2020届燕博园联考高三综合能力测试（全国卷I）数学理科试题（解析版）

燕博园联考 2020 届高三年级综合能力测试（CAT）（一） 理科数学（全国卷）详解版 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.已知全集为 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对于集合 ,求得函数 的定义域,再求得补集；对于集合 ,解得一元二次不等式, 再由交集的定义求解即可. 【详解】 , , . 故选:D 【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式. 2.复数满足 ，则复数 在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ,则 ,可得 ,即可得到 ,进而找到 对应的点所在象限. 【详解】设 ,则 , , , R 1 22( 1) , { | 2 0}A x y x B x x x −  = = − = − ∴ = ≤   −      2{ | 2 0} { | ( 2) 0} { | 0 2}B x x x x x x x x= − < = − < = < < ( ) (0,1]A B∴ =R  4 8iz z+ = + z ( , )z a bi a b R= + ∈ 2 2 4 8z z a bi a b i+ = + + + = + 2 2 4 8 a a b b  + + = = z ( , )z a bi a b R= + ∈ 2 2 4 8z z a bi a b i+ = + + + = + 2 2 4 8 a a b b  + + =∴ = 6, 6 8i8 a zb = −∴ ∴ = − + =所以复数 在复平面内所对应的点为 ,在第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力. 3.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A. 45 B. 42 C. 25 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可知 ,进而代入等差数列的前 项和的公式即可. 【详解】由题, . 故选:D 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前 项和. 4.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断 的奇偶性,即可排除 B,C；再由 , 即可排除 D. 【详解】由题,显然定义域为 ,设 ,则 ,所以函数 是奇函 数,其图象关于原点对称,排除 B,C；且当 时, ,排除 D, 故选:A z ( )6,8− { }na n nS 2 82, 10a a= − = 9S = 1 9 2 8a a a a+ = + n 1 9 2 8 9 9( ) 9( ) 9 ( 2 10) 362 2 2 a a a aS + + × − += = = = n x x xy e e−= + ( )f x x → +∞ ( ) 0f x → R ( ) x x xf x e e−= + ( ) ( )x x xf x f xe e− −− = = −+ ( )f x x → +∞ ( ) 0x x xf x e e−= →+【点睛】本题考查图象的识别,考查函数奇偶性的应用,属于基础题. 5.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的 本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如 的简单正弦函数的和，其中 频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的 整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数 构成乐音的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由基本音的谐波的定义可得 ,利用 可得 ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由 ,可知若 ,则必有 , 故选:C 【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力. 6.已知 为非零向量，“ ”为“ ” （ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由数量积的定义可得 ,为实数,则由 可得 ,根据共线的性质,可判断 ； 再根据 判断 ,由等价法即可判断两命题的关系. 【详解】若 成立,则 ,则向量 与 的方向相同,且 ,从而 ,所 以 ； 若 ,则向量 与 的方向相同,且 ,从而 ,所以 . 所以“ ”为“ ” 充分必要条件. 故选:B 的 的 sina bx 0.06sin180000y t= 0.02sin360000y t= 0.03sin180000y t= 0.02sin181800y t= 0.05sin540000y t= 1 2 ( )f nf n ∗= ∈N 1 2f T ω π= = 1 2 ( )n nω ω ∗= ∈N 1 2f T ω π= = 1 2 ( )f nf n ∗= ∈N 1 2 ( )n nω ω ∗= ∈N ,a b 2 2a b b a=   a a b b=    22 0a a= >  22a b b a=   22a b b a=   a b=  a a b b=   a b=  22a b b a=   22a b b a=   a b 22a b b a=   a b=  a b=  a a b b=   a b 2 2 a b=  a b=  a b=  22a b b a=   a a b b=  【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用. 7.把函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象．给出下列四个命题 ① 的值域为 ② 的一个对称轴是 ③ 的一个对称中心是 ④ 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由图象变换的原则可得 ,由 可求得值域；利用代入检验 法判断②③；对 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】由题, , 则向右平移 个单位可得, , 的值域为 ,①错误； 当 时, ,所以 是函数 的一条对称轴,②正确； 当 时, ,所以 的一个对称中心是 ,③正确； ,则 ,使得 ,则 在 和 处的切线互相垂直,④正确. 即②③④正确,共 3 个. 2( ) sinf x x= 12 π ( )g x ( )g x (0,1] ( )g x 12x π= ( )g x 1,3 2 π     ( )g x 1 1( ) cos 22 6 2g x x π = − − +   cos 2 [ 1,1]6x π − ∈ −   ( )g x 2 1 cos2( ) sin 2 xf x x −= = 12 π 1 cos2 1 112( ) cos 22 2 6 2 x g x x π π  − −    = = − − +   cos 2 [ 1,1]6x π − ∈ −   ( )g x∴ [0,1] 12x π= 2 06x π− = 12x π= ( )g x 3x π= 2 26x ππ− = ( )g x 1,3 2 π     ( ) sin 2 [ 1,1]6g x x π ′ = − ∈ −   1 2 1 2, , ( ) 1, ( ) 1x x R g x g x′ ′∃ ∈ = − = 1 2( ) ( ) 1g x g x′ ′⋅ = − ( )g x 1x x= 2x x=故选:C 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的 几何意义的应用. 8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人 们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为 12 的大正方形在四个角处都剪去边长为 1 的小正方形后剩余 的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为 1 的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个 点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【详解】由题,窗花的面积为 ,其中小正方形的面积为 , 所以所求概率 , 故选:D 【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 9.已知三棱锥 且 平面 ，其外接球体积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 , 平面 ,可将三棱锥 还原成长方体,则三棱锥 的外接球即为长方 体的外接球,进而求解. . 3 7 4 7 5 7 6 7 212 4 1 140− × = 5 4 20× = 140 20 6 140 7P −= = , 2, 1,P ABC AC BC AC BC− = = ⊥ 2 ,PA PB PB= ⊥ ABC 4 3 π 4π 32 3 π 4 3π AC BC⊥ PB ⊥ ABC P ABC− P ABC−【详解】由题,因为 ,所以 , 设 ,则由 ,可得 ,解得 , 可将三棱锥 还原成如图所示的长方体, 则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为 ,则 ,所 以 , 所以外接球的体积 . 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力. 10.一个盒子里有 4 个分别标有号码为 1，2，3，4 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中， 共取 3 次，则取得小球标号最大值是 4 的取法有（ ） A. 17 种 B. 27 种 C. 37 种 D. 47 种 【答案】C 【解析】 【分析】 由于是放回抽取,故每次的情况有 4 种,共有 64 种；先找到最大值不是 4 的情况,即三次取出标号均不为 4 的 球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有 种,其中最大值不是 4 的情况有 种,所以取得小球标号最大值是 4 的取法有 种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 11.已知双曲线 的焦距为 ，若 的渐近线上存在点 ，使得经过点 所作的 圆 的两条切线互相垂直，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ） 2, 1,AC BC AC BC= = ⊥ 2 2 3AB AC BC= + = PB h= 2PA PB= 23 2h h+ = 1h = P ABC− P ABC− R 2 2 22 1 ( 2) 1 2R = + + = 1R = 34 4 3 3V R π π= = 34 64= 33 27= 64 27 37− = 2 2 2 2: 1( 0)x yM b aa b − = > > 2c M T T 2 2 2( ) ac yx + =− MA. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 可得 ；由过点 所作的圆的两条切线互相垂直可得 ,又焦点 到双曲线渐 近线的距离为 ,则 ,进而求解. 详解】 ,所以离心率 , 又圆 是以 为圆心,半径 的圆,要使得经过点 所作的圆的两条切线互相垂直, 必有 , 而焦点 到双曲线渐近线的距离为 ,所以 ,即 , 所以 ,所以双曲线 的离心率的取值范围是 . 故选:B 【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 12.点 在曲线 上，过 作 轴垂线 ，设 与曲线 交于点 ， ，且 点的纵坐标始终为 0，则称 点为曲线 上的“水平黄金点”，则曲线 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 【 (1, 2] ( 2, 3] ( 2, 5] ( 3, 5] b a> 2e > T 2TF a= (c,0)F b 2TF a b= ≥ b a> 2 1 2c be a a  = = + >   2 2 2( ) ac yx + =− (c,0)F r a= T 2TF a= (c,0)F b 2TF a b= ≥ 2b a ≤ 2 1 3c be a a  = = +    ≤ M ( 2, 3] M : 3lnG y x= M x l l 1y x = N 3 OM ONOP +=   P M G G设 ,则 ,则 ,即可得 ,设 ,利用导函数判断 的零点的个数,即为所求. 【详解】设 ,则 ,所以 , 依题意可得 , 设 ,则 , 当 时, ,则 单调递减；当 时, ,则 单调递增, 所以 ,且 , 有两个不同的解,所以曲线 上的“水平黄金点”的个数为 2. 故选:C 【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13.抛物线 上到其焦点 距离为 5 的点有_______个． 【答案】2 【解析】 【分析】 设符合条件的点 ,由抛物线的定义可得 ,即可求解. 【详解】设符合条件的点 ,则 ,所以符合条件的点有 2 个. 故答案为:2 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径. 14.已知数列 的前 项和为 且满足 ，则数列 的通项 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 ( , 3ln )M t t 1,N t t      2 1,ln3 3 tOP t t  = +    1ln 03t t + = 1( ) ln 3g t t t = + ( )g t ( , 3ln )M t t 1,N t t      2 1,ln3 3 3 OM ON tOP t t +  = = +     1ln 03t t + = 1( ) ln 3g t t t = + 2 2 1 1 3 1( ) 3 3 tg t t t t −′ = − = 10 3t< < ( ) 0g t′ < ( )g t 1 3t > ( ) 0g t′ > ( )g t min 1( ) 1 ln3 03g t g  = = − = >   1( ) ln 03g t t t ∴ = + = G 2 4y x= F 0 0( , )P x y 0 1 5PF x= + = 0 0( , )P x y 0 0 01 5, 4, 4PF x x y= + = ∴ = = ± { }na n nS 2n nS a+ = − { }na na = 11 2 n− −  先求得 时 ；再由 可得 时 ,两式作差可得 ,进而 求解. 【详解】当 时, ,解得 ； 由 ,可知当 时, ,两式相减,得 ,即 , 所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列, 所以 , 故答案为: 【点睛】本题考查由 与 的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用. 15.对任意正整数 ，函数 ，若 ，则 的取值范围是_________； 若不等式 恒成立，则 的最大值为_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 将 代 入 求 解 即 可 ； 当 为 奇 数 时 , , 则 转 化 为 ,设 ,由单调性求得 的最小值；同理,当 为偶数时, , 则转化 为 ,设 ,利用导函数求 得 的最小值,进而比较得到 的最大值. 【详解】由题, ,解得 . 当 为奇数时, ,由 ,得 , 而函数 为单调递增函数,所以 ,所以 ； 当 为偶数时, ,由 ,得 , 设 , 1n = 1 1a = − 2n nS a+ = − 2n ≥ 1 1 2n nS a− −+ = − 12 0n na a −− = 1n = 1 1 12 2S a a+ = = − 1 1a = − 2n nS a+ = − 2n ≥ 1 1 2n nS a− −+ = − 12 0n na a −− = 1 1 ( 2)2n na a n−= ≥ { }na 1− 1 2 11 2 n na − = −   11 2 n− −   nS na n 3 2( ) 2 7 cos 1f n n n n nπ λ= − − − (2) 0f ≥ λ ( ) 0f n ≥ λ 13, 2  −∞ −   13 2 − 2n = n cos 1nπ = − 3 2( ) 2 7 1 0f n n n nλ= + − − ≥ 2 12 7n n n λ + −≤ 2 1( ) 2 7g n n n n = + − ( )g n n cos 1nπ = 3 2( ) 2 7 1 0f n n n nλ= − − − ≥ 2 12 7n n n λ − −≤ 2 1( ) 2 7 ( 2)h x x x xx = − − ≥ ( )h x λ (2) 16 28 2 1 0f λ= − − − ≥ 13 2 λ −≤ n cos 1nπ = − 3 2( ) 2 7 1 0f n n n nλ= + − − ≥ 2 12 7n n n λ + −≤ 2 1( ) 2 7g n n n n = + − min( ) (1) 8g n g= = 8λ ≤ n cos 1nπ = 3 2( ) 2 7 1 0f n n n nλ= − − − ≥ 2 12 7n n n λ − −≤ 2 1( ) 2 7 ( 2)h x x x xx = − − ≥, 单调递增, ,所以 , 综上可知,若不等式 恒成立,则 的最大值为 . 故答案为:(1) ；(2) 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想. 16.正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 上的动点，且 平面 ， 记 与 的轨迹构成的平面为 ． ① ，使得 ； ②直线 与直线 所成角的正切值的取值范围是 ； ③ 与平面 所成锐二面角的正切值为 ； ④正方体 的各个侧面中，与 所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】 取 中点 , 中点 , 中点 ,先利用中位线的性质判断点 的运动轨迹为线段 ,平面 即为平面 ,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线 与直线 所 成角即为直线 与直线 所成角,设正方体的棱长为 2,进而求解；③由 ,取 为 中点, 则 ,则 即为 与平面 所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及 图形判断即可. 2 12, ( ) 4 7 0x h x x x ′∴ = − + > ≥ ( )h x∴ min 13( ) (2) 2h x h∴ = = − 13 2 λ −≤ ( ) 0f n ≥ λ 13 2 − 13, 2  −∞ −   13 2 − 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1DD F 1 1CDD C 1 / /B F 1A BE 1B F α F∃ 1 1B F CD⊥ 1B F BC 2 1,4 2       α 1 1CDD C 2 2 1 1 1 1ABCD A B C D− α CD G 1 1C D M 1CC N F MN 1B MN α 1B F BC 1B F 1 1B C / /MN EG F MN 1 1,MN C F MN B F⊥ ⊥ 1 1B FC∠ α 1 1CDD C【详解】 取 中点 ,连接 ,则 ,所以 ,所以平面 即为平面 , 取 中点 , 中点 ,连接 ,则易证得 , 所以平面 平面 ,所以点 的运动轨迹为线段 ,平面 即为平面 . ①取 为 中点,因为 是等腰三角形,所以 ,又因为 ,所以 , 故①正确； ②直线 与直线 所成角即为直线 与直线 所成角,设正方体的棱长为 2,当点 为 中点 时,直线 与直线 所成角最小,此时 , ； 当点 与点 或点 重合时,直线 与直线 所成角最大,此时 , 所以直线 与直线 所成角的正切值的取值范围是 ,②正确； ③ 与平面 的交线为 ,且 ,取 为 中点,则 即为 与平面 所成的锐二面角, ,所以③正确； ④正方体 的各个侧面中,平面 ,平面 ,平面 ,平面 与平 面 所成的角相等,所以④正确． 故答案为:①②③④ 【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． CD G EG 1/ /EG CD 1//EG A B 1A BE 1A BGE 1 1C D M 1CC N 1 1, ,B M B N MN 1 1 1// , //B M BG B N A E 1 //B MN 1A BGE F MN 1B MN α F MN 1B MN△ 1B F MN⊥ 1/ /MN CD 1 1B F CD⊥ 1B F BC 1B F 1 1B C F MN 1B F 1 1B C 1 2 2C F = 1 1 1 1 1 2tan 4 C FC B F B C ∠ = = F M N 1B F 1 1B C 1 1 1tan 2C B F∠ = 1B F BC 2 1,4 2       α 1 1CDD C EG / /MN EG F MN 1 1 1 1, ,MN C F MN B F B FC⊥ ⊥ ∴∠ α 1 1CDD C 1 1 1 1 1 tan 2 2B CB FC C F ∠ = = 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 1111 DCBA 1 1BCC B 1 1ADD A α17.在 中， ． （1）求 的值； （2）点 为边 上的动点（不与 点重合），设 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）先利用同角的三角函数关系求得 ,再由 求解即可； （2）在 中,由正弦定理可得 ,则 ,再由 求解即可. 【详解】解:（1）在 中, ,所以 , 所以 （2）由（1）可知 ,所以 , 在 中,因为 ,所以 , 因为 ,所以 , 所以 . 【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查正弦定理的应用. 18.在四棱锥 中， 是等边三角形，点 在棱 上， 平面 平面 ． ABC 5, cos4 3B C π∠ = = cos A D BC C AD DCλ= λ 2 2 10 6 − 2 ,3 λ  ∈ +∞  sinC cos cos 4A C ππ = − −   ADC sin sin AD DC C DAC = ∠ sin 2 sin 3sin AD C DC DAC DAC λ = = =∠ ∠ 0 DAC BAC< ∠ ∠≤ ABC 5cos 3C = 2 2sin 1 cos 3C C= − = cos cos cos sin sin cos cos4 4 4 4A C C C C π π π ππ   = − − = − + = −       2 2 2 5 2 2 10 2 3 2 3 6 −= × − × = 2 2 10cos 06A −= < 2A π> ADC sin sin AD DC C DAC = ∠ sin 2 sin 3sin AD C DC DAC DAC λ = = =∠ ∠ 0 DAC BAC< ∠ ∠≤ sin (0,1]DAC∠ ∈ 2 ,3 λ  ∈ +∞  P ABCD− 1, // , ,2AB PA AB CD AB CD PAD⊥ = △ M PC PAD ⊥ ABCD（1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值； （3）设直线 与平面 相交于点 ，若 ，求 的值． 【答案】（1）证明见解析（2） （3） 【解析】 【分析】 （1）取 中点为 ,连接 ,由等边三角形性质可得 ,再由面面垂直的性质可得 ,根 据平行直线的性质可得 ,进而求证； （2）以 为原点,过 作 的平行线 ,分别以 , , 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标 系,设 ,由点 在棱 上,可设 ,即可得 到 ,再求得平面 的法向量,进而利用数量积求解； （3）设 , ,则 ,求得 , ,即可求得点 的 坐标,再由 与平面 的法向量垂直,进而求解. 【详解】（1）证明:取 中点为 ,连接 , 因为 是等边三角形,所以 , 因为 且相交于 ,所以 平面 ,所以 , 因为 ,所以 , 因为 ,在平面 内,所以 , 所以 . （2）以 为原点,过 作 的平行线 ,分别以 , , 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标 系,设 ,则 , , , , PCD ⊥ PAD AB AD= AM PBC AM PBD N AN PM AM PC = AN AM 2 19 19 1 2 AN AM = AD O PO PO AD⊥ PO DC⊥ CD PA⊥ O O AB OF OA OF OP x y z 2AB AD= = M PC [ ](1 ) ( ,4 , 3(1 )), 0,1OM t OP tOC t t t t= − + = − − ∈   AM PBC 2,AD DC m= = AN PM kAM PC = = ,PM kPC AN k AM= =    AM AN N DN PBD AD O PO PAD△ PO AD⊥ PAD ABCD⊥平面 平面 AD PO ⊥ ABCD PO DC⊥ // ,AB CD AB PA⊥ CD PA⊥ PO PA P= PAD CD PAD⊥ 平面 PCD PAD⊥平面 平面 O O AB OF OA OF OP x y z 2AB AD= = (1,0,0)A (1,2,0)B ( 1,4,0)C − (0,0, 3)P因为 在棱 上,可设 , 所以 , 设平面 的法向量为 ,因为 , 所以 ,即 ,令 ,可得 ,即 , 设直线 与平面 所成角为 ,所以 , 可知当 时, 取最大值 . （3）设 ,则有 ,得 , 设 ,那么 ,所以 , 所以 . 因为 , , 所以 . 又因为 ,所以 , ,设平面 的法向量为 , 则 ,即 , ,可得 ,即 因为 在平面 内,所以 ,所以 , 所以 ,即 , M PC [ ](1 ) ( ,4 , 3(1 )), 0,1OM t OP tOC t t t t= − + = − − ∈   ( 1,4 , 3(1 ))AM t t t= − − − PBC ( , , )n x y z= ( 2,2,0), ( 1,4, 3)BC PC= − = − −  0 0 n BC n PC  ⋅ = ⋅ =   2 2 0 4 3 0 x y x y z − + =− + − = 1x = 1 1 3 x y z  =  =  = (1,1, 3)n = AM PBC θ 2 1sin cos , 5(5 1) AM nAM n AM n t t θ ⋅= < > = = − +      1 10t = sinθ 2 19 19 2,AD DC m= = (0,0, 3), ( 1, ,0)P C m− ( 1, , 3)PC m= − − AN PM kAM PC = = ,PM kPC AN k AM= =    ( , , 3 )PM k mk k= − − ( , , 3(1 ))M k mk k− − (1,0,0), ( 1, , 3(1 ))A AM k mk k= − − −所以 2 2, ( , , 3 (1 ))AN k AM AN k k mk k k= = − − −  因为 所以 2 2( 1, , 3 (1 ))N k k mk k k− − + − ( 1,0,0), 1, ,02 mD B −    2 2( 2, , 3 (1 ))DN k k mk k k= − − + − ( 1,0, 3), 2, ,02 mPD DB  = − − =      PDB ( , , )m x y z= 0 0 m PD m DB  ⋅ = ⋅ =   3 0 2 02 x z mx y − − = + = 3x = −令 3 4 3 1 x y m z  = −   =  = 4 33, ,1m m  = −     N PDB DN m⊥  0DN m⋅ =  2 24 33( 2) 3 (1 ) 0k k mk k km − − − + + ⋅ + − = 22 1 0k k+ − =所以 或者 （舍）,即 . 【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力. 19.某精密仪器生产车间每天生产 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取 50 个零件进行检查是否合 格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服 从正态分布 （单位：微米 ），且相互独立．若零件的长度 满足 ，则 认为该零件是合格的，否则该零件不合格． （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为 ，求 及 的数学期望 ； （2）小张某天恰好从 50 个零件中检查出 2 个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已 知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元．假设 充分大，为了使 损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ． 【答案】（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】 【分析】 （1）由零件的长度服从正态分布 且相互独立,零件的长度 满足 即为合 格,则每一个零件的长度合格的概率为 , 满足二项分布,利用补集的思想求得 ,再根据 公式求得 ； （2）由题可得不合格率为 ,检查的成本为 ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与 0 比较大小即 可判断. 【详解】（1） , 1 2k = 1k = − 1 2 AN AM = n 2(10,0.1 )N mµ d 9.7 10.3m d mµ µ< < X ( 2)P X ≥ X EX n ξ 2( , )N µ σ 50 49( 3 3 ) 0.9987,0.9987 0.9370, 0.9987 0.0013 0.0012P µ σ ξ µ σ− < < + = = × = 2(10,0.1 )N d 9.7 10.3m d mµ µ< < 0.9987 X ( )2P X ≥ EX 2 50 10n 1 49 50 50( 2) 1 ( 1) ( 0) 1 0.9987 0.0013 0.9987 0.003P X P X P X C= − = − = = − ⋅ ⋅ − =≥由于 满足二项分布,故 . （2）由题意可知不合格率为 , 若不检查,损失的期望为 ； 若检查,成本为 ,由于 , 当 充分大时, , 所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能 力. 20.已知椭圆 经过点 ，离心率为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）经过点 且斜率存在的直线 交椭圆于 两点，点 与点 关于坐标原点对称．连接 ．求证：存在实数 ，使得 成立． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由点 可得 ,由 ,根据 即可求解； （2）设直线 的方程为 ,联立 可得 ,设 , 由韦达定理可得 ,再根据直线的斜率公式求得 ；由点 B 与点 Q 关于原点对称,可设 ,可求得 ,则 ,即可求证. 【详解】解:（1）由题意可知 , , 又 ,得 , X 0.0013 50 0.065EX = × = 2 50 2 52( ) 260 20 2050 5E Y n n= × × − = − 10n 52 2( ) 10 20 10 205 5E Y n n n n− = − − = − n 2( ) 10 20 05E Y n n− = − > 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > (0, 2)A − 3 3 M (0,1)E l ,Q N B Q ,AB AN λ AN ABk kλ= 2 2 16 4 x y+ = (0, 2)A − 2b = 3 3 ce a = = 2 2 2a c b− = l 1y kx= + 2 2 1 16 4 y kx x y = + + = 2 2(2 3 ) 6 9 0k x kx+ + − = 1 1 2 2( , ), ( , )Q x y N x y 1 2 1 22 2 6 9,2 3 2 3 kx x x xk k + = − = −+ + QA ANk k⋅ 1 1( , )B x y− − AQ ABk k⋅ AQ ANAN AB AQ AB k kk k k k ⋅= ⋅ 2b = 3 3 ce a = = 2 2 2a c b− = 6, 2a c= =所以椭圆 的方程为 （2）证明:设直线 的方程为 ， 联立 ,可得 , 设 , 则有 , 因为 , 所以 , 又因为点 B 与点 Q 关于原点对称,所以 ,即 , 则有 ,由点 在椭圆 上,得 ,所以 , 所以 ,即 ， 所以存在实数 ,使 成立 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线的斜率公式的应用,考查运算能力. 21.已知 （1）当 时，判断函数 的极值点的个数； （2）记 ，若存在实数 ，使直线 与函数 的图象交于不同的两 点 ，求证： ． 【答案】（1）没有极值点；（2）证明见解析 【解析】 M 2 2 16 4 x y+ = l 1y kx= + 2 2 1 16 4 y kx x y = + + = 2 2(2 3 ) 6 9 0k x kx+ + − = 1 1 2 2( , ), ( , )Q x y N x y 1 2 1 22 2 6 9,2 3 2 3 kx x x xk k + = − = −+ + 1 2 1 2 2 2,AQ AN y yk kx x + += = 2 2 2 21 2 1 2 1 2 Q 1 2 1 2 2 2 3 ( ) 9 2 2 3 2A AN y y k x x k x xk k k k kx x x x + + + + +⋅ = ⋅ = = + − − = − 1 1( , )B x y− − 1 1 2 AB yk x − += − 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 4 AQ AB y y yk k x x x + − + −⋅ = ⋅ =− − Q 2 2 : 16 4 x yC + = 2 2 1 1 24 3y x− = 2 3AQ ABk k⋅ = − 2 32 3 AQ ANAN AB AQ AB k kk k k k ⋅ −= = =⋅ − 3AN ABk k= 3λ = AN ABk kλ= 2( ) ( 0)kxf x kx e k−= + > 1 2x > ( )f x 2 1( ) ( ) ln 2g x f x x m x x = + − >   t y t= ( )g x 1 2( , ), ( , )A x t B x t 1 22m x x>【分析】 （1）求导可得 ,再求导可得 ,则 在 递增,则 ,从而 在 递增,即可判断； （2）转化问题为存在 且 ,使 ,可得 ,由（1）可知 ,即 ,则 ,整理可得 ,则 ,设 ,则可整理为 ,设 ,利用导函数可得 ,即可求证. 【详解】（1）当 时, , , 所以 在 递增,所以 , 所以 在 递增,所以函数 没有极值点. （2）由题, , 若存在实数 ,使直线 与函数 的图象交于不同的两点 ,即存在 且 ,使 . 由 可得 , , 由（1）可知 ,可得 ．, 所以 ,即 , ( ) (2 )kxf x k x e−′ = − ( ) (2 ) 0kxf x k ke−′′ = + > ( )f x′ 1 ,2  +∞   1( ) 02f x f  ′ ′> >   ( )f x 1 ,2  +∞   1 2 1, ,2x x  ∈ +∞   1 2x x< 1 2( ) ( )g x g x= 2 12 2 2 1 2 1(ln ln ) ( 1)( ) ( )kx kxm x x k x x e e− −− = + − + − 2 1( ) ( )f x f x> 2 1 2 2 2 1( )kx kxe e k x x− −− > − − 2 2 2 1 2 1(ln ln )m x x x x− > − 2 2 2 1 2 1 2 2ln x xm x x −> 2 2 1 2 2 1 1 1 2ln x x x x x x   −   > 2 1 1x sx = > 1 2ln 0s ss − − > 1( ) 2lnh s s ss = − − ( ) ( )1 0h s h> = 1 2x > ( ) (2 )kxf x k x e−′ = − ( ) (2 ) 0kxf x k ke−′′ = + > ( )f x′ 1 ,2  +∞   21( ) (1 ) 02 k f x f k e − ′ ′> = − >   ( )f x 1 ,2  +∞   ( )f x 2 2( ) ( ) ln ( 1) ln kxg x f x x m x k x m x e−= + − = + − + t y t= ( )g x 1 2( , ), ( , )A x t B x t 1 2 1, ,2x x  ∈ +∞   1 2x x< 1 2( ) ( )g x g x= 1 2( ) ( )g x g x= 2 12 2 2 1 2 1(ln ln ) ( 1)( ) ( )kx kxm x x k x x e e− −− = + − + − 1 2x x< 2 1( ) ( )f x f x> 2 1 2 2 2 1( )kx kxe e k x x− −− > − − 2 2 2 1 2 1(ln ln )m x x x x− > − 2 2 2 1 2 1 2 2ln x xm x x −>下面证明 ,只需证明： , 令 ,则证 ,即 ． 设 ,那么 , 所以 ,所以 ,即 【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证 能力. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第 一题计分． 【选修 4—4：坐标系与参数方程】 22.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出曲线 的极坐标方程； （2）点 是曲线 上的一点，试判断点 与曲线 的位置关系． 【答案】（1） （2）点 在曲线 外． 【解析】 【分析】 （1）先消参化曲线 的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程； （2）由点 是曲线 上的一点,利用 的范围判断 的范围,即可判断位置关系. 【详解】（1）由曲线 的参数方程为 可得曲线 的普通方程为 ,则曲线 的极 坐标方程为 ,即 2 2 2 1 1 2 2 1 2ln x x x xx x − > 2 2 1 2 2 1 1 1 2ln x x x x x x   −   > 2 1 1x sx = > 2 1 2ln s ss − > 1 2ln 0s ss − − > 1( ) 2lnh s s ss = − − 2 2 ( 1)( ) 0sh s s −′ = > ( ) (1) 0h s h> = 1 22 m x x> 1 22m x x> M 1 cos2 1 sin2 x y α α  =  = α x N 2 2 sin 2 ρ θ= − M A N A M 1 2 ρ = A M M A N sin 2θ ρ M 1 cos2 1 sin2 x y α α  =  = M 2 2 1 4x y+ = M 2 1 4 ρ = 1 2 ρ =（2）由题,点 是曲线 上的一点, 因为 ,所以 ,即 , 所以点 在曲线 外. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置 关系. 【选修 4—5：不等式选讲】 23.已知 ，且 ． （1）请给出 的一组值，使得 成立； （2）证明不等式 恒成立． 【答案】（1） （答案不唯一）（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）找到一组符合条件的值即可； （2）由 可得 ,整理可得 ,两边同除 可得 , 再由 可得 ,两边同时加 可得 ,即可得证. 【详解】解析:（1） （答案不唯一） （2）证明:由题意可知, ,因为 ,所以 . 所以 ,即 . 因为 ,所以 , 因为 ,所以 , 所以 . 【点睛】考查不等式 证明,考查不等式的性质的应用.的 A N [ ]sin 2 1,1θ ∈ − 2 ,23 ρ  ∈   1 2 ρ > A M 0,a b a c d> ≥ ≥ ≥ ab cd≥ , , ,a b c d 2( )a b c d+ +≥ a b c d+ +≥ 2, 1, 1, 1a b c d= = = = − a c d≥ ≥ ( )( ) 0a c a d− − ≥ 2 ( )a cd c d a+ +≥ a cda c da + +≥ ab cd≥ cdb a ≥ a cda b a a + ≥ + 2, 1, 1, 1a b c d= = = = − 0a ≠ a c d≥ ≥ ( )( ) 0a c a d− − ≥ 2 ( ) 0a c d a cd− + + ≥ 2 ( )a cd c d a+ +≥ 0a b> ≥ cda c da + +≥ ab cd≥ cdb a ≥ cda b a c da + + +≥ ≥