2020年八年级数学开学摸底考检测题（人教版，河南专用）

2020 年开学摸底考八年级数学摸底考 B 卷 一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.下列属于最简二次根式的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 A． =2 ，不符合题意； B． 是最简二次根式； C． =2，不符合题意； D． = ，不符合题意；故选：B． 2.下列各组数中以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．a=2，b=3，c=4 B．a=5，b=12，c=13 C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5 【答案】A 【解析】解：A 选项中，∵22+32=42，∴2，3，4 不能作为直角三角形的三边长； B、C、D 选项的三个数都满足这种关系，能作为直角三角形的三边长． 故选 A． 3.正方形具有而菱形不具有的性质是 　　 A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 8 5 4 1 3 8 2 5 4 1 3 3 3 ( )【答案】B 【解析】解： 正方形和菱形都满足： 四条边都相等， 对角线平分一组对角， 对角线垂直且互相平分； 菱形的对角线不一定相等， 而正方形的对角线一定相等 ． 故选： ． 4.下列运算正确的是（　　） A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3 ﹣2 = D．（a+2）（a﹣2）=a2+4 【答案】C 【解析】 A、a3•a2=a5，故 A 选项错误； B、a﹣2= ，故 B 选项错误； C、3 ﹣2 = ，故 C 选项正确； D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故 D 选项错误，故选 C 5.下列命题： ①如果 a，b，c 为一组勾股数，那么 4a，4b，4c 仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是 5、12，那么斜边必是 13； ③如果一个三角形的三边是 12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是 a，b，c（a＞b=c），那么 a2：b2：c2=2：1：1． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【解析】根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆 B 2 1 a 3 3 3 2 1 a 3 3 3定理对③进行判断；根据等腰直角三角形的性质对④进行判断． 【解答】解：如果 a，b，c 为一组勾股数，那么 4a，4b，4c 仍是勾股数，所以①正确； 如果直角三角形的两边是 5、12，那么斜边是 13 或 ，所以②错误； 如果一个三角形的三边是 12、25、21，那么此三角形不是直角三角形，所以③错误； 一个等腰直角三角形的三边是 a，b，c（a＞b=c），那么 a2：b2：c2=2：1：1，所以④正确． 故选 C． 6.如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 的中点，若 ，则 的度数为 　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由菱形的性质和等腰三角形的性质可得 ，由三角形中位线定理可得 ， 即可求解． 解： 四边形 是菱形 ，且 ， 分别是 ， 的中点， 故选： ． 7.已知（4+ ）•a=b，若 b 是整数，则 a 的值可能是（　　） 119 ABCD E F AB AC 50B∠ = ° AFE∠ ( ) 50° 60° 65° 70° 65BCA BAC∠ = ∠ = ° / /EF BC  ABCD AB BC∴ = 50B∠ = ° 65BCA BAC∴∠ = ∠ = ° E F AB AC / /EF BC∴ 65AFE BCA∴∠ = ∠ = ° C 3A． B．4+ C．4﹣ D．2﹣ 【答案】C 【解析】 （4+ ）×（4- ）=42-（ ）2=16-3=13，是整数， 所以 a 的值可能为 4- ，故选 C 8.已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同 时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（　　） A．25 海里 B．30 海里 C．35 海里 D．40 海里 【答案】D． 【解析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了 32， 24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了 16×2=32 海里，12×2=24 海里， 根据勾股定理得： =40（海里）． 故选 D． 3 3 3 3 3 3 3 3 22 2432 +9.已知：如图， 是正方形 内的一点，且 ，则 的度数为 　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用等边三角形和正方形的性质求得 ，然后利用等腰三角形的性质求得 的度 数，从而求得 的度数，利用三角形的内角和求得 的度数． 解： ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 同理可得 ， ， 故选： ． 10.△ABC 中，AB=13cm，AC=15cm，高 AD=12，则 BC 的长为（　　） M ABCD MC MD AD= = AMB∠ ( ) 120° 135° 145° 150° 30ADM∠ = ° MAD∠ BAM ABM∠ = ∠ AMB∠ MC MD AD CD= = = MDC∴∆ 60MDC DMC MCD∴∠ = ∠ = ∠ = ° 90ADC BCD∠ = ∠ = ° 30ADM∴∠ = ° 75MAD AMD∴∠ = ∠ = ° 15BAM∴∠ = ° 15ABM∠ = ° 180 15 15 150AMB∴∠ = ° − ° − ° = ° DA．14 B．4 C．14 或 4 D．以上都不对 【答案】C． 【解析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得 BD，CD，再由图形求出 BC，在 锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD． 解：（1）如图，锐角△ABC 中，AB=13，AC=15，BC 边上高 AD=12， 在 Rt△ABD 中 AB=13，AD=12，由勾股定理得 BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25， 则 BD=5， 在 Rt△ABD 中 AC=15，AD=12，由勾股定理得 CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81， 则 CD=9， 故 BC=BD+DC=9+5=14； （2）钝角△ABC 中，AB=13，AC=15，BC 边上高 AD=12， 在 Rt△ABD 中 AB=13，AD=12，由勾股定理得 BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25， 则 BD=5， 在 Rt△ACD 中 AC=15，AD=12，由勾股定理得 CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81， 则 CD=9， 故 BC 的长为 DC﹣BD=9﹣5=4． 故选：C．二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11.化简 的结果为_____． 【答案】 +1 【解析】 原式＝[（ ﹣1）（ +1）]2017•（ +1）＝（2﹣1）2017•（ +1）＝ +1． 故答案为： +1． 12.命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　 　，逆命题是　 　命题（填“真” 或“假”）． 【答案】两个角相等三角形是等腰三角形，真． 【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断 出真假． 解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形，真． ( ) ( )2017 2018 2 1 2 1− + 2 2 2 2 2 2 213.已知 ，则 xy2=_________． 【答案】18 【解析】根据题意得，x-2≥0 且 4-2x≥0， 解得 x≥2 且 x≤2， 所以，x=2， y=3， ∴ . 故答案为：18. 14.如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， 平分 交 于点 ，若 ， 则 的度数等于　 　． 【答案】 【解析】由矩形 ，得到 ，根据 平分 ，得到等边三角形 ，推出 ，求 出 、 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到 ，根据三角形的内角和定理即 可求出答案． 解： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， y 2 4 2 3x x= − − − + 2 22 3 18xy = × = ABCD AC BD O AE BAD∠ BC E 15CAE∠ = ° BOE∠ 75° ABCD OA OB= AE BAD∠ OAB AB OB= OAB∠ OBC∠ OB BE=  ABCD / /AD BC∴ AC BD= OA OC= OB OD= 90BAD∠ = ° OA OB∴ = DAE AEB∠ = ∠ AE BAD∠ 45BAE DAE AEB∴∠ = ∠ = ° = ∠， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为 ． 15. 一只蚂蚁从长为 4cm、宽为 3cm，高是 5cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路 线的长是　 　cm． 【答案】 ． 【解析】 AB BE∴ = 15CAE∠ = ° 45 15 30DAC∴∠ = ° − ° = ° 60BAC∠ = ° BAO∴∆ AB OB∴ = 60ABO∠ = ° 90 60 30OBC∴∠ = ° − ° = ° AB OB BE= = 1 (180 30 ) 752BOE BEO∴∠ = ∠ = ° − ° = ° 75° 74解：将长方体的每相邻侧面展开成一个侧面，蚂蚁从 A 到 B 的爬行距离有三种情况： （1）如图 1，前面与上面，A 到 B 的距离为 AB= （㎝） （2）如图 2，前面与右面，A 到 B 的距离为 AB= （㎝） （3）如图 3，左面与上面，A 到 B 的距离为 AB= （㎝） ∵ ∴蚂蚁所行的最短路线为 cm． 故答案为： 16.如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 ， 过点 作 于 ，下列四个结论： ① ； ② ； ③点 到 各边的距离相等； ④设 ， ，则 ． 其中正确的结论是　 ．（填序号） 5480)35(4 22 ==++ 74345 22 =++ ）（ 10390453 22 ==++ ）（ 1035474 ＜＜ 74 74 ABC∆ ABC∠ ACB∠ O O / /EF BC AB E AC F O OD AC⊥ D EF BE CF= + 190 2BOC A∠ = ° + ∠ O ABC∆ OD m= AE AF n+ = AEFS mn∆ =【答案】①②③ 【解析】由在 中， 和 的平分线相交于点 ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理， 即可求得② 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出 和 是等腰三角 形得出 故①正确；由角平分线的性质得出点 到 各边的距离相等，故③正确；由角 平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设 ， ，则 ，故④错 误． 解： 在 中， 和 的平分线相交于点 ， ， ， ， ， ；故②正确； 在 中， 和 的平分线相交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ABC∆ ABC∠ ACB∠ O 190 2BOC A∠ = ° + ∠ BEO∆ CFO∆ EF BE CF= + O ABC∆ OD m= AE AF n+ = 1 2AEFS mn∆ =  ABC∆ ABC∠ ACB∠ O 1 2OBC ABC∴∠ = ∠ 1 2OCB ACB∠ = ∠ 180A ABC ACB∠ + ∠ + ∠ = ° 190 2OBC OCB A∴∠ + ∠ = ° − ∠ 1180 ( ) 90 2BOC OBC OCB A∴∠ = ° − ∠ + ∠ = ° + ∠  ABC∆ ABC∠ ACB∠ O OBC OBE∴∠ = ∠ OCB OCF∠ = ∠ / /EF BC OBC EOB∴∠ = ∠ OCB FOC∠ = ∠ EOB OBE∴∠ = ∠ FOC OCF∠ = ∠ BE OE∴ = CF OF= EF OE OF BE CF∴ = + = +过点 作 于 ，作 于 ，连接 ， 在 中， 和 的平分线相交于点 ， ， ；故④错 误； 在 中， 和 的平分线相交于点 ， 点 到 各边的距离相等，故③正确． 故答案是：①②③ 三、解答题（一）（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 17.计算 (1) 【解析】 原式= =1× × =10； (2) 【解析】 O OM AB⊥ M ON BC⊥ N OA  ABC∆ ABC∠ ACB∠ O ON OD OM m∴ = = = 1 1 1 1 1( )2 2 2 2 2AEF AOE AOFS S S AE OM AF OD OD AE AF mn∆ ∆ ∆∴ = + = + = + =    ABC∆ ABC∠ ACB∠ O ∴ O ABC∆ 2 1 3 675 ÷× 23 675 ×× 3 1 2675 ×× ）（）（ 1-313 18 627 ×++×原式= +（3﹣1） =3+2 =5； 18.在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AC=6，BC=8， （1）求 AB 的长； （2）求 CD 的长． 【解析】（1）用勾股定理求出斜边 AB 的长度； （2）用面积就可以求出斜边上的高． 解：（1）在 Rt△ABC 中 由勾股定理得：AB= =10； （2）由面积公式得：S△ABC= AC•BC= AB•CD ∴CD=6×8÷2×2÷10=4.8． 19.如图，已知菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过 作 ，交 的延长线于点 ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ，求 的度数． 18 627× 22 BCAC + 2 1 2 1 ABCD AC BD O C CE AC⊥ AB E BECD 50E∠ = ° DAB∠【解析】（1）直接利用菱形的性质对角线互相垂直，得出 ，进而得出答案； （2）利用菱形、平行四边形的性质得出 ，进而利用三角形内角和定理得出答案． （1）证明： 四边形 是菱形， ， ， 又 ， ， 四边形 是平行四边形； （2）解： 四边形 是菱形， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ． 20.如图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 处，已知 CE=3，AB=8，求 BF． / /BD EC 50CEA DBA∠ = ∠ = °  ABCD AC BD∴ ⊥ / /DC BE CE AC⊥ / /BD EC∴ ∴ BECD  ABCD AD AB∴ = ADB ABD∴∠ = ∠  BECD / /DB CE∴ 50CEA DBA∴∠ = ∠ = ° 50ADB∴∠ = ° 180 50 50 80DAB∴∠ = ° − ° − ° = °【解析】设 BC=x，AF 可用含 x 的式子表示，CF 可以根据勾股定理求出，然后用 x 表示出 BF，在 Rt△ABF 中，利用勾股定理，可建立关于 x 的方程，即可得出 BF 的长． 解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5； 在 Rt△CEF 中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4， 若设 AD=AF=x，则 BC=x，BF=x﹣4； 在 Rt△ABF 中，由勾股定理可得： 82+（x﹣4）2=x2，解得 x=10， 故 BF=x﹣4=6． 四、解答题（二）（本大题 4 小题，每小题 10 分，共 40 分） 21.已知 a＝3＋2 ，b＝3－2 ，求 a2b－ab2 的值． 【解析】 ∵a＝3＋2 ，b＝3－2 ， ∴ab= , ∴ . 22 如图，点 ， ， ， 依次在同一条直线上，点 ， 分别在直线 的两侧，已知 ， ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形． （2）若 ， ， ，当四边形 是菱形时，求 的长． 2 2 2 2 (3+2 2)(3 2 2) 1, (3 2 2) (3 2 2) 4 2a b− = − = + − − = 2 2 ( ) 1 4 2 4 2a b ab ab a b− = − = × = A B C D E F AD / /BE CF A D∠ = ∠ AE DF= BFCE 10AD = 3EC = 60EBD∠ = ° BFCE AB【解析】（1）想办法证明 即可解决问题． （2）利用全等三角形的性质证明 即可解决问题． （1）证明： ， ， ， ， ， ∴△ABE≌△DCF(AAS) ， ， 四边形 是平行四边形． （2）解： 四边形 是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴AB= (10-3)= 23.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示 AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所 在的位置在点 C 和点 D 处，CA⊥AB 于 A，DB⊥AB 于 B，已知 AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问： 图书室 E 应该建在距点 A 多少 km 处，才能使它到两所学校的距离相等？ BE CF= AB CD= / /BE CF EBC FCB∴∠ = ∠ EBA FCD∴∠ = ∠ A D∠ = ∠ AE DF= BE CF∴ = AB CD= ∴ BFCE  BFCE 60EBD∠ = ° CBE∴∆ 3BC EC∴ = = 10AD = AB DC= × 2 1 2 7【解析】设 AE=x，然后用 x 表示出 BE 的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出 CE、DE 的 长，然后列方程求解． 解：设 AE=xkm，则 BE=（25﹣x）km； 在 Rt△ACE 中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152； 同理可得：DE2=（25﹣x）2+102； 若 CE=DE，则 x2+152=（25﹣x）2+102； 解得：x=10； 答：图书室 E 应该建在距 A 点 10km 处，才能使它到两所学校的距离相等． 24.阅读材料：(一)如果我们能找到两个实数 x、y 使 且 ，这样 ，那么我们就称 为“和谐二次根式”， 则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”. 例如： . (二)在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一 步化简： ，那么我们称这个过程为分式的分母有理化. 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① ___________，② ___________； x y a+ = xy b= ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2a b x y x y x y x y+ = + + ⋅ = + = + 2a b+ ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2+ = + + ⋅ = + = + 2 3 1+ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 3 1 2 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 × − × − = = = − + + − − 11 2 28+ = =34-7(2)已知 ， ，求 的值； (3)设 的小数部分为 ，求证： . 【答案】 ① ，② ；（2） ；（3）证明见解析. 【解析】 （1）解：① ② （2） ， ； （3）证明： ∵6- 的整数是 4 ∴6- 的小数部分是 6- -4=2- 1 5 2 6 m = + 1 5 2 6 n = − m n m n − + 39 432− b 139 432 2b b − = + 7+2 2 3− 6 3 − 2 2 211 2 28 ( 7) ( 4) 2 7 4 ( 7 4) 7 2+ = + + ⋅ = + = + 2 2 27 4 3 7 2 12 ( 4) ( 3) 2 4 3 ( 4 3) 2 3− = − = + − ⋅ = − = − 23 23 1 625 1 −= + = + =m 23 23 1 625 1 += − = − =n 3 2 ( 3 2) 2 2m n∴ − = − − + = − 3 2 ( 3 2) 2 3m n+ = − + + = 2 2 6 32 3 m n m n − −∴ = = −+ 39 432 39 2 108 36 3 6 3− = − = − = − 3 3 3 3 2 3b∴ = −1 12 2(2 3) 4 2 3 2 3 6 3 2 3 b b ∴ + = − + = − + + = − − 139 432 2b b ∴ − = +