2020 届高三入学调研考试卷
理科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 ，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合 A,B，再求 得解.
【详解】 ,
所以 .
故选 B
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可以根据共轭复数、复数的模的相关性质以及复数 得出 以及 的值，然后通过两者相加即可
得出结果．
【详解】因为复数 ，
所以复数 的共轭复数 ， ，
所以 ，故选 C．
{ }2 2 3 0 ,A x x x= + − ≤ { }2B x x= < A B =
{ }3 1x x− ≤ ≤ { }0 1x x≤ ≤
{ }3 1x x− ≤ < { }1 0x x− ≤ ≤
{ } { }3 1 , 0 4A x x B x x= − ≤ ≤ = ≤ <
A B = { }0 1x x≤ ≤
1 3z i2 2
= + z z+ =
1 3
2 2 i− 1 3
2 2 i− − 3 3
2 2 i− 3 3
2 2 i+
z z z
31
2 2z i= +
z 31
2 2z i= - ( ) ( ) 22 31
2 2 1z = + =
3 331
2 2 2 21z z i i+ = - + = -【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的共轭复数的计算方法以及复数的模的计算方法，考查
计算能力，提高了学生对复数的理解，是简单题．
3.已知 ， 为第二象限角，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据角所在象限及正弦，求出余弦，利用二倍角公式可得.
【详解】因为 ， 为第二象限角，所以 ，
所以 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查倍角公式及同角的平方关系，利用平方关系时，注意符号的取舍.
4.在等比数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据“ 、 是方程 的两根”计算出 的值，然后通过等比数列的相关性
质得出 ，即可计算出 的值．
【详解】因为 、 是方程 的两根，
所以根据韦达定理可知 ，
因为数列 是等比数列，
所以 ， ，故选 B．
【点睛】本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若 ，则
有 ，考查推理能力，体现了基础性，是简单题．
1sin 4x = x sin 2x =
3
16
− 15
8
− 15
8
± 15
8
1sin 4x = x 2 1 15cos 1 sin 1 16 4x x= − − = − − = −
1 15 15sin 2 2sin cos 2 ( )4 4 8x x x= = × × − = −
{a }n 2a 9a 2 6 0x x− − = 5 6•a a
6 6− 1− 1
2a 9a 2 6 0x x− − = 2 9a a⋅
5 6 2 9a a a a× = × 5 6a a⋅
2a 9a 2 6 0x x− − =
2 9 6a a⋅ = −
{ }na
5 6 2 9a a a a× = × 5 6 6a a× = -
n m p q+ = +
n m p qa a a a=5.设函数 ，若 ， ( )
A. 2 B. -2 C. 2019 D. -2019
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数奇偶性，进而可求出函数值,
【详解】因为 ，
所以 ，
因此函数 为奇函数，
又 ，所以 .
故选 B
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于基础题型.
6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90 后从事互
联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
【答案】D
【解析】
【分析】
利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到，互联网行业中从
2
sin cos( ) ( , 0)x x xf x a R aax
+= ∈ ≠ ( 2019) 2f − = (2019)f =
2
sin cos( ) x x xf x ax
+=
2 2
sin( ) cos( ) sin cos( ) ( )x x x x x xf x f xax ax
− − − +− = = − = −
( )f x
( 2019) 2f − = (2019) ( 2019) 2f f= − − = −
20%事技术岗位的人数 90 后不一定不 80 后多，即可求解.
【详解】在 A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中 90 后占 56%，所以
是正确 ；
在 B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90 后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的 ，所以是正确的；
在 C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90 后从事互联网行业岗位分别条形图得到：
，互联网行业从事运营岗位的人数 90 后比 80 后多，所以是正确的；
在 D 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90 后从事互联网行业岗位分别条形图得到：互联网行
业中从事技术岗位的人数 90 后不一定不 80 后多，所以是错误的.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着
重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知实数 满足不等式 则 的最小值为（ ）
A. B. 5 C. 4 D. 无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可确定最值.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
的
56% 39.6% 22.176% 20%× = > 20%
13.7% 39.6% 9.52%× =
,x y
1 0,
3,
2 0,
x y
x y
x y
− +
+
−
2z x y= +
4−目标函数即： ，其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点的坐标为： ，
据此可知目标函数的最小值为： .
故选 C.
【点睛】求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值
最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴
上截距最小时，z 值最大.
8.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正
视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的体积为（ ）
A. B. C. 27 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.
【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为 2 和 6，高为 2，
所以几何体体积 .
故选 B
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平和分析推理能力.
9.已知向量 ， ，则“ ”是 为钝角的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
1 1
2 2y x z= − +
3
2 0
x y
x y
+ =
− =
( )2,1A
min 2 2 2 4z x y= + = + =
100
3
104
3
1 104(4 36 4 36) 23 3V = + + × × =
( 1,2)a = − (1, )b m= 1
2m < ,a b【分析】
由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，则 ，
若 ，则 ，
但当 时， 反向，夹角为 ；所以由 不能推出 为钝角；
反之，若 为钝角，则 且 ，即 且 ，能推出 ；
因此，“ ”是 为钝角的必要不充分条件.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.
10.已知 为椭圆 的左顶点，该椭圆与双曲线 的渐近线在第一象限内的交点为 ，
若直线 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用渐近线与直线 垂直的关系，求出交点 ，代入椭圆方程可得.
【详解】因为直线直线 垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线 的方程为 ，联立
，可得交点 ，代入椭圆方程整理得
，即有 ，故离心率为 .
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解.圆锥曲线离心率的求解主要是寻求 之间的关系式，结
合离心率的定义可得.
11.如图，正方形的四个顶点 ，及抛物线 和 ,
若将一个质点随机投入正方形 中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
.
( 1,2)a = − (1, )b m= 1 2a b m⋅ = − +
2
2 1cos ,
5 1
a b ma b
a b m
⋅ −= =
⋅ +
1
2m < 2
2 1cos , 0
5 1
a b ma b
a b m
⋅ −= = <
⋅ +
2m = − ,a b 180
1
2m < ,a b
,a b cos , 0a b （ ） ( )g x ( )g x
φ
5
12
π
( ) 2sin(2 2 )3g x x
πφ= − + ,12 2
k k Z
π πφ = − + ∈
( ) sin 2 3cos2 2sin(2 )3f x x x x
π= + = +
( )f x 0φ φ >（ ） ( ) 2sin(2 2 )3g x x
πφ= − +
2 , ,3 2 12 2
kk k Z
π π π πφ π φ− + = + = − + ∈ 0（ ）φ >
min
5
12
πφ =
5
12
π16.某外商计划在 个候选城市中投资 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 个，则该外商不
同的投资方案有____种．
【答案】60
【解析】
试题分析：每个城市投资 1 个项目有 种，有一个城市投资 2 个有 种，投资方案共
种.
考点：排列组合.
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在 中，角 的对边分别是 ， .
（1）求角 的大小；
（2） 为边 上 一点，且满足 ，锐角三角形 面积为 ，求 的长.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以根据正弦定理将 转化为 ，然后通过两角和的正
弦公式将 转化为 ，最后通过角 的取值范围即可得出结果；
(2)本题首先可以根据解三角形面积公式以及锐角三角形 的面积为 计算出 并求出
的值，然后在三角形 中通过余弦定理以及正弦定理计算出 的值以及 的值，最后
在三角形 中通过正弦定理即可计算出 的值．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，解得 ．
（2）因为锐角三角形 的面积为 ，
所以 ， ，
的
4 3 2
3 3
4 3C A 2 1 2
4 2 3C C C 3 3
4 3C A
2 1 2
4 2 3 24 36 60C C C+ = + =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin (2 3 cos )b A a B= −
B
D AB 2, 4CD AC= = ACD 15 BC
6B
π= BC 15=
( )sin 2 3cosb A a B= − sin 3cos 2B B+ =
sin 3cos 2B B+ = sin 13B
π + = B
ACD 15 sin ACD∠
cos ACD∠ ACD AD sinA
ABC BC
( )sin 2 3cosb A a B= − ( )sin sin sin 2 3cosB A A B= −
sin 3cos 2B B+ = sin 13B
π + =
( )0,B π∈ 4,3 3 3B
π π π + ∈ 3 2B
π π+ =
6B
π=
ACD 15
1 AC CD sin 152 ACD⋅ ⋅ ∠ = 15sin 4ACD∠ =因为三角形 为锐角三角形，所以 ，
在三角形 中，由余弦定理可得：
，所以 ，
在三角形 中， ，所以 ，
在三角形 中， ，解得 ．
【点睛】本题考查解三角形的相关性质，主要考查解三角形的相关公式的灵活使用，考查推理能力与计算
能力，是中档题．
18.如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AC＝ BC，AB＝2BC，D 为线段 AB 上一点，且 AD＝3DB，PD⊥平面
ABC，PA 与平面 ABC 所成的角为 45°．
（1）求证：平面 PAB⊥平面 PCD；
（2）求二面角 P﹣AC﹣D 的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）推导出 AC⊥BC，CD⊥AD，PD⊥CD，从而 CD⊥平面 PAB，由此能证明平面 PAB⊥平面 PCD．
（2）以 D 为坐标原点，分别以 DC，DB，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法
能求出二面角 P-AC-D 的平面角的余弦值．
【详解】（1）证明：∵AC＝ BC，AB＝2BC，
∴ ，
∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，
ACD 2 1cos 1 sin 4ACD ACD∠ = − ∠ =
ACD
2 2 2AD AC CD 2 cos ACDAC CD= + − ⋅ ⋅ ∠ 4=AD
ACD CD
sin sin
AD
A ACD
= ∠
15sin 8A =
ABC BC
sin sin
AC
A B
= BC 15=
3
5
5
3
2 2 2 2( 3 ) 4AB BC BC BC= + =在 Rt△ABC 中，由 AC＝ BC，得∠CAB＝30°，
设 BD＝1，由 AD＝3BD，得 AD＝3，BC＝2，AC＝2 ，
在△ACD 中，由余弦定理得 CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°＝3，
∴CD＝ ，
∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，
∵PD⊥平面 ABC，CD 平面 ABC，
∴PD⊥CD，
又 PD∩AD＝D，∴CD⊥平面 PAB，
又 CD 平面 PCD，∴平面 PAB⊥平面 PCD．
（2）解：∵PD⊥平面 ABC，
∴PA 与平面 ABC 所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，
∴△PAD 为等腰直角三角形，PD＝AD，
由（1）得 PD＝AD＝3，以 D 为坐标原点，
分别以 DC，DB，DP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 D（0，0，0），C（ ，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），
＝（0，﹣3，﹣3）， ＝（ ），
则 ＝ ＝（0，0，3）是平面 ACD 的一个法向量，
设平面 PAC 的一个法向量 ＝（x，y，z），
则 ，取 x＝ ，得 ＝（ ，﹣1，1），
3
3
3
⊆
⊆
3
PA PC 3,0, 3−
n DP
n
3 3 0
3 3 0
n PA y z
n PC x z
⋅ = − − = ⋅ = − =
3 n 3设二面角 P﹣AC﹣D 的平面角为 θ，
则 cosθ＝ ＝ ，
∴二面角 P﹣AC﹣D 的平面角的余弦值为 ．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.某公司生产某种产品，一条流水线年产量为 件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品
的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标 或 或
第二段生产的成品为一等品概率 0.2 0.4 0.6
第二段生产的成品为二等品概率 0.3 0.3 0.3
第二段生产的成品为三等品概率 0.5 0.3 0.1
从第一道生产工序抽样调查了 件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是 元、 元、 元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是 万元，使用寿命是 年，安装这种设备
后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布 ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是
否要购买该设备？说明理由.
（参考数据： ， ，
）
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 万元；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）首先根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；
（Ⅱ）首先确定随机变量 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望
| |
| | | |
n m
n m
⋅
⋅
3 5
55 3
=
×
5
5
10000
x 74x ≤ 86x > 74 78x< ≤ 82 86x< ≤ 78 82x< ≤
100
100 60 100−
20 1
2(80,2 )N
( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9548P Xµ σ µ σ− < ≤ + =
( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− < + =≤
80.2 30
X公式求 的数学期望；（Ⅲ）首先根据正态分布的性质确定好 等，然后类似第二问求出随机
变量 的分布列及数学期望，最后根据随机变量 的数学期望的大小作决策.
【详解】（Ⅰ）平均值为： .
（Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标 或 ，
或 ， ，
设生产一件产品的利润为 元，则
，
，
，
所以生产一件成品的平均利润是 元，
所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是 万元.
（Ⅲ） ，
设引入该设备后生产一件成品利润为 元，则
，
，
，
所以引入该设备后生产一件成品平均利润为
元，
所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是 万元，
增加收入 万元，
综上，应该引入该设备.
【点睛】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、
正态分布，考查数学建模、数据分析能力.
20.已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直
线 相切，过点 的直线 与椭圆 相交于 两点.
（1）求椭圆 的方程；
X , 2µ σ µ σ− −
Y ,X Y
72 0.1 76 0.25 80 0.3 84 0.2 88 0.15 80.2× + × + × + × + × =
( 74P x ≤ 86)x > 0.25=
(74 78P x< ≤ 82 86)x< ≤ 0.45= (78 82) 0.3P x< ≤ =
X
( )100P X = = 0.2 0.25 0.4 0.45 0.6 0.3 0.41× + × + × =
( )60 0.3 0.25 0.3 0.45 0.3 0.3 0.3P X = = × + × + × =
( )100 0.5 0.25 0.3 0.45 0.1 0.3 0.29P X = − = × + × + × =
100 0.41 60 0.3 100 0.29 30× + × − × =
30
3 74, 78, 82, 3 86µ σ µ σ µ σ µ σ− = − = + = + =
Y
( )100 0.0026 0.2 0.3148 0.4 0.6826 0.6 0.536P Y = = × + × + × =
( )60 0.0026 0.3 0.3148 0.3 0.6826 0.3 0.3P Y = = × + × + × =
( )100 0.0026 0.5 0.3148 0.3 0.6826 0.1 0.164P Y = − = × + × + × =
100 0.536 60 0.3 100 0.164 55.2EY = × + × − × =
55.2
55.2 30 20 5.2− − =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2
6 0x y− + = ( )4,0P l C ,A B
C（2）若原点 在以线段 为直径的圆内，求直线 的斜率 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出 a、b 的值，代入椭圆方程即可；
（2）联立直线与椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线斜率的取值范
围．
【详解】解（1）由 可得 ，又 .
故椭圆的方程为 .
（2）由题意知直线 方程为 .
联立 得 .
由 ，得 .①
设 ，则 .
.
原点 在以线段 为直径的圆外，
，②
由①②，解得 .
当原点 在以线段 为直径的圆外时，直线 的斜率 .
【点睛】本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积
的合理运用，属于中档题．
O AB l k
2 2
14 3
x y+ = 3 3,5 5k
∈ −
1
2
ce a
= = 2 24
3a b= 2 26 3 4, 3
1 1
b a b= = ∴ = =
+
2 2
14 3
x y+ =
l ( 4)y k x= −
( )
2 2
4
14 3
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 24 3 32 64 12 0k x k x k+ − + − =
( ) ( )( )22 2 232 4 4 3 64 12 0k k k∆ = − − + − > 2 1
4k <
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2
1 2 1 22 2
32 64 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
−+ = =+ +
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 24 • 4 4 16y y k x k x k x x k x x k∴ = − − = − + +
Q O AB
( ) ( )2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2• 1 4 16OA OB x x y y k x x k x x k∴ = + = + − + +
( ) 2 2
2 2 2
2 2
64 12 321 4 • 164 3 4 3
k kk k kk k
−= + − ++ + 2
8725 04 3k
= − 1( ) (2 1)ef x x −
2 3b a= − 4a < ( )f x ( , 1)−∞ − (3 , )a− +∞ 4a > ( )f x
( ,3 )a−∞ − ( 1, )− +∞
1x = − 2 3b a= −
2 1( ) x
x xf x e
+ −= 1( ) (2 1)( 0)ef x x x− >
( )2(2 1) 1 0( 0)xx e e x x x− − + − > ( )2( ) (2 1)e e 1 ( 0)xg x x x x x= − − + − >
( )2 2
2
(2 )e e (2 )'( ) e e
x x
x x
x a x ax b x a x a bf x
+ − + + − + − + −= =
'( 1) ( 1 2 )e 0f a a b− = − + − + − = 2 3b a= −
2 2(2 ) (2 3) (2 ) 3'( ) e ex x
x a x a a x a x af x
− + − + − − − + − − += =
( 1)[ ( 3)] [ ( 1)][ (3 )]
e ex x
x x a x x a+ + − − − − −= − = −
1x = − ( )f x 3 1a− ≠ − 4a ≠
3 1a− > − 4a < '( ) 0f x < 3x a> − 1x < − ( )f x ( , 1)−∞ −
(3 , )a− +∞
4a > ( )f x ( ,3 )a−∞ − ( 1, )− +∞
2 1( ) x
x xf x e
+ −= 1( ) (2 1)( 0)ef x x x− >
( )2(2 1) 1 0( 0)xx e e x x x− − + − >
( )2( ) (2 1)e e 1 ( 0)xg x x x x x= − − + − >有
则函数 的增区间为 ，减区间为 ，则
故不等式 成立.
【点睛】本题考查了函数的极值，函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生综合应用能力和计算能力.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴)中，圆 的极坐标方程为
．
（1）求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
（2）设圆 与直线 交于 ， 两点，若点 的坐标为 ，求 ．
【答案】（1）直线 l 的普通方程为 ；圆 C 的直角坐标方程为 ；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）由直线的参数方程消去参数可直接得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得到圆的
直角坐标方程；
（2）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，结合韦达定理，根据参数的方法，即可求出结果.
【详解】(1)由直线 的参数方程 ( 为参数)得直线 的普通方程为
由 ,得 ,即圆 的直角坐标方程为 ．
(2)将直线 参数方程代入圆 的直角坐标方程，得 ，
即 ，
的
( )'( ) (2 1)e e(2 1) (2 1) e ex xg x x x x= + − + = + −
( )g x (1, )+∞ (0,1) min( ) (1) 0g x g= =
1( ) (2 1)ef x x −
xOy l
23 2
25 2
x t
y t
= −
= +
t
xOy O x C
2 5sinρ θ=
l C
C l A B P (3, 5) PA PB+
3 5y x= − + + 2 2( 5) 5x y+ − =
3 2
l
23 2
25 2
x t
y t
= −
= +
t l 3 5y x= − + +
2 5sinρ θ= 2 2 2 5 0x y y+ − = C 2 2( 5) 5x y+ − =
l C 2 22 2(3 ) ( ) 52 2t t− + =
2 3 2 4 0t t− + =由于 >0,
故可设 ， 是上述方程的两个实根，
所以
又直线 过点 P(3, )，
故 ．
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即
可，属于常考题型.
23.[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数
（1）若 ，求不等式 的解集.
（2）对任意的 ，有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值的几何意义分析解答得解.
【详解】（1） ，
所以
解之得不等式 的解集为 .
(2)
当 时，由题得 2 必须在 3m+1 的右边或者与 3m+1 重合，
所以 ，所以 ，
当 时，不等式恒成立，
当 时，由题得 2 必须在 3m+1 的左边或者与 3m+1 重合，
2(3 2) 4 4 0∆ = − × ＞
1t 2t
1 2
1 2
3 2
4
t t
t t
+ = =
l 5
1 2 1 2 3 2t t t tPA PB + = + =+ =
( ) 3 1= − − − −f x x m x m
1m = ( ) 1f x <
x∈R ( ) (2)≤f x f m
( ,3)−∞ 1 1
2 3m− ≤ ≤
( ) 1 4 1f x x x= − − − <
1 1 4 4
1 (4 ) 1 1 (4 ) 1 1 4 1
x x x
x x x x x x
< ≤ ≤ >
− − − < − − − < − − + > −
12 3 1, 3m m≥ + ∴ ≤ 1 1
2 3
− < ≤m
13 1 , 2m m m+ = = −
13 1 , 2m m m+ < < −由题得 ，所以 m 没有解.
综上， .
【点睛】本题主要考查利用分类讨论法解绝对值不等式，考查利用绝对值的几何意义分析不等式的恒成立
问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12 3 1, 3m m≤ + ≥
1 1
2 3m− ≤ ≤
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