2020年4月高考数学（天津卷）大数据精选模拟卷（解析版）

1 2020 年 4 月高考大数据精选模拟卷 01 数学（天津卷） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 1．（5 分）已知集合 A={x|x＞2}，B={x|（x-1）（x-3）＜0}，则 A∩B=（ ） A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2 或 x＜3} 【答案】B 【解析】由已知得 B={x|1＜x＜3}，则 A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B. 2．（5 分）“x = 0”是“sinx = ―x”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增 所以若 ，则 所以 是 充分必要条件 故答案选 . 3．（5 分）已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项 A． B． C． D． ( ) sinf x x x= + (0) 0f = ( ) 1 cos 0f x x′ = + ≥ ( )f x R ( ) 0f x = 0x = 0x = sin x x= − C { }na 1 1a = 1 1 1 4 ( )n n n n Na a ∗ + − = ∈ { }na na = 3 4 1n − 4 3 1n − 4 1 3 n − 3 1 4 n −2 【答案】A 【解析】由题意，因为 ， 所以当 时， . 当 时， 也成立，所以数列 的通项 . 故选 A. 4．（5 分）下列说法错误的是 A．若扇形的半径为 6cm,所对的弧长为 cm,则这个扇形的面积是 cm2 B．函数 的图象上离坐标原点最近的对称中心坐标是 C．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 ,若 ,则三角形有两解 D．若 ,则 的值为 【答案】B 【解析】A.由扇形的面积公式可得 cm2,故 A 正确;B.由 可得 ,令 k=0 可得函数 的图象上离坐标原点最近的对称中心坐标是 ,故 B 错误;C.由正弦定理可得 ,且 a>b,所以角 B 的值为两个,一个锐角一个 钝角,故 C 正确;D.因为 ,所以 ,则 ,故 B 正确. 5．（5 分）若均不为 1 的实数 、 满足 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 当 时 ; 当 时 ; 当 时 ; ( )* 1 1 1 4n n n na a+ − = ∈N 2n ≥ 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n na a a a a a a a− − −      = − + − + + − +            1 2 1 4 4 14 4 4 1 1 4 3 n n n n− − − −= + + + + = =− 1n = 1 1 1a = { }na 3 4 1n na = − 2π 6π ( ) 1 πsin 22 3f x x = −   π ,03  −   , ,a b c 9 , 5, 302a b A °= = = sin 2cosα α= 2sin cos cosα α α− 1 5 1 6 2π 6π2 × × = π2 π3x k− = π π ,2 6 kx k Z= + ∈ ( ) 1 πsin 22 3f x x = −   π ,06      sin 5 1sin 9 2 b AB a = = > sin 2cosα α= tan 2α = 2 2 tan 1 1sin cos cos tan 1 5 αα α α α −− = =+ a b 0a b> > 1ab > log 3 log 3a b > 3 3 6a b+ > 13 3ab a b+ +> b aa b> 9, 3a b= = log 3 log 3a b < 2, 1a b= = 13 3ab a b+ += 4, 2a b= = b aa b=3 因为 ， ，所以 ， 综上选 B. 6．（5 分）设 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，若线段 的中点在 轴上， ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 设线段 的中点为点 ，连接 ，则 轴， 、 分别为 、 的中点， ，所以， 轴， 设 ， ，则 ， ， 由椭圆的定义可得 ，因此，该椭圆的离心率为 . 故选：A. 7．（5 分）某英语初学者在拼写单词“ ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“ ”、“ ”、 “ ”三个字母组成并且“ ”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼 写正确的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】满足题意的字母组合有四种，分别是 ， ， ， ，拼写正确的组合只有一种 ， 0a b> > 1ab > 23 3 2 3 3 2 3 2 3 6a b a b a b ab++ > = > > 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > P C 1PF y 1 2 30PF F∠ =  3 3 3 6 1 2 1 6 1PF M 2PF OM x⊥ O M 1 2F F 1PF 2//OM PF∴ 2PF x⊥ ( )2 0PF t t= > 1 2 30PF F∠ =  1 2PF t= 2 2 1 2 1 22 3c F F PF PF t= = − = 1 22 3a PF PF t= + = 2 3 2 3 ce a = = steak a e k k 1 6 1 4 1 3 1 2 eka ake eak aek eak4 所以概率为 . 故选 B. 8．（5 分）已知函数 ， 为 的导函数，则 （ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，∴ 为偶函数，∴ ， ∴ ． 9．（5 分）在 中, , 是 的内心,若 ,其中 ,动点 的轨迹所覆盖的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，根据题意知，P 点在以 BP，BD 为邻边的平行四边形内部， ∴动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2S△AOB； 在△ABC 中，cos ，AC=6，BC=7； ∴由余弦定理得， ； 解得：AB=5，或 AB= （舍去）； 又 O 为△ABC 的内心； 所以内切圆半径 r= , 所以 ∴ = = ； ∴动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 ． 1 4p = 3( ) sin 4( , )f x a x bx a b= + + ∈ ∈R R ( )f x′ ( )f x (2016) ( 2016) (2017) ( 2017)f f f f′ ′+ − + − − = 0 2016 2017 8 ( ) 23f x acosx bx+′ = ( )f x′ ( ) ( )2017 2017f f′ ′= − ( ) ( ) ( ) ( )2016 2016 2017 2017f f f f′ ′+ − + − − ( ) ( )33sin2016 2016 4 sin 2016 2016 4 0 8a b a b= + ⋅ + + − + ⋅ − + + = ABC∆ 16, 7,cos 5AC BC A= = = O ABC∆ OP xOA yOB= +   0 1,1 2x y≤ ≤ ≤ ≤ P 10 63 5 63 10 3 20 3 1 5BAC∠ = 21 36 49 5 2 6 AB AB + −= ⋅ 13 5 − 2 ABCS a b c ∆ + + 1 r2AOBs AB∆ = ⋅ ⋅ 5 5 6 7AOB ABCS S= ⋅+ +  5 1 25 15 6 118 2 6 25sin BAC⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ − 5 6 3 10 6 35 故答案为：A． 二、 填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 10．（5 分）若 则 _________． 【答案】27 【解析】 , •（﹣1）4＝﹣8+35=27， 故答案为 27． 11．（5 分）圆 上到直线 的距离等于 1 的点有_______个. 【答案】3 【解析】 是一个以 为圆心， 为半径的圆．圆心到 的距离 为 ，所以作与直线 距离为 的直线，会发现这样的直线有两 条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交 点，所以圆上共有三个点与直线距离为 ． 12．（5 分）制作一个容积为 的正方形底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为_________. 【答案】4 【解析】设该容器的高为 ，由题意可得：底面边长为： ， 因此制作该水箱，共需要材料 ，当且仅当 ，即 时，取得最小值. 故答案为： 4 7 2 7 0 1 2 7( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ,x x a a x a x a x+ + = + + + + + + + 3a = ( ) [ ] [ ]4 774 1 2 2 2 1x x x x+ + = + + +（ ) - （ ) - ( ) ( ) ( )2 7 0 1 2 72 2 2a a x a x a x= + + + + + + + ( )1 4 3 4 72a C C= +﹣ ( ) ( )2 23 3 9x y− + − = 3 4 11 0x y+ − = ( ) ( )2 23 3 9x y− + − = 3 4 11 0x y+ − = 3 4 11 0x y+ − = 3256m x 256 16 x x = 16 256 256 2564 64 32 32x x x xx x xx ⋅ ⋅ + = + = + + 33 32 32 256 192≥ ⋅ ⋅ = 25632 x x = 4x = 46 13．（5 分）已知函数 满足 ，当 时， 的值为 __________． 【答案】 【解析】因为 ，所有 ，故函数的周期为 4，所以 ，故填 . 14．（5 分）设复数 若 则 的 最小值为_________. 【答案】 【解析】因为 则 设 由参数方程可知,动点 P 的轨迹方程为 所以 表示点 A 与点 B 到圆 上任意一点的距离之和 设直线 的方程为 ,代入 可得 ,解方程可得 所以直线 的方程为 圆心 到直线 的距离为 因为 所以直线 与圆相切,设切点为 M ( )f x ( ) ( ) ( ) 11 1 f xf x f x ++ = − ( )1 2f = ( ) ( )8 9f f+ 7 3 1 ( +1) 1( 2) =1 ( +1) ) f xf x f x f x ++ = −− （ 1( 4) ( )( 2)f x f xf x + = − =+ 1 7(8) (9)= (4) (1) 2 3 3f f f f+ + = + = 7 3 1 21 3 3z i z i= − − = +， ， ( )2 sin 2 cos 2z i Rθ θ θ= + + ∈， ， 1 2z z z z− + − 4 2 1 21 3 3z i z i= − − = +， ， ( )2 sin 2 cos 2z iθ θ= + + 1 2z z z z− + − ( ) ( ) ( ) ( )2 sin 1 2 cos 3 2 sin 3 2 cos 1i iθ θ θ θ= + + + + − + − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 sin 1 2 cos 3 2 sin 3 2 cos 1θ θ θ θ= + + + + − + − ( ) ( ) ( )1, 3 , 3,1 , 2 sin , 2 cosP RA B θ θ θ− − ∈， ， 2 2 2x y+ = 1 2z z z z− + − 2 2 2x y+ = AB y kx b= + ( ) ( )1, 3 , 3,1A B− − 3 1 3 k b k b − = − +  = + 1 2 k b =  = − AB 2 0x y− − = ( )0,0 AB 2 2 2 2 1 1 d −= = + 2d r= = AB7 则当 P 与 M 重合时, 取得最小值 所以 故答案为 15．（5 分）如图，已知三棱锥 中，AD，BD，CD 两两垂直， ， ，E，F 分别为 AC，BC 的中点，则点 C 到平面 DEF 的距离为_________． 【答案】 【解析】原题如图所示： 两两互相垂直 平面 又 为 中点 到底面 距离为 ， ， 为 中点 ， ， 在 中，根据余弦定理可知： AP BP+ ( )1 2 minz z z z AP BP AB− + − = + = ( ) ( )2 23 1 1 3 4 2= + + + = 4 2 A BCD− 1AD BD= = 3CD = 21 7 , ,AD BD CD AD∴ ⊥ BCD E AC E⇒ BCD 1 1 2 2AD = 1AD = 3CD = AD CD⊥ 2AC⇒ = 1 12DE AC⇒ = = ,E F ,AC BC 2 21 1 2 2 2 2EF AB AD DB⇒ = = + = 1BD = 3CD = BD CD⊥ 2BC⇒ = 1 12DF BC⇒ = = DEF∆ 11 1 32cos 2 1 1 4EDF + − ∠ = =× × 7sin 4EDF⇒ ∠ =8 设 到平面 距离为 则 即 本题正确结果： 三、 解答题：本小题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（14 分）高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： .其中 a，b，c 成等差数列 且 .物理成绩统计如表.（说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分） 分组 频数 6 9 20 10 5 （1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； （3）若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于 90 分的为“优”，已知本班中至少有一个“优” 同学总数为 6 人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取 2 人，求两人恰好均为物理成绩“优”的概率. 【答案】（1） （分）；（2）75 分；（3） . 【解析】（1）由于 ， 解得 ， 1 7sin2 8DEFS DE DF EDF∆∴ = × × × ∠ = C DEF h 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 3 2 2 12 2 24C DEF E CDF CDF BCDV V S S− − ∆ ∆= = × = × × = × = 1 1 7 3 3 3 8 24DEFS h h∆ ⋅ = × = 21 7h⇒ = 21 7 9[80, 0) , [90,100), [100,110), [110,120), [120,130), [130,140), [140,150] 2c a= [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 117.8 1 2P = 2 0.052,a b c+ + = 2 ,a c b+ = 2c a= 0.008,a = 0.012,b = 0.016c =9 故数学成绩的平均分 （分）， （2）由表知，物理成绩的中位数为 75 分. （3）数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”有 5 人， 因为至少有一个“优”的同学总数为 6 名同学，故两科均为“优”的人数为 3 人. 设两科均为“优”的同学为 ，物理成绩不是“优”的同学为 B， 则从 4 人中随机抽取 2 人的所有情况有： ， 符合题意的情况有： ， 故两人恰好均为物理成绩“优”的概率 . 17．（14 分）如图 1，AB 为圆 O 的直径，D 为圆周上异于 A，B 的点，PB 垂直于圆 O 所在的平面，BE⊥ PA，BF⊥PD，垂足分别为 E，F。已知 AB＝BP＝2，直线 PD 与平面 ABD 所成角的正切值为 （I）求证：BF⊥平面 PAD （II）求三棱锥 E－ABD 的体积 （III）在图 2 中，作出平面 BEF 与平面 ABD 的交线，并求平面 BEF 与平面 ABD 所成锐二面角的大小、 【答案】（I）详见解析（II） （III） 【解析】（1）证明：∵ 为圆 的直径， 为圆周上一点. （1 分） ∵ 平面 85 0.04 95 0.12 105 0.16 115 0.2 125 0.24 135 0.16 145 0.08x = × + × + × + × + × + × + × 117.8= 1 2 3, ,A A A 1 2 ,A A 1 3,A A 2 3,A A 1 ,A B 2 ,A B 3A B 1 2 ,A A 1 3,A A 2 3A A 3 1 6 2P = = 2 1 3 4 π AB O D BDAD ⊥∴ ⊥PB ABD10 （2 分） 又∵ 平面 PBD ∵ 平面 又∵ 平面 （2）解：∵ 平面 是直线 与平面 所成的角. 在 中，可得 在 中， ， ， 可得 ∵ ∴ 是 的中点. ∵ 平面 三棱锥 的高 ∴ （3）连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ，则 为平面 与 的交线。 在 中， 在 中， ∴ ∵ 面 .∴ 在 中，可求得 .∴ . 又∵ ∴ ADPB ⊥∴ BPBBD =∩ ⊥∴ AD ⊂BF PBD BFAD ⊥∴ DPDADPDBF =∩⊥ , ⊥∴BF PAD ⊥PB ABD PDB∠∴ PD ABD 2tan =∠∴ PDB PBDRt∆ 2=DB ABDRt∆ o90=∠ADB 2=AB 2=BD 1222 1,2 =××=∴= ∆ADBSAD PABEBPAB ⊥== ,2 E PA ⊥PB ABD ∴ ABDE − 12 1 == PBh 1 1 11 13 3 3E ABD ABDV S h− ∆= = × × = EF AD G BG BG BEF ABD PBDRt∆ 3 62,3 6,3 32,2,2 ===== PFDFBFPBBD PBARt∆ PABEBPAB ⊥== ,2 2,2 == PEBE ⊥BF PAD EFBF ⊥ EFB∆ 3 6=EF PEEF ⊥ ADPD ⊥ DGFD ⊥11 ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ 面 ∴ ∴ 面 ∴ ∴ 是平面 与平面 所成锐二面角的平面角 即 18．（16 分）若函数 ，在点 处的斜率为 ． （1）求实数 的值； （2）求函数 在区间 上的最大值． 【答案】（1）1（2） 【解析】（1） ，∴ ，即 ，解得 ； 实数 的值为 1； （2） 为递增函数，∴ ， ， 存在 ，使得 ，所以 ， ，∴ ． 19．（15 分）已知数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求证：数列 的前 项和 . 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析 【解析】（1）当 时， ， 所以 ，解得 ， GDFRtPEFRt ∆≅∆ 2DG PE AD BD= = = = ADBD ⊥ 2 π=∠ABG ⊥PB ABD PBBG ⊥ ⊥BG PAB BEBG ⊥ ABE∠ BEF ABD 4 π=∠ABE 2( ) xf x e x mx= + − (1, (1))f 1e + m ( )f x [ 1,1]− e '( ) 2xf x e x m= + − '(1) 2f e m= + − 2 1e m e+ − = + 1m = m '( ) 2 1xf x e x= + − '(1) 1 0f e= + > 1'( 1) 3 0f e−− = − < 0 [ 1,1]x ∈ − 0'( ) 0f x = max( ) max{ ( 1), (1)}f x f f= − 1( 1) 2 (1)f e f e−− = + = max( ) (1)f x f e= = { }na ( ) ( )1 * 1 23 5 2 1 3n na a n a n n++ + + + = ⋅ ∈N { }na ( ) 3 1 2 logn n b n a = + { }nb n 3 4nT < 3n na = *Nn∈ 2n ≥ ( ) ( )1 2 13 5 2 1 1 3n na a n a n−+ + + − = − ⋅ ( ) ( )12 1 3 1 3n n nn a n n+ −+ = ⋅ − ⋅ 3n na =12 当 时， ，即 ，满足 ， 所以数列 的通项公式为 ， . （2） ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 . 20．（16 分）已知点 ， ，动点 满足 ． (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)设点 为轨迹 上异于原点 的两点，且 ． ①若 为常数，求证：直线 过定点 ； ②求轨迹 上任意一点 到①中的点 距离的最小值． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】(1)设 ，则 ， ， ， 由 ，得 ，化简得 ， 故动点 的轨迹 的方程为 . (2)①设 ，则 ，所以 . 设直线 的方程为 ，代入 得 ， 从而 ，即 ，故直线 的方程为 ， 所以直线 过定点 . ②设 ，则点 到点 的距离 满足： 1n = 1 23 3a = 1 3a = 3n na = { }na 3n na = *Nn∈ ( ) ( )3 1 1 1 1 1 2 log 3 2 2 2n nb n n n n n  = = = − + + +  1 2 3n nT b b b b= + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 12 1 2 1 1 n n n n        + − + − + − + −          − + +      = −      1 1 1 1 3 1 1 112 2 1 2 4 2 1 2n n n n    = + − − = − +   + + + +    1 1 01 2n n + >+ + 3 1 1 1 3 4 2 1 2 4n n  − + a AB M C Q M 2 4y x= ( ),P x y ( )1,AP x y= + ( )1,FP x y= − ( )2,0AF = 2AP AF FP⋅ =   ( ) ( )2 22 1 2 1x x y+ = − + 2 4y x= P C 2 4y x= ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y， 1 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 16 4 4 4 OA OB y y y yk k y yx x y y a ⋅ = = = = − ⋅ 1 2 4y y a⋅ = − AB x my n= + 2 4y x= 2 4 4 0y my n− − = 1 2 4 4y y n a⋅ = − = − n a= AB x my a= + AB ( ),0M a ( ) ( ), , 0Q x y x ≥ Q M d13 ， ， 因为 ，故当 即 时，点 到点 的距离的最小值为 ； 当 即 时，点 到点 的距离的最小值 . ( )22 2 2 22 4d x a y x ax a x= − + = − + + ( ) ( ) 22 22 2 2 4 4x a x a x a a = − − + = − − + −  0 0x a≥ >， 2 0a − ≥ 2a ≥ Q M 2 1a − 2 0a − < 0 2a< < Q M a