浙江十校
一、选择题
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合 或 ，从而求 再求 ．
【详解】解： 或 ，
，
，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法．
2.已知双曲线的上、下焦点分别为 ， ， 是双曲线上一点且 ，则双曲线
的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线的定义可得实轴长及半焦距，再由 ， ， 之间的关系求出 ，进而求出双曲线的方程．
【详解】解：由双曲线的定义可得 ， ，
即 ， ，
且焦点在 轴上，
所以双曲线的方程为： ，
故选：C．
{ }2| 3 4 0A x x x= − − > { }| 2 3B x x= − ≤ ≤ ( )R A B =
R [ ]1,3− [ ]2,1− [ ]2,4−
{ | 4A x x= > 1}x < − { | 1 4}R A x x= − ( ) { | 1 3}R A B x x= −
2{ | 3 4 0} { | 4A x x x x x= − − > = > 1}x < −
{ | 2 3}B x x= −
{ | 1 4}R A x x= −
( ) { | 1 3}R A B x x= −
( )1 0, 3F − ( )2 0,3F P 1 2 4PF PF− =
2 2
14 5
x y− =
2 2
15 4
x y− =
2 2
14 5
y x− =
2 2
15 4
y x− =
a b c b
3c = 2 4a =
2a = 2 2 2 9 4 5b c a= − = − =
y
2 2
14 5
y x− =【点睛】本题考查根据双曲线的定义求标准方程，属于基础题．
3.已知两非零复数 ，若 ，则一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
利用排除法：
当 时， ，而 ，选项 A 错误，
，选项 B 错误，
当 时， ，而 ，选项 C 错误，
本题选择 D 选项.
4.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值不等式的性质和特殊值法，判断即可．
【详解】解： ，
因为 ，
所以 ，
故后者能推出前者，
反之，比如 ， ，推不出后者，
故为必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断以及绝对值不等式的性质．
5.某几何体的三视图如图所示（单位： ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位： ）
.
1 2,z z 1 2 Rz z ∈
1 2 Rz z ∈ 1
2
Rz
z
∈
1 2 Rz z+ ∈ 1
2
Rz
z
∈
1 21 , 1z i z i= + = − 1 2z z R∈ ( )2
1 2 1 2z z i i R= + = ∉
1
2
1
1
z i i Rz i
+= = ∉−
1 21 , 2 2z i z i= + = − 1 2z z R∈ 1 2 3z z i R+ = − ∉
,a b∈R 1a ≤ 1a b b− + ≤
| | | | | |a b b a b b a− + − + =
| | | | 1a b b− +
| | 1a
1a = 3b =
cm 3cm是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥， .
故选：B.
6.已知函数 ，则 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律，代入特殊值判断，即可得到答案．
【详解】解： 函数 ，
，
为奇函数，故图象关于原点对称，故排除 和 ，
，
4 3 10 33 2 3 8 33
1 104 3 2 3 33 3V = − ⋅ ⋅ =
( )
2 sin 62
4 1
x
x
x
f x
π ⋅ + = −
( )f x
2 sin( 6 ) 2 cos62( ) 4 1 4 1
x
x
x x
x xf x
π +
= =− −
2 cos( 6 ) 2 cos6( ) ( )4 1 4 1
x x
x x
x xf x f x
−
−
−∴ − = = − = −− −
( )f x∴ B D
2 sin( 6 ) 2 cos62( ) 4 1 4 1
x
x
x x
x xf x
π +
= =− −可知当 ，即 时，
当 时， 时， ，从左到右 第一个零点为 ，
因为 ，取 ，得 ，则 选项正确.
故选：C.
点睛】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，零点等排除.
7.设 ，相互独立的两个随机变量 ， 的分布列如下表：
-1 1 -1 1
则当 在 内增大时（ ）
A. 减小， 增大 B. 减小， 减小
C. 增大， 增大 D. 增大， 减小
【答案】D
【解析】
【分析】
求 出 ， ， 从 而 ， ， ， 从 而
，由此得到当 在 内增大时， 增大， 减
小．
【详解】解： ，
，
，
，
，
【
6 2x k
π π= +
12x k
π π= + ( ) 0f x =
0x >
12x
π= ( ) 0f x = ( )f x 12
π
0 24 12
π π< <
24x
π= ( ) 0f x > C
1 12 p< < ξ η
ξ η
P 2
3
1
3 P 1 p− p
p 1 ,12
( )E ξ η+ ( )D ξ η+ ( )E ξ η+ ( )D ξ η+
( )E ξ η+ ( )D ξ η+ ( )E ξ η+ ( )D ξ η+
1( ) 3E ξ = − ( ) 2 1E pη = − 4( ) 2 3E pξ η+ = − 8( ) 9D ξ = 2( ) 4 4D p pη = −
2 28 1 17( ) 4 4 4( )9 2 9D p p pξ η+ = − + = − − + p 1( ,1)2
( )E ξ η+ ( )D ξ η+
1 12 p< <
2 1 1( ) 3 3 3E ξ = − + = −
( ) 1 2 1E p p pη = − + = −
4( ) 2 3E pξ η+ = −
2 21 2 1 1 8( ) ( 1 ) (1 )3 3 3 3 9D ξ = − + × + + × =，
，
当 在 内增大时， 增大， 减小，
故选：D．
【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力．
8.如图，矩形 中， ， ， 为 的中点， 沿着 向上翻折，使点 到
.若 在平面 上的投影 落在梯形 内部（不含边界），设二面角 的大小为
，直线 ， 与平面 所成角分别为 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作出图象，根据空间角定义可得 ， ， ，结合 ，即可得
出结论．
【详解】解：由 ，
可知， ，作 中点 ，
则 ，
故 在线段 上，
作 交 于 ，连接 ， ， ，如图，
2 2 2( ) ( 2 ) (1 ) (2 2 ) 4 4D p p p p p pη = − − + − = −
2 28 1 17( ) 4 4 4( )9 2 9D p p pξ η+ = − + = − − +
∴ p 1( ,1)2
( )E ξ η+ ( )D ξ η+
ABCD 4AB = 2AD = E CD ADE∆ AE D
'D 'D ABCD H ABCE 'D BC E− −
α 'D C 'D B ABC β γ
α β γ< < β α γ< < β γ α< < γ β α< <
tan D H
HM
α ′= tan D H
HC
β ′= tan D H
HB
γ ′= HM HB HC< <
2 4AB AD= =
DE DA= AB P
DP AE⊥
H DP
D M BC′ ⊥ BC M HM HB HC易知， ， ， ，
又 ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查空间角的综合运用，考查逻辑推理能力以及空间想象能力．
9.已知 ，给出下列命题：
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④若 ，则 .
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
①若 ，则 ，然后两边平方，再通过作差法即可得解；
②若 ，则 ，然后利用立方差公式可知 ，再结合 以及不等
式的性质即可判断；
③若 ，则 ，再利用 ，得出 ，从而求得 的范围，进而判断；
④取特殊值， ， 即可判断．
【详解】解：①若 ，
则 ，
所以 ，
tan D H
HM
α ′= tan D H
HC
β ′= tan D H
HB
γ ′=
HM HB HC< <
β γ α∴ < <
0a b> >
1a b− = 1a b− < 3 3 1a b− = 1a b− <
1a be e− = 1a b− < ln ln 1a b− = 1a b− <
1a b− = 1a b= +
3 3 1a b− = 3 31a b− = 2 3( 1)( 1)a a a b− + + = 0a b> >
1a be e− = 1 1 1
a b
a b
b b b
e ee e e e
− += = = + 0b > 1be > a be −
a e= 1b =
1a b− =
1a b= +
1 2a b b= + +所以 ，即①错误；
若 ，
则 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以②正确；
若 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即③正确；
④取 ， ，满足 ，
但 ，所以④错误；
所以真命题有②③，
故选：B．
【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，
考查学生的分析能力和运算能力．
10.已知数列 的各项都是正数且满足 ， 是数列 的前 项和，则
下列选项中错误的一项是（ ）
A. 若 单调递增，则 ；
B. 若 ，则 ；
C. 若 ，则
D. 若 ，则 .
【答案】D
【解析】
1 2 1a b b− = + >
3 3 1a b− =
3 31a b− =
2 3( 1)( 1)a a a b− + + =
0a b> >
2 2a b>
2 21a a b+ + >
1a b− < 1a b− <
1a be e− =
1 1 1
a b
a b
b b b
e ee e e e
− += = = +
0b > 1 2a be e−< < <
1a b− <
a e= 1b = 1lna lnb− =
1a b− >
{ }na ( )2 *
12 3 , 2n n na a a n N n−− = ∈ ≥ nS { }na n
{ }na 10 2a< <
1 1a = 3
4
32 2a< <
1 2a ≠ ( )( ) ( ) ( )1
2 3
22 1 2 1 2 1 22n
n
aa a a na
−+ + + = ≥−
1 3a = ( )3 3 1
4n
nS
+≥【分析】
由数列递增可得 ，结合数列的递推式，解不等式可判断 ；分别求得 ， ，比较可判断 ；由
数列的递推式可得 ，由累乘法可判断 ；求得 ， ，可判断 ．
【详解】解：数列 的各项都是正数且满足 ， ，
若 单调递增，可得 ，
即为 ，
可得 ， 且 ，
由 ，
可得 ，故 正确；
若 ，
可得 ，
解得 （负值已舍去），
由 ， ，
，
而 在 ， 的范围是 ， ，
而 ，
则 ， ，
故方程 的解在 ， 内，故 正确；
由 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
可得 ，
故 正确；
1n na a −> A 2a 3a B
1 22 1 2
n
n
n
aa a
− −+ = − C 2a 2S D
{ }na 2 *
12 3 (n n na a a n N−− = ∈ 2)n
{ }na 1n na a −>
2
1 4 2 0n n n na a a a−− = − >
0 2na< < ( 2n
*)n N∈
1 2a a<
10 2a< < A
1 1a =
2
2 2 12 3 1a a a− = =
2
3 17
4a
+=
2
3 3 2
3 172 3 4a a a
+− = = (*)
3 17 (1.75,1.8)4
+ ∈
2 2
3 3 3
3 92 3 2( )4 8a a a− = − − 3
4(2 2) 3
4(4 2 3 2− × 2)
3
42 2 2< <
3
44 2 3 2 (4 2 6− × ∈ − 2)
(*) 3
4(2 2) B
2
12 3n n na a a −− =
2
12 3 2 2n n na a a −− − = −
1(2 1)( 2) 2n n na a a −+ − = −
1 22 1 2
n
n
n
aa a
− −+ = −
11 2 1
2 3 1
2 3
22 2 2(2 1)(2 1) (2 1) ( 2)2 2 2 2
n
n
n n
aa a aa a a aa a a a
− −− − −+ + … + = … = ≠− − − −
C若 ，可得 ，
解得 ， ，
由 ， ，
可得 ，故 错误．
故选：D．
【点睛】本题考查数列的递推公式的运用，考查数列中的项的范围和单调性，以及数列的求和，考查化简
运算能力、推理能力．
二、填空题
11.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学 骄傲，后人称
之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直
角三角形中较小的锐角记为 ，大正方形的面积为 25，小正方形的面积为 1，则 ______，
______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
直接利用三角形的全等，整理出关于一元二次方程，进一步利用关系式的应用求出三角函数的值．
详解】解：根据已知条件四个直角三角形全等，
所以设直角三角形的短的直角边长为 ，
则较长的直角边长为 ，
所以 ，
整理得 ，
的
【
1 3a = 2
2 2 12 3 3a a a− = =
2
3 33
4a
+= 2
3 333 4S
+= +
3 (3 2 1) 21
4 4
× × + = 3 33 21 33 63 04 4 4
+ −+ − = <
2
3 (3 2 1)
4S
× × +< D
α sinα =
sin cos2 2
α α+ =
3
5
2 10
5
x
1x +
2 2 2( 1) 5x x+ + =
2 12 0x x+ − =解得： 或 （负值舍去），
所以 ．
．
故答案为：① ；② ．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，二倍角的正弦公式，一元二次方程的解法和应用，
主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
12.已知直线 ： 被圆 ： 截得的弦长为 ，则 ______，圆 上到直线
的的距离为 1 的点有______个.
【答案】 (1). (2). 3
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 的距离 ，再根据弦长公式求出 ，解方程求得 值，
【详解】解：由题意得：圆心 ，
则圆心到直线 的距离 ，
解得 ；
因为 ， ，
则圆 上到直线 的距离为 1 的点应有 3 个.
故答案为： ；3．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式的应用.
13.（1）若二项式 的展开式中存在常数项，则 的最小值为______；
（2）从 6 名志愿者中选出 4 人，分别参加两项公益活动，每项活动至少 1 人，则不同安排方案的种数为
____.（用数字作答）
【答案】 (1). 3 (2). 210
【解析】
【分析】
（1）根据二项式展开式的通项公式，令 的指数等于 0，求出 、 的关系，即可求出 的最小值；
3x = 4−
3sin 5
α =
2 3 2 10sin cos (sin cos ) 1 sin 12 2 2 2 5 5
α α α α α+ = + = + = + =
3
5
2 10
5
l y kx= C ( ) ( )2 21 2 4x y− + + = 2 3 k = C l
3
4
−
1l d d k
(1, 2)C −
l 2
2
| 2 | 4 ( 3)
1
kd
k
+= = −
+
3
4k = −
1d = 2r =
C l
3
4
−
( )*2 n
x n N
x
− ∈
n
x n r n（2）根据题意，分 2 步进行分析：①，从 6 名志愿者中选出 4 人，②，将选出的 4 人分成 2 组，分别参加
两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】解：（1） 的展开式中通项公式为：
，
令 ，
解得 ，
其中 ，1，2， ， ，
当 时， ，
所以 的最小值为 3．
（2）根据题意，分 2 步进行分析：
①从 6 名志愿者中选出 4 人，有 种选法，
②将选出的 4 人分成 2 组，分别参加两项公益活动，有 种情况，
则有 种不同的安排方案，
故答案为：3，210．
【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的特定项问题，以及分步计数原理的应用，涉及排
列、组合公式的应用．
14.如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则
______，点 为边 上一点，且 ，则 的面积为______.
【答案】 (1). (2). 10
【解析】
【分析】
由已知结合正弦定理可求 ，然后结合二倍角关系可求 ，结合三角形的面积公式及等高三角形的
面积比可转化为底的比可求．
*2( ) ( )nx n N
x
− ∈
3
2
1
2( ) ( 2) n rr n r r r r
r n nT x x
x
−−
+ = − = −
3 02n r− =
3
2n r=
0r = … n
2r = 3n =
n
4
6 15C =
42 2 14− =
15 14 210× =
ABC∆ A B C a b c 4 5b = 5c = 2B C= cosC =
D BC 6BD = ADC∆
2 5
5
cosC sin B【详解】解：因为 ， ， ，
由正弦定理可得： ，
所以 ，
则 ； ，
，
由余弦定理可得： ，
解可得 （舍 或 ，
所以 ，
．
故答案为： ，10．
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用．
15.已知 是椭圆 ： 的左焦点， ， 是椭圆 上的两个相异动点，若 中点的横坐标为 1，
则 到直线 距离的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论，由于同一点对称性设斜率大于 0，与椭圆联立求出两根之和，
再由 的中点的横坐标求出参数之间的关系，由点到直线的距离公式求出 到直线 距离．令参数部
分为函数，求导，由函数的单调性求出函数的最大值，进而求出 到直线 的最小值．
【详解】解：由题意的方程可得： ，
若直线 的斜率不存在时，
则由题意可得 的方程为： ，
这时 到直线 的距离为 2，
当直线 的斜率存在且不会为 0 时，
4 5b = 5c = 2B C=
sin sin
b c
B C
=
4 5 5 4 5
sin 2 sin 2sin cosC C C C
= =
2 5cos 5C = 2 5 5 4sin 2sin cos 2 5 5 5B C C= = × × =
1 45 6 122 5ABDS∆∴ = × × × =
22 5 80 25cos 5 8 5
aC
a
+ −= =
5a = ) 11a =
6
5
ABD
ADC
S BD
S CD
∆
∆
= =
5 12 106ADCS∆∴ = × =
2 5
5
F C
2 2
14 3
x y+ = A B C AB
F AB
15
2
AB
AB F AB
F AB
( 1,0)F −
AB
AB 1x =
F AB
AB由题意的对称性设 ，
设方程为 ， ， ， ， ，
联立直线与椭圆的方程可得： ，
整理可得： ，
△ ，
即 ， ， ，
因为 中点的横坐标为 1，
所以 ，
即
所以 到直线 的距离
令 ， ，
，
当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
所以 时 最大，
且 ，
所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，点到直线的距离公式的应用和利用导数去研究函数的
0k >
y kx b= + 1(A x 1)y 2(B x 2 )y
2 23 4 12 0
y kx b
x y
= +
+ − =
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kbx b+ + + − =
2 2 2 264 4 (3 4 )(4 12) 0k b k b= − + − >
2 23 3b k< + 1 2 2
8
3 4
kbx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
bx x k
−= +
AB
2
8 23 4
kb
k
− =+
23 4
4
kb k
+= −
F AB
2
2
2 2 4 2
3 4| || | 3 84
1 1 4
k kb k kkd
k k k k
+− −− += = =
+ + +
4 2 4 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 64 48 9 1 64( ) 16 9 1 16 9644 4 4
k k k k k k
k k k k k k
+ + + − + −= = = −+ + +
2
4 2
16 9( ) kg k k k
−= + 0k >
4 2 2 3 2 2
4 2 2 4 2 2
16 ( ) (16 9)(4 2 ) 2 (2 3)(8 3)( ) ( ) ( )
k k k k k k k k kg k k k k k
+ − − + − − +′ = =+ +
60 2k< < ( ) 0g k′ > ( )g k
6
2k > ( ) 0g k′ < ( )g k
(0, )∈ +∞ 6( )2g
316 96 2( ) 49 32
4 2
g
−
= =
+
1 1564 4 24 2d = − = <
15
2单调性和最值．
16.已知向量 ， 满足 ，且 ，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 和 ，求得 和 的值，以及 的取值范围，再求 的取值范围，即可得
出 的取值范围．
【详解】解：由 ，
得 ，①
又 ，
得 ，②
由①②得 ， ，
且 ，
即 ，
，
，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力．
17.已知函数 ，若函数 有三个互不相同的零点 0， ， ，其中
，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的最小值为______.
【答案】
【解析】
a b 2 1a b+ = ( ) 1a a b⋅ − = a b−
13 1 13 1,2 2
− +
| 2 | 1a b+ = ( ) 1a a b− = 2a a b 2b 2( )a b−
| |a b−
| 2 | 1a b+ =
2 24 4 1a a b b+ + =
( ) 1a a b− =
2 1a a b− =
2 21 (5 )8a b= − 21 ( 3 )8a b b= − −
| | | || |a b a b
2 21 1(3 ) (5 ) | |8 8b b b+ − ×
4 29 34 9 0b b− +
217 4 13 17 4 13
9 9b
− +
2 2 2 2 2 2 21 1 9 11( ) 2 (5 ) ( 3 )8 4 8 8a b a a b b b b b b− = − + = − − − − + = +
214 2 13 9 11 14 2 13
4 8 8 4b
− ++
| |a b− 13 1[ 2
− 13 1]2
+
13 1[ 2
− 13 1]2
+
( ) ( )3 23 0,f x x x ax a a R= − + < ∈ ( )f x 1t 2t
1 2t t< [ ]1 2,x t t∈ ( ) 14f x a≤ + a
9−【分析】
由题意可知， ， 是 的根，且 ， ，从而可知 ， ，然后
结合导数可求 ，而原题可转化为 ，代入解不等式可求．
【详解】解：因为 ，
由题意可知： ， 是 的根，
则 ， ，△ ，
， ，
当 时， ，
则存在 的极大值点 ， ，
且 ，
由题意， ，
将 代入得 ，
解可得 ．
又因为 ，
结合二次函数的性质可知， ，
得 即 的最小值 ．
故答案为： .
【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知
识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想．
三、解答题
18.已知函数 的图像如图所示.
1t 2t 2 3 0x x a− + = 1 2 3t t+ = 1 2 0t t a= − 2 1 2 1sin sinx x x x− > −
( )2 1ln ln2
m x x− ( ) ( )2 1 2 1 2 1
1 1sin sin2 2x x x x x x= − − − > −
2 1
2 1ln ln
x xm x x
−> −
2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− >−
2
1
xt x
= 1t > 1
ln
t tt
− > 1ln 0tt
t
−− <
1( ) ln th t t
t
−= − ( )2
1
( ) 0
2
t
h t
t t
−
′ = − < ( )h t (1, )+∞
1t > ( ) (1) 0h t h< = 2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− >−
1 2m x x> 2
1 2x x m
微信/支付宝扫码支付