) 0g x g= = 2( )f x x x≥ − +
( )f x kx> (0, )x∈ +∞ ⇔ ( )f x kx
> (0, )x∈ +∞
( )( ) , 0f xh x xx
= >
( ) ( ) ( )2
2 2 2
2 1 ( 1) 1( ) ( )( )
x x xx e x e x x e xxf x f xh x x x x
− − − − − − −′ −′ = = =………9 分
由（2）可知当 时， 恒成立
令 ，得 ； 得 ．
………
……10 分
∴ 的增区间为 ，减区间为 ， ，
………
……11 分
∴ ，∴实数 的取值范围为 ．
………
……12 分
(0, )x∈ +∞ 2 1 0e x− − >
( ) 0h x′ > 1x > ( ) 0h x′ < 0 1x< <
( )h x (1, )+∞ (0,1) min( ) (1) 2h x h e= = −
min( ) (1) 2k h x h e< = = − k ( , 2)e−∞ −
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