江苏省苏州2019-2020学年第二学期调研试卷高三（数学）试卷含附加题，含答案

2019- 2020 学年苏州第二学期调研试卷 高三（数学）试卷 2020.03 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡 相应位置上. 1. 已知 ， ，则 ______. 2. 若复数 满足 （ 是虚数单位），则 ______. 3. 执行如图所示的算法流程图，输出的 的值是______. 4. 若数据 2， ，2，2 的方差为 0，则 ______. 5. 在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中 随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是______. 6. 先把一个半径为 5，弧长为 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水 倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实 心圆锥，则此球的半径为______. 7. 若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 的值为______. 8. 在 所在的平面上有一点 ，满足 ，则 ______. { }1,3,4A = { }3,4,5B = A B = z ( )1 2 3 4i z i+ = − + i z = S x x = 6t 2 2 15 4 x y− = 2 2y px= p ABC∆ P PA PB PC AB+ + =    PA PB PB PC ⋅ = ⋅    9. 已知直线 与曲线 相切，则实数 的值为______. 10. 已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 ，则椭 圆离心率的值等于______. 11. 已知正项数列 的前 项和为 ， ，且当 时， 为 和 等差中项，则 的值为 ______. 12. 设 ， 为锐角， ，若 的最大值为 ，则实数 的值为______. 13. 在平面直角坐标系 中，已知 ， 为圆 ： 上两个动点，且 .若 直线 ： 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为______. 14. 已知函数 ，若函数 有 6 个零点，则实数 的取值范 围为______. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求 的值； （2）若 ，求 的值. 16. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点. 2y kx= − lny x x= k C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 6 3y b= C A B OA OB⊥ { }na n nS 2 1 2a = 2n ≥ 1 na nS 1nS − 32S α θ ( )tan tan 1aθ α α= > θ α− 4 π a xOy A B C ( ) ( )2 22 4x a y− + − = 2 3AB = l y x= − P PA PB OC+ =   a ( ) xf x e= ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2ag x x f x a xf x = − − + − a ABC∆ A B C a b c ( )sin sin 1A B C− + = sin cosA B 2a b= sin A 1 1 1ABC A B C− 90ABC∠ = ° 1AB AA= M N AC 1 1B C求证：（1） 平面 ； （2） . 17. 如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的右焦点为 ，并且点 在椭圆上. （1）求椭圆 的方程； （2）设斜率为 （ 为常数）的直线 与椭圆交于 ， 两点，交 轴于点 ， 为直线 上 的任意一点，记 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ，求 的值. 18. 如图， 为某公园的一条道路，一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 相切，记其圆心为 ，切点为 .为参观方便，现新修建两条道路 、 ，分别与圆 相切于 、 两点，同时与 分别交于 、 两点，其中 、 、 三点共线且满足 ，记道路 、 长之和为 . ①设 ，求出 关于 的函数关系式 ； ②设 米，求出 关于 的函数关系式 . 若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少. / /MN 1 1ABB A 1AN A B⊥ xOy C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )1,0F 21, 2       C k k l A B x ( ),0P m Q 2x = QA QB QP 1k 2k 0k 1 2 02k k k+ = m PQ PQ O G CA CB O D E PQ A B C O G CA CB= CA CB L ACO θ∠ = L θ ( )L θ 2AB x= L x ( )L x19. 设 ， （ 为与自变量 无关的正实数）. （1）证明：函数 与 的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； （2）是否存在实数 ，使得 对任意的 恒成立，若存在，求出 的取值 范围，否则说明理由. 20. 定义：对于一个项数为 的数列 ，若存在 且 ，使得数列 的前 项和与剩下项的和相等（若仅为 1 项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为 ；所以数列 3，2，1 是“等和数列”请解答以下问题： （1）判断数列 2，-4，6，-8 是否是“等和数列”，请说明理由； （2）已知等差数列 共有 项（ ，且 为奇数）， ， 的前 项 满足 ，判断 是不是“等和数列”，并证明你的结论. （3） 是公比为 项数为 的等比数列 ，其中 .判断 是不是“等和数列”， 并证明你的结论. 附加题 21.[选做题]本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-2：矩阵与变换 在平面直角坐标系 中，直线 在矩阵 对应的变换作用下得到的直线仍为 ，求矩阵 . ( ) xf x ae a= − ( ) 2g x ax x= − a x ( )f x ( )g x k ( ) ln 1f x a kxax x + − − > 1 ,2x  ∈ +∞   k ( )*2,m m m N≥ ∈ { }na *k N∈ k m< { }na k 3 2 1= + { }na r 3r ≥ r 1 1a = { }na n nS ( ) ( )( )1 1 1 1n nns n s n n n r+ = + + + ≤ − { }na { }nb q ( )*, 3m m N m∈ ≥ { }nb 2q ≥ { }nb xOy 2 0x y+ − = 1 2 aA b  =    2 0x y+ − = AB. 选修 4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐 标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. 求直线 与曲线 交点 的直角坐标. C. 选修 4-5：不等式选讲 已知 ， ， 均为正数，且 . 求证： . [必做题]第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， 为 的中点. （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求二面角 的余弦值. 23. 在自然数列 1，2，3，…， 中，任取 个元素位置保持不动，将其余 个元素变动位置，得到不 同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为 . （1）求 ； （2）求 ； l ( ) 3 R πθ ρ= ∈ x C 2sin 1 cos2 x y α α =  = − α l C P x y z 1 1 1 3 1 1 2x y y z + + ≤+ + + 4 9 10x y z+ + ≥ D ABC− DA ⊥ ABC 90CAB∠ = ° 1AC AD= = 2AB = E BD AE BC A CE B− − n k n k− ( )nP k ( )3 1P ( )4 4 0k P k = ∑（3）证明 ，并求出 的值. 参考答案 一、填空题 1. 2. 3. 7 4. 2 5. 6. 7. 6 8. 9. 10. 11. 8 12. 13. 14. 二、解答题 15.（1）因为 ，所以 ， 从而 ， 故 ； （2）由 及正弦定理得， ， 故 ， 且 ，所以 ， 又易得 ，从而 ，故 ，即 ，所以 ， 即 ， ( ) ( )1 0 0 n n n n k k kP k n P k− = = =∑ ∑ ( ) 0 n k kP k = ∑ { }3,4 5 3 10 3 9 1 2 − 1 ln 2+ 2 2 3 2 2+ 2 2 2, 2 2 2 − − − +  2 , 12 1 e e  − − −  A B C π+ + = ( )sin sinA B C+ = ( ) ( ) ( )1 sin sin sin sinA B C A B A B= − + = − + + ( ) ( )sin cos cos sin sin cos cos sinA B A B A B A B= − + + 2sin cosA B= 1sin cos 2A B = 2a b= sin 2sinA B= 1sin cos 2sin cos sin 2 2A B B B B= = = sin 2sin 1A B= ≤ 1sin 2B ≤ a b> A B> 0, 6B π ∈   2 0, 3B π ∈   2 6B π= 12B π=此时 . 16.（1）证明：取 的中点 ，连结 ， . 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以 ，且 . 在直三棱柱 中， ， ， 又因为 是 的中点， 所以 ，且 . 所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）证明：因为三棱柱 为直三棱柱，所以 面 ， 又因为 面 ， 所以面 面 ， 又因为 ，所以 ， 面 面 ， 平面 ， 所以 面 ， 又因为 面 ， sin 2sin 2sin12 4 6A π π π = = −   6 22 sin cos cos sin4 6 4 6 2 π π π π − = × − =   AB P PM 1PB M P AB AC / /PM BC 1 2PM BC= 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /BC B C 1 1BC B C= N 1 1B C 1/ /PM B N 1PM B N= 1PMNB 1/ /MN PB MN ⊄ 1 1ABB A 1PB ⊂ 1 1ABB A / /MN 1 1ABB A 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ 1 1 1A B C 1BB ⊂ 1 1ABB A 1 1ABB A ⊥ 1 1 1A B C 90ABC∠ = ° 1 1 1 1B C B A⊥ 1 1ABB A  1 1 1 1 1A B C B A= 1 1B C ⊂ 1 1 1A B C 1 1B C ⊥ 1 1ABB A 1A B ⊂ 1 1ABB A所以 ，即 ， 连结 ，因为在平行四边形 中， ， 所以 ， 又因为 ，且 面 ， 所以 面 ， . 而 面 ， 所以 . 17. 解：（1）因为椭圆 的两个焦点为 和 ，点 在此椭圆上. 所以 ， ， 所以 ， ， ， 所以椭圆方程为 . （2）由已知直线 ： ，设 ， ， ， 由 得 . 1 1 1B C A B⊥ 1 1NB A B⊥ 1AB 1 1ABB A 1AB AA= 1 1AB A B⊥ 1 1 1NB AB B= 1 1,AB NB ⊂ 1AB N 1A B ⊥ 1AB N AN ⊂ 1AB N 1A B AN⊥ C ( )1 1,0F − ( )2 1,0F 21, 2       ( ) ( ) 2 2 2 22 22 1 1 0 1 1 0 2 22 2a    = + + − + − + − =          1c = 1c = 2a = 2 1 1b = − = 2 2 12 x y+ = l ( )y k x m= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )02,Q y ( ) 2 2 12 y k x m x y = − + = ( )2 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x mk x k m+ − + − =所以 ， . 因为 ， ， 且 ， 所以 ， 整理得 ， 因为点 不在直线 上，所以 ， 所以 ，整理得 ， 将 ， 代入上式解得 ， 所以 . 18. 解：（1）①在 中， ，所以 ， 所以 ， 在 中 ， 所以 ， 其中 ， ②设 ，则在 中 ，由 与 相似得， ， 即 ，即 ， 2 1 2 2 4 1 2 mkx x k + = + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 k mx x k −= + 1 0 1 1 2 y yk x −= − 2 0 2 2 2 y yk x −= − 0 0 2 yk m = − 1 2 02k k k+ = 1 0 2 0 0 1 2 2 2 2 2 y y y y y x x m − −+ =− − − ( )0 1 2 2 1 12 02 2 2k km y m x x  − − + + = − − −  ( )02,Q y l 02 0k km y− − ≠ 1 2 2 1 1 02 2 2m x x + + =− − − ( )( )1 2 1 22 2 4 0x x m x x m− + + + = 2 1 2 2 4 1 2 mkx x k + = + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 k mx x k −= + 1m = 1m = Rt CDO∆ ACO θ∠ = 20 sinCO θ= 20 20sinCG θ= + Rt AGC∆ 20 20 20 20sinsin cos cos sin cos CGAC θθ θ θ θ θ + += = = ( ) 40 40sin2 sin cosL AC θθ θ θ += = 0, 2 πθ  ∈   AC y= Rt AGC∆ 2 2CG y x= − Rt CDO∆ Rt AGC∆ CO OD CA AG = 2 2 20 20y x y x − − = 2 2 20 20x y x x y− − =即 ，即 ， 即 ， 化简得 ， ， 其中 . （2）选择（1）中的第一个函数关系式 研究. . 令 ，得 . 令 ，当 时， ，所以 递减； 当 时， ，所以 递增，所以当 时， 取得最小值，新建道路 何时造价也最少. （说明：本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式 求解，仿此给分） 19.（1）证明：因为 ， ，所以 ， 的图像存在一个公共的定点 . 因为 ， ，所以 ， ，所以在定点 处有一条公切线， ( )2 2 20x y x x y− = + 20x y x x y− = + ( ) ( )2 400x y x x y− = + 3 2 400 400 x xCA y x += = − ( ) 3 2 2 8002 400 x xL x CA x += = − ( )20,x∈ +∞ ( ) ( )40 1 sin40 40sin2 sin cos sin cosL AC θθθ θ θ θ θ ++= = = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 40 cos sin cos 1 sin cos sin ' sin cos L θ θ θ θ θ θ θ θ θ  − + − = ( ) ( ) 3 2 2 2 40 sin sin cos sin cos θ θ θ θ θ + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 40 sin 2sin 1 40 sin sin sin 1 sin cos sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ + − + + − = = ( )( ) ( ) 2 2 40 sin 1 sin sin 1 sin cos θ θ θ θ θ + + − = ( )' 0L θ = 5 1sin 2 θ −= 0 5 1sin 2 θ −= ( )00,θ θ∈ ( )' 0L θ < ( )L θ 0 , 2 πθ θ ∈   ( )' 0L θ > ( )L θ 5 1sin 2 θ −= ( )L θ ( ) 3 2 2 800 400 x xL x x += − ( ) 00 0f ae a= − = ( )0 0g = ( ) xf x ae a= − ( ) 2g x ax x= − ( )0,0O ( )' xf x ae= ( )' 2g x a x= − ( )' 0f a= ( )' 0g a= ( )0,0O为直线 ； （2）假设存在实数 ，使得 对任意的 恒成立， 即存在实数 ，使得 对任意的 恒成立. 令 ， ， 则 ， ， 令 ， ，则 ， ， 因为 ， ，且 ， 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 因为 ， ， 所以存在唯一实数 ，使得 ，即 ，且 ， 所以 在 处取得最小值 ， 所以 在 上单调递增， 所以 ， y ax= k ( ) ln 1f x a kxax x + − − > 1 ,2x  ∈ +∞   k lnxk e x x x< − − 1 ,2x  ∈ +∞   ( ) lnxh x e x x x= − − 1 ,2x  ∈ +∞  ( )' ln 2xh x e x= − − 1 ,2x  ∈ +∞  ( ) ln 2xm x e x= − − 1 ,2x  ∈ +∞  ( ) 1 1' x x xem x e x x −= − = 1 ,2x  ∈ +∞  0x > 0xe > y x= xy e= 1 ,2x  ∈ +∞   1xy xe= − 1 ,2x  ∈ +∞   1 1 2 21 21 02 2 ee −− = < 11 1 0e⋅ − > 0 1 ,12x  ∈   0 0 1 0xx e − = ( )0' 0m x = 0 0 xx e−= ( )'h x 0x ( ) 0 0 0 0 0' ln 2 ln 2x x xh x e x e e−= − − = − − 0 1 2 0 1 3 92 2 02 2 4 xe x e e e= + − > + − = − = − > ( ) lnxh x e x x x= − − 1 ,2x  ∈ +∞   ( ) 1 ln 2 1 2 2h x h e − > = +  因为 对任意的 恒成立，所以 ， 所以存在 ，使得 对任意的 恒成立. 20. 解：（1）∵ ， ∴数列 2，-4，6，-8 是“等和数列”. （2）由 ， ，两边除以 ，得 ，即 ， 所以，数列 为等差数列且 ， ， 所以， . 假设存在 使得数列 的前 项和与剩下项的和相等， 即 ，所以 . ∴ 在 中，因为 为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边 一定是偶数， 所以 不可能有解，从而假设错误， 不是“等和数列”. （3）设 为 的前 项和， 假设 是“等和数列”， 则存在 且 ，使得 成立，即 ， 于是 成立，即 ， lnxk e x x x< − − 1 ,2x  ∈ +∞   ln 2 1 2k e −≤ + ln 2 1, 2k e − ∈ −∞ +   ( ) ln 1f x a kxax x + − − > 1 ,2x  ∈ +∞   ( ) ( )2 4 6 8+ − = + − ( ) ( )1 1 1n nnS n S n n+ = + + + *n N∈ ( )1n n + 1 11 n nS S n n + = ++ 1 11 n nS S n n + − =+ nS n     1 11 S = 1 1nS n nn = + − = 2 nS n= k { }na k k r kS S S= − 2 k rS S= 2 22k r= * * r 22k * { }na nB { }nb n { }nb *k N∈ k m< k m kB B B= − 2 k mB B= ( ) ( )1 12 1 1 1 1 k mb q b q q q − − =− − 2 1k mq q− =因为 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， 所以 ，与 产生矛盾. 所以假设不成立，即 不是“等和数列”. 21A 解：设 是直线 上任意一点，其在矩阵 对应的变换下得到 仍在直线上， 所以得 ， 与 比较得 ， 解得 ，故 . B 解：直线 的普通方程为 ，① 曲线 的直角坐标方程为 ，② 联立①②解方程组得 或 ， 根据 的范围应舍去 ， 故 点的直角坐标为 . C 证：因为 ， ， 均为正数，所以 ， ， 均为正数， 由柯西不等式得 2q ≥ 12 1 2k k kq q q +≤− < m k> 1m k≥ + 1k mq q+ ≤ 2 1k mq q− < 2 1k mq q− = { }nb ( ),P x y 2 0x y+ − = 1 2 aA b  =    1 2 2 a x x ay b y bx y +     =     +      2 2 0x ay bx y+ + + − = 2 0x y+ − = 1 1 2 1 b a + =  + = 0 1 b a =  = − 1 1 0 2A − =    l 3y x= C [ ]( )21 2,22y x x= ∈ − 0 0 x y =  = 2 3 6 x y  = = x 2 3 6 x y  = = P ( )0,0 x y z 1x + 1y + 1z +， 当且仅当 时，等式成立. 因为 ， 所以 ， 所以 . 22. 解：因为 平面 ， ，所以可以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系 . 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， 因为点 为线段 的中点， 所以 . （1） ， ， 所以 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . （2）设平面 的法向量为 ， 因为 ， ， ( ) ( ) ( ) 1 1 11 4 1 9 1 1 1 1x y z x y z  + + + + + + +    + + +  ( )21 2 3 36≥ + + = ( ) ( ) ( )2 2 21 4 1 9 1x y z+ = + = + 1 1 1 3 1 1 1 2x y z + + ≤+ + + ( ) ( ) ( ) 21 4 1 9 1 36 243x y z+ + + + + ≥ × = 4 9 10x y z+ + ≥ DA ⊥ ABC 90CAB∠ = ° A A xyz− 1AC AD= = 2AB = ( )0,0,0A ( )1,0,0C ( )0,2,0B ( )0,0,1D E BD 10,1, 2E      10,1, 2AE  =     ( )1, 2,0BC = − 2 4cos , 55 54 AE BCAE BC AE BC ⋅ −= = = − ×      AE BC 4 5 ACE ( )1 , ,n x y z= ( )1,0,0AC = 10,1, 2AE  =    所以 ， ，即 且 ，取 ，得 ， ， 所以 是平面 的一个法向量. 设平面 的法向量为 ， 因为 ， ， 所以 ， ， 即 且 ，取 ，得 ， ， 所以 是平面 的一个法向量. 所以 ， 所以二面角 的余弦值为 . 23.（1）因为数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2 或 3，2，1 或 2，1，3， 所以 ； （2） ； （3）把数列 1，2，…， 中任取其中 个元素位置不动，则有 种；其余 个元素重新排列，并且使 1 0n AC⋅ =  1 0n AE⋅ =  0x = 1 02y z+ = 1y = 0x = 2z = − ( )1 0,1, 2n = − ACE BCE ( )2 , ,n x y z= ( )1, 2,0BC = − 10, 1, 2BE  = −    2 0n BC⋅ =  2 0n BE⋅ =  2 0x y− = 1 02y z− + = 1y = 2x = 2z = ( )2 2,1,2n = BCE 1 2 1 2 1 2 3 5cos , 55 9 n nn n n n ⋅ −= = = − ×      A CE B− − 5 5 − ( )3 1 3P = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 4 4 0 0 1 2 3 4 k P k P P P P P = = + + + +∑ 0 1 1 1 1 2 4 3 3 4 2 4 0 1 9 8 6 0 1 24C CC C CC= + + + + = + + + + = n k k nC n k−其余 个元素都要改变位置，则有 ， 故 ，又因为 ， 所以 ， 令 ，则 ，且 . 于是 ， 左右同除以 ，得 ， 所以 . n k− ( ) ( )0k n n n kP k C P −= ( ) ( ) 0 0 0 n n k n n n k k k kP k kC P − = = =∑ ∑ 1 1 k k n nkC nC − −= ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 n n n n k k n n n k n n k n k k k k kP kC P n C P n P kk − − − − − − − = = = = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ( ) 0 ( ) n n n k a kP kk = = ∑ 1n na na −= 1 1a = 2 3 4 1 1 2 3 12 3 4n n na a a a a a a a na− −= × × × ×  2 3 4 1na a a a − 2 3 4 !na n n= × × × × = ( ) 0 ! n n k kP nk = =∑