2020届江苏省高考数学应用题模拟试题选编含解析

1 2020届江苏高考应用题模拟试题选编（九） 1、（江苏 2020 年 3 月学科网高三第三次在线大联考数学卷）由于多种因素影响，某地猪肉 价格节节攀升，该地方政府为落实“迅速采取有力措施稳定生猪生产，确保猪肉供应和市场 基本稳定”这一重要指示，决定对宰杀生猪的定点厂家提供政府补贴，平衡猪肉的市场价格. 设猪肉的市场价格为 元/千克，政府补贴为 元/千克，根据市场调查，当 时，猪 肉市场日供应量 万千克近似地满足关系： ，日需求量 万千克近似地满足关系： 已知猪肉市场价格为 26 元/千克 时，日需求量为 13.2 万千克，定义猪肉市场日供应量与日需求量相等时的市场价格为猪肉 市场的平衡价格. （1）将政府补贴 表示为市场平衡价格 的函数，并求出该函数的值域； （2）为使市场的平衡价格不高于 28 元/千克，政府补贴应至少为每千克多少元? 2、（江苏省南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试数学试题）如图，湖中有一个 半径为 1 千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米．为方便游人到小岛观光， 从点 A 向小岛建三段栈道 AB，BD，BE．湖面上的点 B 在线段 AC 上，且 BD，BE 均与圆 C 相切，切点分别为 D，E，其中栈道 AB，BD，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优 弧（圆 C 上实线部分）上再修建栈道 ．记∠CBD 为 ． （1）用 表示栈道的总长度 ，并确定 sin 的取值范围； （2）求当 为何值时，栈道总长度最短． （第 2 题） （第 3 题） 3、（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2020 届高三第二次调 研考试数学试题）某公园有一块边长为 3 百米的正三角形 ABC 空地，拟将它分割成面积相 等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道 DE 将△ABC 分成面积之比 x a 16 36x≤ ≤ p 3 6 8(16 36, 0)10p x a x a= + − ≤ ≤ ≥ q 2 2880 (16 36, ).( 4)q m x mx = + ≤ ≤ ∈+ R a x DE θ θ ( )f θ θ θ2 为 2：1 的两部分（点 D，E 分别在边 AB，AC 上）；再取 DE 的中点 M，建造直道 AM （如 图）．设 AD＝x，DE＝ ，AM＝ （单位：百米）． （1）分别求 ， 关于 x 的函数关系式； （2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值． 4、（江苏省 2019 _ 2020 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题）某地为 改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道 l1 和 l2 通过一段抛物线形状的栈道 AB 连通（道路不计宽度），l1 和 l2 所在直线的距离为 0.5（百米），对岸堤岸线 l3 平行于观光 道且与 l2 相距 1.5（百米）（其中 A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 l3，且交 l3 于 M ），在堤岸线 l3 上的 E，F 两处建造建筑物，其中 E，F 到 M 的距离为 1 （百米），且 F 恰 在 B 的正对岸（即 BF⊥l3）． （1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程； （2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角(∠EPF)最大？请在（1） 的坐标系中，写出观测点 P 的坐标． (第 4 题图①) (第 4 题图②) (第 6 题) 5、（江苏省 2020 届高三第一次模拟考试数学试题）自湖北武汉爆发新型冠状病 毒感染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各地纷纷驰援．截 至 1 月 30 日 12 时，湖北省累计接收捐赠物资 615.43 万件，包括医用防护服 2.6 万套，N95 口罩 47.9 万个，医用一次性口罩 172.87 万个，护目镜 3.93 万个等．某运输队接到给武汉运 送物资的任务，该运输队有 8 辆載重为 6t 的 A 型卡车，6 辆载重为 10t 的 B 型卡车，10 名 驾驶员，要求此运输队每天至少运送 720t 物资．已知每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车 16 次，B 型卡车 12 次；每辆卡车每天往返的成本：A 型卡车 240 元，B 型卡车 378 元．求每 天派出 A 型卡车与 B 型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？ 6、（全国百校联考 2020 年高考考前冲刺卷（二）理数-全国 1 卷）某贫困地区几个丘陵的 外围有两条相互垂直的直线型公路 ，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿过隧道 MN， 1y 2y 1y 2y 1 2l l，3 为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路 和山区边界的直线型公路 l， 以 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，如图所示， 山区边界曲 线 C： （ ），设公路 l 于曲线 C 相切于点 P，P 点的横坐标为 t. （1）当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度； （2）当公路 l 的长度最短时，设公路 l 交 x 轴，y 轴分别为 A，B 两点，并测得四边形 ABMN 中， ，AN= 千米，BM= 千米，求应开凿的隧道 MN 的长度. 7、（江苏省 2020 年高考模拟试题）如图,某校校园内道路 L 的一侧有一个观赏型鱼塘，鱼塘 的边界以 O 为顶点的抛物线和线段 AB 构成，边 AB 的长 40 米，顶点 O 到边 AB 的距离为 400 米. 现要在鱼塘的周围建一个环鱼塘木栈道 ，其中点 C，F 在 L 上，CD， DE，EF 均与抛物线相切（不切于点 A，B），四边形 CDEF 为等腰梯形. 以 DE 为所在的直 线为 轴，过点 O 且垂直于 ED 的直线为 轴，建立平面直角坐标系 xOy. 假设抛物线的方 程为 （其中 为常数， ）, （1）请用 表示环鱼塘木栈道 的总长度 ，并确定 的取值范围； （2）若在环鱼塘木栈道与鱼塘之间（图中阴影部分）铺上鹅卵石，求当 为何值时，所 铺鹅卵石的区域面积最小. （第 7 题） （第 8 题） 8、（江苏省如皋中学 2020 届高三创新班数学试卷）如图所示，射线 在第一象限，且与 轴正向的夹角为 45°，动点 在射线 上，动点 在 轴正向上， 的面积为定值 OP x A OP B x 1 2l l， 1 2l l，4 。[ （1）求线段 的中点 的轨迹 的方程； （2）设 是曲线 上的动点，点 到 轴的距离之和为 1。若 为点 到 轴的距离之积，问是否存在最大的常数 ，使得 恒成立？若存在，求出这个 的值，若不存在，请说明理由。 9、（江苏 2020 年高考数学全真模拟试卷一（南通教研室））如图,某植物园内有一块 圆形区域，在其内接四边形 ABCD 内种植了两种花卉，其中△ABD 区域内种植兰花,△ BCD 区域内种植丁香花，对角线 BD 是一条观赏小道， 测量可知边界 AB=60 m, BC=20 m, AD=CD=40 m. (1) 求观赏小道 BD 的长及种植区域 ABCD 的面积; (2) 因地理条件限制，种植丁香花的边界 BC,CD 不能变更，而边界 AB,AD 可以调整， 使得种植兰花的面积有所增加,请在 BAD 上设计一点 P，使得种植区域改造后的新 区域(四边形 PBCD)的面积最大，并求出这个面积的最大值. 10、（江苏 2020 年高考数学全真模拟试卷二（南通教研室））某公司准备设计一个精美 的心形巧克力盒子,它是由半圆 O1、半圆 O2 和正方形 ABCD 组成的,且 AB=8cm.设计人员 想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签 EFGH,标签的其中两个顶点 E,F 在 AM 上,另外 两个顶点 G,H 在 CN 上(M,N 分别是 AB,CB 的中点)设 EF 的中点为 P, ∠ FO 1P=θ, 矩形 EFGH 的面积为 Scm2. (1) 写出 S 关于 θ 的函数关系式 S(θ); (2) 当 θ 为何值时,矩形 EFGH 的面积最大? S AB M C 1 2,M M C 1 2,M M x u 1 2,M M y m u m≥ m （第 9 题） A C D B （第 10 题） M N· · D A C H B E P O1 GF O2··5 1、【解析】（1）因为当猪肉市场价格为 26 元/千克时，日需求量为 13.2 万千克， 所以 解得 （1 分） 根据题意，由 所以 .（3 分） 设 所以 所以 所以 是关于 的减函数，（5 分） 所以当 时， ；当 时， 所以函数 的值域为 .（7 分） （2）由（1）得 时 （10 分） 由（1）易知 是关于 的减函数，所以欲使 则需 （13 分） 答：要使市场的平衡价格不高于 28 元/千克，政府补贴应至少为 元/千克.（14 分） 2、解：（1）连接 CD，在 Rt△CBD 中，CD＝1，CB＝ ，BD＝ ， 当 B 与 A 重合时，sin ，∴sin [ ，1)， （2）∵sin [ ，1)，∴cos (0， ]， 求得 2 2880 13.2,30m + = 10.m = 2 3 2880, 6 8 10 ,10 ( 4)p q x a x = + − = + +得 2 4803 (16 36)( 4) 20 xa xx = + − ≤ ≤+ 4 (20 40),x t t+ = ≤ ≤ 2 16 480 (20 40),5 20 ta tt = + − ≤ ≤ 3 960 1 0,20a t ′ = − − < a t 20t = max 16 6 1715 5 5a = + − = 40t = min 2 16 480 40 3 ,5 40 20 2a = + − = 2 4803 (16 36)( 4) 20 xa xx = + − ≤ ≤+ 3 17[ ]2 5 ， 2 4803 (16 36), 28( 4) 20 xa x xx = + − ≤ ≤ =+ 2 480 28 331, 3 ,32 20 160a = + − = a x 28,x ≤ 331.160a ≥ 331 160 1 sinθ 1 tanθ DE ( 2 ) 1 2π θ π θ= + ⋅ = + 1 2( ) 3 2sin tanf θ π θθ θ= − + + + 1 3 θ = θ ∈ 1 3 θ ∈ 1 3 θ ∈ 2 2 3 2 cos (2cos 1)( ) sinf θ θθ θ − −′ =6 ∴ 时，即 cos ， 3、解：（1）因为 ，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，又 AD = x， 所以 ，所以 ． ……2 分 由 ，得 ． ……4 分 法 1：在 中，由余弦定理，得 ． 所以，直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 ． ……6 分 在 和 中，由余弦定理，得 ① ② …8 分 因为 M 为 DE 的中点，所以 ． 由①+②，得 ， 所以 ， 所以 ． 所以，直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 ． ……10 分 法 2：因为在 中， ， 所以 ． 所以，直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为 ． ……6 分 在△ADE 中，因为 M 为 DE 的中点，所以 ． …8 分 所以 ． 3 πθ = 1 2 θ = min 5( ) ( ) 33 3f f π πθ = = + 2 3ADE ABCS S=△ △ ( )21 2 1sin = 3 sin2 3 3 2 3AD AE π π⋅ ⋅ × × 6AE x = 0 3 60 3 AD x AE x < = < = ≤ ， ≤ 2 3x≤ ≤ ADE△ 2 2 2 2 2 362 cos 63DE AD AE AD AE x x π= + − ⋅ ⋅ = + − [ ]2 1 2 36 6 2 3y x xx = + − ∈， ， ADM△ AEM△ 2 2 2 2 cosAD DM AM DM AM AMD= + − ⋅ ⋅ ∠ ( )2 2 2 2 cosAE EM AM EM AM AMD= + − ⋅ ⋅ π − ∠ 1 2DM EM DE= = 2 2 2 2 2 2 212 22AD AE DM EM AM DE AM+ = + + = + ( ) ( )2 2 2 2 2 6 1 36 6 22x x AMx x + = + − + 22 2 9 3 4 2 xAM x = + + [ ]2 2 2 9 3 2 34 2 xy xx = + + ∈， ， ADE△ DE AE AD= −   ( )22 2 2 2 2 2 6 6 362 2 cos 63DE AE AE AD AD x x xx x x π= − ⋅ + = − ⋅ + = + −     [ ]2 1 2 36 6 2 3y x xx = + − ∈， ， ( )1 2AM AD AE= +   ( ) ( )2 2 2 2 2 1 1 362 64 4AM AD AE AD AE x x = + + ⋅ = + +    7 所以，直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为 ． ……10 分 （2）由（1）得，两条直道的长度之和为 ……12 分 （当且仅当 即 时取 ）． …14 分 答：当 百米时，两条直道的长度之和取得最小值 百米．16 分 4、解：（1）以 A 为原点，l1 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建系 由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为 代入点 B 得：p＝1，故方程为 ，x [0，1]； （2）设 P( ， )，t [0， ]，作 PQ⊥l3 于 Q，记∠EPQ＝ ，∠FPQ＝ ， ， 令 ， ，则： 当且仅当 即 ，即 ，即 时取等 故 P( ， )时视角∠EPF 最大， 答：P( ， )时，视角∠EPF 最大． [ ]2 2 2 9 3 2 34 2 xy xx = + + ∈， ， 22 1 2 2 2 36 9 3+ 6 4 2 xDE AM y y x x x = + = + − + + + 22 2 2 36 9 32 6 2 4 2 xx x x ⋅ − + ⋅ +≥ 3 26 2 = + 2 2 2 2 36 9 4 x x x x  =   = ， 6x = =“ ” 6AD = ( )3 26 2 + 2 2x py= 2 2x y= ∈ 2t 2t ∈ 2 2 α β 2 1EQ t= + 22PQ t= − 1 2FQ t= − 22 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 tan tan 2(2 )2 2tan tan( ) 1 21 tan tan 2 31 (2 ) t t tt tEPF t t t t α βα β α β + −++ −− −∠ = + = = =−− − +− − 2 32 [ 2]2t x− = ∈ ， 2 2t x= − 2 2 2 2 2 3 1tan 3(2 ) 2 1 2 3 22 x xEPF x x x x x x +∠ = = = ≤− + − − + + − 3x x = 3x = 2 2 3t = − 6 3 2t −= 3 1− 2 3− 3 1− 2 3−8 5、解：设每天派出 A 型卡车 x 辆，B 型卡车 y 辆，运输队所花成本为 z 元， 则 ，且 x∈N，y∈N， 化简得： ， 目标函数 z＝240x+378y， 画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示： 由图可知，当直线 z＝240x+378y 经过点 A 时，截距 z 最小， 解方程组 ，得点 A 的坐标为（ ，0）， 又∵x∈N，y∈N，∴点 A（ ，0）不是最优解， ∵在可行域的整数点中，点（8，0）使 z 取得最小值， 即 zmin＝240×8+378×0＝1920， ∴每天排除 A 型卡车 8 辆，B 型卡车 0 辆，运输队所花的成本最低， 最低成本为 1920 元， 答：每天派出 A 型卡车 8 辆，B 型卡车 0 辆，运输队所花的成本最低，最低成本为 1920 元．9 6、1 0 7、1 11 2 8、解析：（1） 设 ，则 ， 所以 所以 所以 （2）设 ， 因为 ，所以 令 在 减，在 增， 所以 ，即 于是 ，则 9、解（1）设 BD=xcm ( , )M x y (2 ,2 )A y y (2 2 ,0)B x y− 1 (2 2 ) 22S x y y= − ⋅ 2: 2 2 ( 0, 0)C xy y S x y− = > > 1 1 1 2 2 2 1 2( , ), ( , ) 1M x y M x y y y⇒ + = 22 2 S yx y += 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2·2 2 4 S y S y S Su x x y y Sy y y y + + += = = + − 2 1 2 1 2,4 4 S St y y y t t += ≤ = + 2 20, 4 S S +    2 2 ,4 S S + +∞   2 2 1 5 114 4 2 4 S S S t + ≥ ⇒ ≥ − + ⇒ = 2 1 2 min 1, 4y y u S S m= = + + = 2 2 1 50 14 4 2 S S S + < ⇒ < < − + 2 2 min 2 , 24 S St u S S S += = + −1 3 10、