2020年八年级数学开学摸底考检测题（人教版，湖北专用）

2020 年开学摸底考八年级数学（人教版，湖北专用） B 卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．下列二次根式中，x 的取值范围是 x≥5 的是 A． B． C． D． 【答案】C 2.下列条件中，不能判断 为直角三角形的是： A． B． C． D． 【答案】D 3．下列式子是最简二次根式的是 A． B． C． D． 【答案】B 4．下列各式计算错误的是 A． B． C． D． 【答案】C 5．下列二次根式，不能与 合并的是 A． B． C． D． 【答案】D 6、如图，在 中，CE 平分 ，CF 平分 ，且 交 AC 于 M，若 CM=5，则 5 x− 10 2x+ 5x − 5x + ABC∆ 5.2,2,5.1 === cba 13:12:5:: =cba CBA ∠=∠+∠ 5:4:3:: =∠∠∠ CBA 1 3 97 2a 18 4 3 2 3 2 3− = 2 5 10× = 2 122 14 = 228 =÷ 3 75 27− 4 3 − 72 ABC∆ ACB∠ ACD∠ BCEF // 22 CFCE + 等于 A．100 B．75 C．120 D．125 【答案】A 7.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC 于点 O，若 AO=5cm，则 AB 的长为 A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】D 8．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数. 它们的逆命题成立的个数是 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 9.如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为 49，小正 方形面积为 4，若用 x，y 表示直角三角形的两直角边（x>y），下列结论：①x2＋y2=49；②x－y=2；③2xy＋ 4=49.其中正确的结论是 A．①② B．② C．①②③ D．①③ 【答案】C 1o．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=450，若 AD=4，CD=2，则 BD 的长为 A．6 B． C．5 D． 【答案】A 【解答】如图，作 AD′⊥AD，AD′=AD，连接 CD′，DD′，则 ∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中， ， ∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′． 在 Rt△DAD′中，由勾股定理得 DD′= ， 又∠D′DA+∠ADC=45°+45°=90° CD′= ， ∴BD=CD′=6， 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 2 7 2 5 090DAD BAC∠ ′ = ∠ = ∴ ' ' BC AC BAD CAD AB AD = ∠ = ∠  = 2 '2 2 24 4 4 2AD AD+ = + = ∴ '2 2 2 2(4 2) 2 6DD CD+ = + = 11．比较大小： _______3；– _______– ． 【答案】 >，> 12．若 是正整数，则整数 n 的最小值为． 【答案】3 13．在实数范围因式分解： =________． 【答案】 14．观察下列各式： ； ； ……， ……依此规律，则第个式子是____________________（n 1）. 【答案】 15.一只蚂蚁从棱长为 4cm 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱外表面爬到 B 点，那么它的最短路线的长是 ________cm. 【答案】 16．如图，∠AOB=40°，M、N 分别在 OA、OB 上，且 OM=2，ON=4，点 P、Q 分别在 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是__________． 【答案】 10 32 23 n12 52 −a ( 5)( 5)a a+ − 1 11+ =23 3 1 12+ =34 4 1 13+ =45 5 ≥ 1 1n ( 1)2 2nn n + = ++ + 4 5 2 7 【解答】如下作图，作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′， 连接 M′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值． 由对称可得， ， 如上右图，作 ， 三、解答题（共 8 小题，共 72 分） 17．（本题 8 分）计算：（1） ÷2 ﹣ × +4 ； （2（ + ）2﹣（3 +2 ）（3 ﹣2 ） 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算． 【解答】（1）原式=4 ÷2 ﹣3 × +2 =2﹣3 +2 =2﹣ ； ' ' 40 4, 2N OA AOB M OB ON ON OM OM∠ = ∠ = ∠ = = = = =， 120 ,MON∴∠ =  ' ' CNC OM⊥ 于 ' 180 60 ,NOC MON∠ = − ∠ =  2 2 2 2' 1 ' 2,2 4 2 2 3' , ' ' 2 2 4ON OC CM OC O O M C ON NC − = − = = + = ∴ ∴ = + = = = 2 2 2 2' ' 4' (2 3) 2 7' NCMN CM∴ = + = + = N’ 'N M 'MC O （2）原式=2+2 +3﹣（18﹣12） =5+2 ﹣6 =2 ﹣1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运 算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的 解题途径，往往能事半功倍． 18．（本题 8 分）先化简，再求值： ÷ ，其中 = －4． 【解答】原式= = — = — = 当 x= －4 时，原式= 19．（本题 8 分）（1）若 ，求 的平方根； （2）实数 使 成立，求 的值． 【解答】解：（1）依题意，x–3≥0 且 3–x≥0， ∴x≥3 且 x≤3，∴x=3 当 x=3 时，y=0+4=4 ∴xy=3×4=12 ∴xy 的平方根为 = )22 3( +−− x x x x 4 2 2 −x x x 3 )22 3( +−− x x x x 2 4 2 x x −× 23 4 2 2 x x x x −×− 2 4 2 2 x x x x −×+ 3( 2) 2 x + 2 2 x − 4x + 3 3 433 +−+−= xxy xy yx, 0443 2 =+++− yyx yx 12± 3± （2）∵ +y2+4y=–4∴ +y2+4y+4=0 即 +（y+2）2=0 由非负性可知，x–3=0，y+2=0∴x=3，y=–2 ∴ 【点评】本题考查二次根式的双重非负性的性质，利用此性质确定出 x，y 的值是解题关键 20.（8 分）莫小贝在图 1 中画出 ，其顶点 A，B，C 都是格点，同时构造正方形 BDEF，使它的顶点 都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C，A，她借助此图求出了 的面积. （1）莫小贝所画的 的三边长分别是 AB=_______，BC=______，AC=______； 的面积为________. （2）已知 中，AB= ，BC= ，AC= ，请你根据莫小贝的思路，在图 2 中画出 ， 并直接写出 的面积_________. 【答案】（1）5 (2) 5 图2图1 C B F D EA 3x − 3x − 3x − 2 1 13 9 3 yx −= = = ABC∆ ABC∆ ABC∆ ABC∆ ABC∆ 10 52 25 ABC∆ ABC∆ 17 10 5.6 21．（本题 8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=10，D 为 AB 上一点， CD=8，BD=6（1）求证：∠CDB=900；（2）求 AC 的长． 【解答】（1）在△ABC 中，BD2+CD2=62+82=100，BC2=102=100 ∴BD2+CD2BC2 ∴△BCD 是直角三角形且∠CDB=90° （2）设 AD=X，则 AC=AB=6+X， 由（1）可知，∠CDB=90°∴∠CDA=90° 在 Rt△CDA 中，AD2+CD2=AC2∴x2+82=（6+x）2 ∴x= ，∴AC=6+X= . 22．（本题 10 分）如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 上一点， ∠BAD=3∠CAD，BC=2．（1）求△ABC 的面积；（2）求 CD 的值． 图1 图2 C B F D EA A C B 7 3 25 3 【解答】（1）过点 A 作 AM⊥BC 于 M， ∵△ABC 是等边三角形， ∴BM=CM=1/2BC=1，∠BAM=∠CAM=30° 在 Rt△CAM 中，AM2+CM2=AC2 ∴AM2+12=22∴AM= （2）（解法 1）∵∠BAD=3∠CAD ∴∠CAD= ∠BAC=15°，∠MAD=∠MAC–∠DAC=15° ∴AD 平分∠MAC 过点 D 作 DN⊥AC 于 N，则△ADM≌△AND 3 1 4 ∴DM=DN，AN=AM= ∴CN=AC–AB=2– 设 DM=DN=x，则 CD=CM–DM=1–x 在 Rt△CDN 中，DN2+CN2=CD2 即 x2+（2– ）2=（1–x）2，解得：x=2 –3 ∴CD=1–x=4–2 ． （解法 2）过点 D 作 DE⊥AB 于 E，设 BE=x，则 DE=AE= x BD=2x，∴x+ x=2，则 x= +1，CD=BC–BD=4–2 23．（本题 10 分）已知，在等腰 Rt△OAB 中，∠OAB=900，OA=AB，点 A，B 在第四象限． （1）如图 1，若 A（1，–3），则①OA=；②求点 B 的坐标； （2）如图 2，AD⊥y 轴于点 D，M 为 OB 的中点，求证： ． 【解答】（1）①OA= ②过点 A 作 AD⊥y 轴于 D，过点 B 作 BE⊥AD 于 E 则∠ODA=∠AEB=900，∠DOA=∠BAE，OA=AB ∴△ADO≌△BEA（AAS） ∴BE=AD=1，AE=OD=3∴DE=4 ∴B（4，–2） 3 3 3 3 3 3 3 3 3 DMDADO 2=+ 10 （2）（解法 1） 连接 AM，过 M 作 ME⊥DM 交 DA 的延长线于点 E 则 AM⊥OB，OM=AM 再证△DOM≌△EAM（AAS） ∴MD=ME，∴DA+DO=DA+AE=DE= DM． （解法 2）过 B 作 BE⊥DA 交 DM 的延长线于点 F， 有前可知：△ADO≌△BEA（AAS），∴BE=AD，AE=OD， 再证△MDO≌△MFB（AAS），∴BF=OD=AE，DM=FM，∴DE=FE， ∴DA+DO=DA+AE=DE= DF= DM， 2 2 2 2 24．（本题 12 分）已知△ABC 是等边三角形． （1）如图 1，△BDE 也是等边三角形，求证 AD=CE； （2）如图 2，点 D 是△ABC 外一点，且∠BDC=30°，请探究线段 DA、DB、DC 之间的数量关系，并证明 你的结论； （3）如图 3，点 D 是等边三角形△ABC 外一点，若 DA=13，DB= ，DC=7，试求∠BDC 的度数． 【解答】（1）∵△ABC 和△BDE 均为等边三角形， ∴BC=BA，BD=BE，∠ABC=∠EBD=600， D C A B E 5 2 ∴∠ABD=∠EBC，∴△ABD≌△CBE（AAS），∴AD=CE． （2）结论：DB2+DC2=DA2， 以 BD 为边作等边△BDE，连 CE，则 BD=DE，∠BDE=600， 由（1）可知△ABD≌△CBE（AAS），∴AD=CE， 又∠CDB=300，∴∠CDE=900，∴CD2+DE2=CE2，∴DB2+DC2=DA2． （3）以 BD 为边作等边△BDE，连 CE， 过 E 作 EH⊥CD 交 CD 的延长线于点 H， 可知△ABD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=13， 设 DH=x， 在 Rt△DEH 中：DE2—DH2=EH2，即 ， 在 Rt△CEH 中：CE2—CH2=EH2， ，∴ = ， ∴x=5 即 DH=5，∴EH=5=DH， ∠EDH=450， ∴∠CDB=1800—450—600=750． ( )2 2 25 2 EH=— x ( )22 213 7 x EH− + = ( )2 25 2 — x ( )2213 7 x− + ∴