昌乐县 2020 届高三 4 月高考模拟
数学试题
2020.4
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则集合
A． B． C． D．
2．设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为 ，则
A． B．
C． D．
3．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的两
个数据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进行更
正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5.已知角 的终边经过点 ，则
A. B. C. D.
6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，
3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三数起，每一个数都等于它前面两
个 数 的 和 ， 人 们 把 这 样 的 一 列 数 所 组 成 的 数 列 称 为 “ 斐 波 那 契 数 列 ” ， 则
A. B．0 C．1007 D．1
{ }2| 2 3 0A x x x= − − < { }2|log 2B x x= < A B =
{ | 1 4}x x− < < { | 0 3}x x< < { | 0 2}x x< < { | 0 1}x x< <
| | 1z i+ = ( , )x y
2 2( 1) 1x y+ + = 2 2( 1) 1x y− + =
2 2( 1) 1x y+ + = 2 2( 1) 1x y+ − =
1
23a = 1
3
1log 2b =
2
1log 3c =
a b c> > b c a> > c b a> > b a c> >
x 2s
70x = 2 75s < 70x = 2 75s >
70x > 2 75s < 70x < 2 75s >
α (sin47 ,cos47 )P sin( -13 )=α
3
2
− 1
2
− 3
2
1
2
{ }na
( ) ( ) ( )2 2 2
1 3 2 2 4 3 3 5 4 +a a a a a a a a a− + − + − + ( )2
2013 2015 2014a a a− =
1006−7．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ，O 为坐标原
点．P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO 交双曲线 C 左支于点 M，直线 交双曲线 C
右支于另一点 N．若 ，且 ，则双曲线 C 的离心率为
A． B． C． D．
8．设 是定义在 R 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，
不等式 恒成立，则实数 a 的最大值是
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9.设函数 ，下列关于函数的说法正确的是
A.若 ，则 B.若 为 上的增函数，则
C.若 ，则 D.函数 为 上的奇函数
10.已知函数 ，则下列结论正确的是
A.函数 的最小正周期为 B.函数 的图象是轴对称图形
C.函数 的最大值为 D.函数 的最小值为
11.已知集合 ,若对于 , ,使得
成立,则称集合 M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:
; ; ;
.其中是“互垂点集”集合的为
A. B. C. D.
12.在三棱锥 D-ABC 中,AB=BC=CD=DA=1,且 AB⊥BC,CD⊥DA,M,N 分别是棱 的中
点,下面结论正确的是
A. AC⊥BD B. MN//平面 ABD
2 2
2 2: 1x yC
a b
− = 0a > 0b > 1 2,F F
2PF
1 22PF PF= 2 60MF N °∠ =
2 3 7 2 3
3
( )f x 0x ≥ ( ) xf x e= [ , 1]x a a∈ +
2( ) ( )f x a f x+ ≥
3
2
− 2
3
− 3
4
−
(3 2 ) 1, 1( ) ( 0, 1)
, 1x
a x xf x a a
a x
− − ≤= > ≠ >
2a = 2(log 3) 3f = ( )f x R 31 2a< <
(0) 1f = − 3
2a = ( )f x R
( ) | cos | sinf x x x= +
( )f x π ( )f x
( )f x 2 ( )f x 1−
( ) ( ){ }= ,M x y y f x= ( )1 1,x y M∀ ∈ ( )2 2,x y M∃ ∈
1 2 1 2 0x x y y+ =
( ){ }2
1 , 1M x y y x= = + ( ){ }2 , 1M x y y x= = + ( ){ }3 , xM x y y e= =
( ){ }4 , sin 1M x y y x= = +
1M 2M 3M 4M
,BC CDC.三棱锥 A-CMN 的体积的最大值为 D. 一定不垂直
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 的展开式中 的系数是_________．
14.已知向量 ， 满足 ， 在 上投影为 ，则 的最小值为 .
15.F 为抛物线 的焦点，过点 F 且倾斜角为 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点， ，
分别是该抛物线在 A,B 两点处的切线, , 相交于点 C,则 ____， ___．
16. 在 四 棱 锥 中 ， 是 边 长 为 的 正 三 角 形 ， 底 面 为 矩 形 ，
， 。若四棱锥 的顶点均在球 O 的球面上，则球 O 的表
面积为 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）在△ABC 中， ， ， ，求 BC 边上的高．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.（12 分）如图，在三棱柱 中，已知四边形 为矩形， ，
， ， 的角平分线 交 于 .
（1）求证:平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19.（12 分）设数列 的前 n 项和为 ,已知 , , .
2
12 AD BC与
8( 1)( 1)x x− + 5x
a b 4a = b a 2− 3a b−
2
4
xy = 150°
1l
2l 1l 2l C A C B⋅ = | |CF =
P ABCD− PAB∆ 2 3 ABCD
2AD = 22PC PD= = P ABCD−
3B
π∠ = 7b =
21sin 7A = sin 3sinA C= 2a c− =
1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C 1 6AA =
4AB AC= = 1 60BAC BAA∠ = ∠ = ° 1A AC∠ AD 1CC D
⊥BAD 1 1AAC C
1 1 1A B C A− −
{ }na nS 1 1a = 1 2 1n nS S+ − = n ∗∈N(1)证明: 为等比数列,求出 的通项公式;
(2)若 ,求 的前 n 项和 ,并判断是否存在正整数 n 使得 成立?
若存在求出所有 n 值;若不存在说明理由.
20.（12 分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越
强.现某大型企业为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用
预算定为 1200 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若至少有 2 套系统监测出排放超标，
则立即检查污染源处理系统；若有且只有 1 套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外 2
套系统进行 1 小时的监测，且后启动的这 2 套监测系统中只要有 1 套系统监测出排放超标，
也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以 1 小时为计量单位）被每套系统监测出排放超
标的概率均为 ，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
（1）当 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
（2）若每套环境监测系统运行成本为 300 元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行
费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100 万元.现以此方案实施，问该企
业的环境监测费用是否会超过预算(全年按 9000 小时计算)？并说明理由.
21.（12 分）椭圆 的离心率是 ，过点 做斜率为 k 的直线 l，
椭圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时 ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 ，使得△AMB 是以 AB 为底的等腰三角
形，若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由．
22.（12 分）已知函数
{ }1nS + { }na
n
n
nb a
= { }nb nT 12 50n
nT n−⋅ = +
(0 1)p p< <
1
2p =
( )2 2
2 2 1 0x yE a ba b
+ =： ＞ ＞ 5
3
(0,1)P
3 3AB =
( ,0)M m
1( ) ( )ln ( ).2f x x a x x a R= − + ∈(1)若 是 f(x)的导函数,讨论 的单调性;
(2)若 是自然对数的底数),求证: .
高三数学试题参考答案
2020.4
一、选择题：
BCAA DDBC
二、多项选择题：
9.AB 10.BCD 11.BD 12.ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 14 14. 10 15. 0， 16.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：选择①，在△ABC 中，由正弦定理得 ，即 ，
解得 ，
由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
( )f x′ ( ) ( ) lng x f x x a x′= − −
1( ,2 )(2a e ee
∈ ( ) 0f x >
4 3
3 28π
sin sin
a b
A B
=
7
21 3
7 2
a =
2a =即 ＝22+c2﹣2×2×c× ，
化简得 c2﹣2c﹣3＝0，解得 c＝3 或 c＝﹣1（舍去）；
所以 BC 边上的高为 h＝csinB＝3× ＝ ．
选择②，在△ABC 中，由正弦定理得 ，
又因为 sinA＝3sinC，所以 ，即 a＝3c；
由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
即 7＝（3c）2+c2﹣2×3c×c× ，
化简得 7c2＝7，解得 c＝1 或 c＝﹣1（舍去）；
所以 BC 边上的高为 h＝csinB＝1× ＝ ．
选择③，在△ABC 中，由 a﹣c＝2，得 a＝c+2；
由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
即 7＝（c+2）2+c2﹣2×（c+2）×c× ，
化简得 c2+2c﹣3＝0，解得 c＝1 或 c＝﹣3（舍去）；
所以 BC 边上的高为 h＝csinB＝1× ＝ ．
18.证明：（1）如图，过点 作 交 于 ，连接 ，设 ，连
接 ， ， ，
又 为 的角平分线， 四边形 为正方形， ，
又 ， ， ， ， ，又 为
的中点，
又 平面 ， ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ，
（2）在 中， ， ， ，在 中，
， ，
7 1
2
3
2
3 3
2
sin sin
a c
A C
=
3sin sin
a c
C C
=
1
2
3
2
3
2
1
2
3
2
3
2
D / /DE AC 1AA E ,CE BE AD CE O=
BO 1AC AA⊥ DE AE∴ ⊥
AD 1A AC∠ ∴ AEDC CE AD∴ ⊥
AC AE= BAC BAE∠ = ∠ BA BA= BAC BAE∴∆ ≅ ∆ BC BE∴ = O
CE CE BO∴ ⊥
,AD BO ⊂ BAD AD BO O∩ = CE∴ ⊥ BAD
CE ⊂ 1 1AAC C ∴ ⊥BAD 1 1AAC C
ABC∆ 4AB AC= = 60BAC∠ = ° 4BC∴ = Rt BOC∆
1 2 22CO CE= = 2 2BO∴ =又 ， ， ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
故建立如图空间直角坐标系 ，则 ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
，
令 ，得 ,
设平面 一个法向量为 ，
则 ，
，令 ，得 ，
所以 ，由图示可知二面角 是锐角，
故二面角 的余弦值为 .
19.解：(1)∵ ，
∴ ， ，
因为 ，所以可推出 ．
故 ，即 为等比数列．
∵ ，公比为 2，
∴ ，即 ，∵ ，当 时， ，
也满足此式，
的
4AB = 1 2 22AO AD= = 2 2 2BO AO AB+ = BO AD∴ ⊥
BO CE⊥ AD CE O∩ = ,AD CE ⊂ 1 1AAC C BO∴ ⊥ 1 1AAC C
O xyz− (2, 2,0)A − 1(2,4,0)A 1( 2,4,0)C −
1(0,6,2 2)B 1 1 (2,2,2 2)C B∴ =
1 ( 4,6,0)AC = −
1 1 (4,0,0)C A =
1 1ABC 1 1 1( , , )m x y z= 1 1
1
m C B
m AC
⊥ ⊥
1 1
1 1 1
4 6 0
2 2 2 2 0
x y
x y z
− + =∴ + + =
1=6x (6,4, 5 2)m = −
1 1 1A B C 2 2 2( , , )n x y z=
1 1
1 1
n C B
n C A
⊥ ⊥
2
2 2 2
4 0
2 2 2 2 0
x
x y z
=∴ + + = 2 = 2y (0, 2 1)n = − ,
3 17cos , 17| || |
m nm n
m n
⋅< >= =
1 1 1A B C A− −
1 1 1A B C A− − 3 17
17
1 2 1n nS S+ − =
( )1 1 2 1n nS S+ + = + *n N∈
1 1 1a S= = 1 0nS + >
1 1 21
n
n
S
S
+ + =+ { }1nS +
1 1 2S + =
1 2n
nS + = 2 1n
nS = − 1
1 2 1n
nS −
− = − 2n ≥ 1
1 2n
n n na S S −
−= − = 1 1a =∴ ；
(2) 因为 ， ，
∴ ，两式相减得:
即 ，代入 ，得 ．
令 ( )， 在 成立，
∴ ， 为增函数，
而 ，所以不存 正整数 n 使得 成立．
20.解：（1） 某个时间段在开启 3 套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为
,
某个时间段在需要开启另外 2 套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为
某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为 .
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为 元，则 的可能取值为 900，1500.
，
令 ,则
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在上 单调递减,
的最大值为 ,
实施此方案，最高费用为 （万元），
，故不会超过预算.
21.解：（1）因为椭圆的离心率为 ，
在
12n
na -=
12n n
n
n nb a −= =
0 1 1
1 2
2 2 2n n
nT −= + +⋅⋅⋅+
1 2
1 1 2
2 2 2 2n n
nT = + +⋅⋅⋅+ 0 1 1
1 1 1 1 222 2 2 2 2 2n n n n
n nT −
+= + +⋅⋅⋅+ − = −
1
24 2n n
nT −
+= − 12 50n
nT n−⋅ = + 2 26 0n n− − =
( ) 2 26xf x x= − − 1x ≥ ( ) 2 ln 2 1 0xf x′ = − > [ )1,x∈ +∞
( ) 2 26xf x x= − − ( )1,x∈ +∞
( ) ( )5 4 0f f⋅ < 12 50n
nT n−⋅ = +
2 3 3 2 3 3 3
3 3 3 3
21 1 1 1( ) ( )1 1
2 ( ) ( )2 2 2 2 2C C C C× = =+ +
1 3 2
3
1 1 9( ) [1 ( ) ]2 2 32C − = ∴ 1 9 25
2 32 32
+ =
X X
1 2
3( 1500) (1 )P X C p p= = −
1 2
3( 900) 1 (1 )= = − −P X C p p
1 2 1 2
3 3( ) 900 [1 (1 ) ] 1500 (1 )E X C p p C p p∴ = − − −× ×+ 2900 1800 (1 )p p= + −
2( ) (1 ) , (0,1)g p p p p= − ∈ 2( ) (1 ) 2 (1 ) (3 1)( 1)g p p p p p p′ = − − − = − −
1(0, )3p∈ ( ) 0g p′ > ( )g p 1(0, )3
1( )1 ,3p∈ ( ) 0g p′ < ( )g p 1( ,1)3
( )g p∴ 1 4( )3 27
=g
∴ 44100 9000 (900 1800 ) 10 115027
−+ =× + × ×
1150 1200+
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB ( )0 0,C x y
1 2 1 22 2
18 27,4 9 4 9
kx x x xk k
+ = − = −+ +
1 2
0 2
9
2 4 9
x x kx k
+ −= = + ，
0 0 2
41 4 9y kx k
= + = +
2 2
9 4,4 9 4 9
kC k k
−
+ +
x ( ),0M m AMB∆ AB
( ),0M m AB
0k ≠ C l 2 2
1 9 4
4 9 4 9
ky xk k k
= − + + + +
0y = 2
5 5
44 9 9
kx m k kk
= = − = −+ +若 ，则 ，
∴ ．
若 ，则 ，
∴ ．
②当 时，则有 ．
综上可得 ．
所以存在点 满足条件,且 m 的取值范围是 .
22.解：（1）因为 ，所以 ，
，
①当 ，即 ，所以 ，且方程 在 上有一根，故 在
为增函数， 上为减函数.
②当 时，方程 在 上有两个不同根或两等根，
当 时， ，所以 在 上减函数，
当 时 ， 得 ， ， 所 以 在 上 增 函 数 ， 在 ，
上减函数，
当 时， 得， ，所以 在 上增函数，在 ，
上减函数，
（2）证明：因为 ，令 ，则
，
即 在 是增函数，
0k >
5 5 5
4 1249 2 9k kk k
≤ =
+ ×
5 012 m− ≤ <
0k <
5 5 5
4 4 129 9k kk k
= − ≥ −
+ − −
50 12m< ≤
0k = 0m =
5 5
12 12m− ≤ ≤
M 5 5,12 12
−
3( ) ln 2
af x x x
′ = − + 3( ) (1 )ln 2
ag x a x xx
= − − − +
( 1)( )( ) ( 0)x x ag x xx
− +′ = − >
0a− ≤ 0a ≥ 0x a+ > ( ) 0g x′ = 0 + )∞（ ， ( )g x (0,1)
(1, )+∞
0a < ( ) 0g x′ = 0 + )∞（ ，
1a = −
2( 1)( ) 0xf x x
−′ = ≤ ( )f x 0 + )∞（ ，
1a < − ( ) 0f x′ > 1 x a< < − ( )f x - )a（1， (0,1)
+ )a− ∞（ ，
-1 0a< < ( ) 0f x′ > 1a x− < < ( )f x - 1)a（ ， (0,- )a
(1 + )∞，
3( ) ln 2
af x x x
′ = − + 3( ) ln 2
ah x x x
= − +
2
1( ) 0ah x x x
′ = + >
( )h x 0 + )∞（ ，下面证明 在区间 上有唯一零点 ，
因为 ， ，
因为 ，所以 ， ，
由零点存在定理可知， 在区间 上有唯一零点 ，
在区间 上， ， 是减函数，
在区间 上， ， 是增函数，
故当 时， 取得最小值 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， .
( )h x ( ,2 )2
a a 0x
1( ) ln2 2 2
a ah = − (2 ) ln 2 1h a a= +
1( ,2 )2a ee
∈ 2 1( ) ln 02 2 2
a eh < − = 1(2 ) ln 2 1 02h a e
> + =
( )h x ( ,2 )2
a a 0x
0(0, )x ( ) ( ) 0h x f x′= < ( )f x
0( + )x ∞， ( ) ( ) 0h x f x′= > ( )f x
0x x= ( )f x 0 0 0 0
1( ) ( )ln 2f x x a x x= − +
0 0
0
3( ) ln =02
ah x x x
= − + 0
0
3ln = 2
ax x
−
0 0 0 0 0
0 0
3 1 1( ) ( )( ) ( )(2 )2 2 2
a af x x a x x a xx x
= − − + = − −
0 ( ,2 )2
ax a∈ ( ) 0f x >
1( ,2 )2a ee
∈ ( ) 0f x >
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