2020年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷（文科）

1 2020 年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1．若复数 ，则复数 的虚部为 　　 A．3 B． C．1 D． 2．设全集 ，集合 ，则 　　 A． B． C． D． 3．总体由编号为 01，02， ，39，40 的 40 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个 体，选取方法是从随机数表（如右表）第 1 行的第 4 列和第 5 列数字开始由左到右依次选取 两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 　　 60 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 92 66 22 15 86 76 63 75 41 99 58 42 36 72 24 A．23 B．21 C．35 D．32 4．已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方 　　 A． B． C． D． 5．等比数列 ， 且 ，则 　　 A．12 B．15 C．8 D． 6．设 是定义在 上的偶函数，且在 单调递减，则 　　 A． (1 )(2 )z i i= + − z ( ) 3− i U R= 2{ | 3 4 0}A x x x= − − > (U A = ) { | 1 4}x x− < < { | 4 1}x x− < < { | 1 4}x x−   { | 4 1}x x−   … ( ) 2 2: 4 0C x y x+ − = l (3, 3)P l ( ) 3 3 6 0x y− − = 3 6 0x y− − = 3 4 0x y+ − = 3 6 0x y+ − = { }na 0na > 5 6 3 8 54a a a a+ = 3 1 3 2 3 10log log log (a a a+ +…+ = ) 32 log 5+ ( )f x R (0, )+∞ ( ) 0.3 0.4 3(log 0.3) (2 ) (2 )f f f− −> >2 B． C． D． 7．执行如图的程序框图，则输出的 是 　　 A．36 B．45 C． D． 8．点 是 所在平面内一点且 ，在 内任取一点，则此点取自 内的概率是 　　 A． B． C． D． 9．函数 的图象为 ，以下结论中正确的是 　　 ①图象 关于直线 对称； ②图象 关于点 对称； ③由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 ． A．① B．①② C．②③ D．①②③ 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 　　 0.4 0.3 3(log 0.3) (2 ) (2 )f f f− −> > 0.3 0.4 3(2 ) (2 ) (log 0.3)f f f− −> > 0.4 0.3 3(2 ) (2 ) (log 0.3)f f f− −> > S ( ) 36− 45− P ABC∆ PB PC AP+ =   ABC∆ PBC∆ ( ) 1 2 1 3 1 4 1 5 ( ) 2sin(2 )3f x x π= − C ( ) C 5 12x π= C ( ,0))3 π− 2sin 2y x= 3 π C ( )3 A． B． C． D． 11．直 过抛物线 的焦点，且交抛物线于 ， 两点，交其准线于 ，已知 ，则 　　 A．2 B． C． D．3 12．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是 　　 A． B ． C． ， D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. 13． 若 ，则 （3） 　 　． 14．设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为　 　． 15．数列 满足 ，则 　　， 　　． 16．若 为 的各位数字之和，如 ， ，记 ， ， ， ， ， 则 （8） 　　． 三、解答题：共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 324 4 π+ 524 4 π+ 24 π+ 38 4 π+ l 2 2 ( 0)y px p= > A B C | | 6, 2AF CB BF= =  | | (BF = ) 4 3 8 3 1( ) 3 ( )3 x xf x = + (2 ) ( 1)f x f x> + x ( ) ( ,1)−∞ (1, )+∞ 1( 3 − 1) 1( , ) (1, )3 −∞ − +∞ sin ( 0)( ) 6 1 2 ( 0) x xf x x x π=   − >  [f f ] = x y 2 2 0 2 4 0 1 0 x y x y x + −  − +  −    2 3z y x= − { }na * 1 2 32 3 2 1( )n na a a na n N+ + +…+ = − ∈ 3a = na = ( )f n 2 *1( )n n N+ ∈ 214 1 197+ = (14) 1 9 7 17f = + + = 1( ) ( )f n f n= 2 1( ) ( ( ))f n f f n= 3 2( ) ( ( ))f n f f n= 1( ) ( ( ))k kf n f f n+… = *k N∈ 2020f =4 17．（10 分）已知函数 ， ． （1）求 的单调递增区间； （2） 内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 且 为锐角， ， ，求 的面积． 18 ．（ 10 分 ） 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， 为 的 中 点 ， ． 证明： 平面 ． 若 ， ，求点 到平面 的距离， 19．（10 分）为了解某地区某种农产品的年产量 （单位：吨）对价格 （单位：千元 吨） 和利润 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： 1 2 3 4 5 7 6 5 4 2 （1）求 关于 的线性回归方程 ； （2）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时， 年利润 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式： ， ． 20．（10 分）已知椭圆 的离心率为 ．且经过点 （1）求随圆 的方程； 2( ) 2sin 2 3sin cos 1f x x x x= + − x R∈ ( )f x ABC∆ A B C a b c ( ) 12 Af = A 3a = sin 2sinC B= ABC∆ 1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ E 1 1AC 1CE AC⊥ ( )I CE ⊥ 1 1AB C ( )II 1 13, 6C E AA= = 2AB BC= E 1AB C x y / z x y y x ˆˆ ˆy bx a= + z 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑   ˆˆa y bx= − 2 2 2 2: 1(0 )x yC b aa b + = < < 3 2 3(1, )2 C5 （2）过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，且满足条件 的点 在椭圆 上，求直线 的方程． 21．（10 分 ）已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 的极值点的个数； （Ⅱ）若 有两个极值点 ， ，证明： ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第 一题计分，作答时请先涂题号，[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 中，把曲线 为参数）上每个点的横坐标变 为原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线 ．以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线 的极坐标方程 ． （Ⅰ）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 （Ⅰ）求函数 的最大值 ； （Ⅱ）正数 ， ， 满足 ，求证： ． (0,2) l C A B OM OA OB= +   M C l 2( ) 1 ( 0)f x nx ax x a= − − +  ( )f x ( )f x 1x 2x 1 2 1 2( ) ( ) (1 2 2)f x f x x x ln+ < + − + xOy 1 2cos: 2sin xC y α α =  = (α 3 2C x 3C sin( ) 4 24 πρ θ − = 2C 3C M 2C N 3C | |MN M ( ) | 3| | 2 |f x x x= + − − ( )f x m a b c 2 3a b c m+ + = 1 2 3 36 5a b c + + 6 2020 年陕西省宝鸡市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1．若复数 ，则复数 的虚部为 　　 A．3 B． C．1 D． 解： ， 复数 的虚部为 1． 故选： ． 2．设全集 ，集合 ，则 　　 A． B． C． D． 解： 或 ， ， ． 故选： ． 3．总体由编号为 01，02， ，39，40 的 40 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个 体，选取方法是从随机数表（如右表）第 1 行的第 4 列和第 5 列数字开始由左到右依次选取 两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 　　 60 44 66 44[来源:Z+xx+k.Com] 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 92 66 22 15 86 76 63 75 41 99 58 42 36 72 24 A．23 B．21 C．35 D．32 (1 )(2 )z i i= + − z ( ) 3− i 2(1 )(2 ) 2 2 3z i i i i i i= + − = − + − = + ∴ z C U R= 2{ | 3 4 0}A x x x= − − > (U A = ) { | 1 4}x x− < < { | 4 1}x x− < < { | 1 4}x x−   { | 4 1}x x−   { | 1A x x= < − 4}x > U R= { | 1 4}U A x x∴ = −   C … ( )7 解：选取方法是从随机数表（如右表）第 1 行的第 4 列和第 5 列数字开始由左到右依次选取 两个数字中小于 40 的编号为 16，26，24，23，21， 则第 5 个个体的编号为 21． 故选： ． 4．已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方 　　 A． B． C． D． 解：圆 的圆心坐标 ， 所以有题意直线 地方斜率为： ， 所以切线方程为： ，即 ， 故选： ． 5．等比数列 ， 且 ，则 　　 A．12 B．15 C．8 D． 解： 等比数列 ， 且 ， ， ． 故选： ． 6．设 是定义在 上的偶函数，且在 单调递减，则 　　 A． B． C． D． 解：由 是定义在 上的偶函数，且在 单调递减， B 2 2: 4 0C x y x+ − = l (3, 3)P l ( ) 3 3 6 0x y− − = 3 6 0x y− − = 3 4 0x y+ − = 3 6 0x y+ − = 2 2: 4 0C x y x+ − = (2,0) l 3 0 33 2 − =− 3 3( 3)y x− = − 3 3 6 0x y− − = A { }na 0na > 5 6 3 8 54a a a a+ = 3 1 3 2 3 10log log log (a a a+ +…+ = ) 32 log 5+  { }na 0na > 5 6 3 8 54a a a a+ = 5 6 3 8 27a a a a∴ = = 3 1 3 2 3 10 3 1 2 3 10log log log log ( )a a a a a a a∴ + +…+ = × × ×…× 5 3 5 6 3( ) 5log 27 15log a a= = = B ( )f x R (0, )+∞ ( ) 0.3 0.4 3(log 0.3) (2 ) (2 )f f f− −> > 0.4 0.3 3(log 0.3) (2 ) (2 )f f f− −> > 0.3 0.4 3(2 ) (2 ) (log 0.3)f f f− −> > 0.4 0.3 3(2 ) (2 ) (log 0.3)f f f− −> > ( )f x R (0, )+∞8 因为 ， 因为 ， ， 所以 ． 故选： ． 7．执行如图的程序框图，则输出的 是 　　 A．36 B．45 C． D． 解 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 的值， 由 于 ． 故选： ． 8．点 是 所在平面内一点且 ，在 内任取一点，则此点取自 内的概率是 　　 A． B． C． D． 解：以 ， 为邻边作平行四边形 ， 为 中点， 故 ， 所以 ， 所以 ， 3 2 2 10 10(log 0.3) ( log ) (log )3 3f f f= − = 0.4 0.30 2 2 1− −< < < 2 10 13log > 0.3 0.4 3(log 0.3) (2 ) (2 )f f f− −< < D S ( ) 36− 45− 2 2 2 2 21 2 3 7 8S = − + − +…− + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 7 8 (2 1 ) (4 3 ) (6 5 ) (8 7 ) 3 7 11 15 36S = − + − +…− + = − + − + − + − = + + + = A P ABC∆ PB PC AP+ =   ABC∆ PBC∆ ( ) 1 2 1 3 1 4 1 5 PB PC PBDC M BC 2PB PC PD PM+ = =    2AP PM=  1 3PBC ABCS S∆ =9 在 内任取一点，则此点取自 内的概率 ． 故选： ． 9．函数 的图象为 ，以下结论中正确的是 　　 ①图象 关于直线 对称； ②图象 关于点 对称； ③由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 ． A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解：对于函数 的图象为 ， 令 ，求得 ，为最大值，故函数 的图象关于直线 对称，故①正确； 令 ，求得 ， 图象 关于点 对称，故②正确； 由 的图象向右平移 个单位长度可以得到 的图象，故③不正确， 故选： ． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 　　 ∴ ABC∆ PBC∆ 1 3 PBC ABC SP S ∆ ∆ = = B ( ) 2sin(2 )3f x x π= − C ( ) C 5 12x π= C ( ,0))3 π− 2sin 2y x= 3 π C ( ) 2sin(2 )3f x x π= − C 5 12x π= ( ) 2f x = ( ) 2sin(2 )3f x x π= − 5 12x π= 3x π= − ( ) 0f x = ∴ C ( ,0)3 π− 2sin 2y x= 3 π 22sin(2 )3y x π= − B ( )10 A． B． C． D． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为：一个正方体和一个 的球体组成的组合体． 故 ． 故选： ． 11．直 过抛物线 的焦点，且交抛物线于 ， 两点，交其准线于 ，已知 ，则 　　 A．2 B． C． D．3 解：过 ， 分别作准线的垂线交准线于 ， ． ， ， ，且 ， 设 ，则 ， 根据三角形的相似性可得 ，即 ，解得 ， ，即 ， ． 故选： ． 324 4 π+ 524 4 π+ 24 π+ 38 4 π+ 1 8 2 21 1 36 4 4 1 1 248 4 4S ππ π= × + × + × × = + A l 2 2 ( 0)y px p= > A B C | | 6, 2AF CB BF= =  | | (BF = ) 4 3 8 3 A B E D  | | 6, 2AF CB BF= =  | | 6AE∴ = | | 2 | |CB BF= | | | |BF BD= | | | |BF BD a= = | | 2BC a= BD CB AE AC = 2 6 3 6 a a a = + 2a = ∴ GF CF AE AC = 6 6 12 P = 3p∴ = D11 12．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是 　　 A． B． C． ， D． 解：根据题意，函数 ，有 ，则函数 为偶函数， 其导数 ，即函数 在 ， 上为增函数， 若 ，则有 ，即 ， 解可得： 或 ， 即不等式的解集为 ， ， ；[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 故选： ． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上. 13．若 ，则 （3） 　 　． 解： （3） 1( ) 3 ( )3 x xf x = + (2 ) ( 1)f x f x> + x ( ) ( ,1)−∞ (1, )+∞ 1( 3 − 1) 1( , ) (1, )3 −∞ − +∞ 1( ) 3 ( )3 x xf x = + 1( ) 3 ( )3 x xf x− = + ( )f x ( ) 3 3 3 3 (3 3 ) 3 0x x x xf x ln ln ln− −′ = − = −  ( )f x [0 )+∞ (2 ) ( 1)f x f x> + (| 2 |) (| 1|)f x f x> + | 2 | | 1|x x> + 1 3x < − 1x > (−∞ 1) (13 − ∪ )+∞ D sin ( 0)( ) 6 1 2 ( 0) x xf x x x π=   − >  [f f ] = 1 2 − f 1 2 3 5= − × = −12 （3） 故答案为 ． 14．设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为　4　．[来 源:Z*xx*k.Com] 解：满足约束条件 的可行域如图所示： 函数 ， ， ， 即目标函数 的最大值为 4 故答案为：4 15．数列 满足 ，则 　 　， 　　． 解：数列 满足 ， 可得 ， ，两式作差可得 ， 则 ， ， [f f 5 1] ( 5) sin( )6 2f π−= − = = − 1 2 − x y 2 2 0 2 4 0 1 0 x y x y x + −  − +  −    2 3z y x= − 2 2 0 2 4 0 1 0 x y x y x + −  − +  −     2 3z y x= − 3Az∴ = − 2Bz = 4Cz = 2 3z y x= − { }na * 1 2 32 3 2 1( )n na a a na n N+ + +…+ = − ∈ 3a = 4 3 na = { }na * 1 2 32 3 2 1( )n na a a na n N+ + +…+ = − ∈ 3 1 2 32 3 2 1 7a a a+ + = − = 2 1 22 2 1 3a a+ = − = 33 4a = 3 4 3a = 1 2 32 3 2 1n na a a na+ + +…+ = −13 ， 两式作差可得： ， 所以 ． 故答案为： ； ． 16．若 为 的各位数字之和，如 ， ，记 ， ， ， ， ， 则 （8） 　5　． 解 ： 由 为 的 各 位 数 字 之 和 ， 如 ， ， 则 ； ， ， ， ， ， 因为 ， 则 （8） ， 因为 ， ， （8） ， 因为 ， ， （8） ， 因为 ， ， 所以 （8） ， 可得： （8） 是 3 为周期的数列， 则 （8） （8） ， 故答案为：5． 三、解答题：共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 1 1 2 3 12 3 ( 1) 2 1n na a a n a − −+ + +…+ − = − 1 12 2 2n n n nna − −= − = 12n na n − = 4 3 12n n − ( )f n 2 *1( )n n N+ ∈ 214 1 197+ = (14) 1 9 7 17f = + + = 1( ) ( )f n f n= 2 1( ) ( ( ))f n f f n= 3 2( ) ( ( ))f n f f n= 1( ) ( ( ))k kf n f f n+… = *k N∈ 2020f = ( )f n 2 1( *)n n N+ ∈ 214 1 197+ = 1 9 7 17+ + = (14) 17f = 1( ) ( )f n f n= 2 1( ) ( ( ))f n f f n= … 1( ) ( ( ))k kf n f f n+ = *k N∈ 28 1 65+ = 1f 11= 211 1 122+ = 1 2 2 5+ + = 2f 5= 25 1 26+ = 6 2 8+ = 3f 8= 28 1 65+ = 6 5 11+ = 4f 11= { nf } 2009f 2f= 5=14 17．（10 分）已知函数 ， ． （1）求 的单调递增区间； （2） 内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 且 为锐角， ， ，求 的面积． 解：（1）由于函数 ， 令 ， ，解得： ， ， 可得函数 的单调递增区间为： ， ， ． （2） 且 为锐角，可得 ，解得： ， 由 ， ，可得 ，可得 ， ， 由正弦定理可得 ， 又 ，由余弦定理 ，可得 ， 解得 ， ， ． 18 ．（ 10 分 ） 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， ， 为 的 中 点 ， ． 证明： 平面 ． 若 ， ，求点 到平面 的距离， 证明： 在直三棱柱 中， ， 2( ) 2sin 2 3sin cos 1f x x x x= + − x R∈ ( )f x ABC∆ A B C a b c ( ) 12 Af = A 3a = sin 2sinC B= ABC∆ 2( ) 2sin 2 3sin cos 1 1 cos2 3sin 2 1 2sin(2 )6f x x x x x x x π= + − = − + − = − 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− − +  k Z∈ 6 3k x k π ππ π− +  k Z∈ ( )f x [ 6k ππ − ]3k ππ + k Z∈  ( ) 12 Af = A 2sin(2 ) 12 6 A π× − = 1sin( )6 2A π− = ∴ (6 6A π π− ∈ − )3 π 6 6A π π− = 3A π= sin 2sinC B= ∴ 2c b= 3a = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2 2 29 4 2 3b c bc b b b b= + − = + − = ∴ 3b = 2 3c = 1 1 3 3 3sin 3 2 32 2 2 2ABCS bc A∆∴ = = × × × = 1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ E 1 1AC 1CE AC⊥ ( )I CE ⊥ 1 1AB C ( )II 1 13, 6C E AA= = 2AB BC= E 1AB C ( )I  1 1 1ABC A B C− AC BC⊥15 ， ， ， 平面 平面 ． ， ． ， 平面 ． 解： 直三棱柱 中， ， 为 的中点， ． ， ， ， ， 设点 到平面 的距离为 ， ， ， 解得 ． 点 到平面 的距离为 ． 19．（10 分）为了解某地区某种农产品的年产量 （单位：吨）对价格 （单位：千元 吨） 和利润 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： 1 2 3 4 5 7 6 5 4 2 1 1 1B C CC∴ ⊥ 1 1 1 1B C AC⊥ 1 1 1 1CC AC C=  1 1B C∴ ⊥ CE∴ ⊥ 1 1AB C 1 1CE B C∴ ⊥ 1CE AC⊥ 1 1 1 1AC B C C= CE∴ ⊥ 1 1AB C ( )II  1 1 1ABC A B C− AC BC⊥ E 1 1AC 1CE AC⊥ 1 13, 6C E AA= = 2AB BC= 1 1 1 2 3 6 3 22 2AECS AC AA∆∴ = × × = × × = 1 2 2 1 1 1 2 3 2 4 2 152 2ACBS AC B C= × × = × × + =  E 1AB C h  1 1B AEC E ACBV V− −= ∴ 11 1 1 1 3 3ACE ACBS B C S h∆ × = × ×  1 3 2 2 2 303 1 5153 h × × = = × ∴ E 1AB C 2 30 5 x y / z x y16 （1）求 关于 的线性回归方程 ； （2）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时， 年利润 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式： ， ． 解：（1） ， ． ， ， ， ． 关于 的线性回归方程为 ． （2） ， 当 时，利润 取得最大值． 20．（10 分）已知椭圆 的离心率为 ．且经过点 （1）求随圆 的方程； （2）过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，且满足条件 的点 在椭圆 上，求直线 的方程． 解：（1）由题意可知， ，解得 ， 椭圆 的方程为： ； （2）显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，设 ， ， ， ， 联立方程： ，消去 得： ， ， ， y x ˆˆ ˆy bx a= + z 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ˆ ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑   ˆˆa y bx= − 1 (1 2 3 4 5) 35x = + + + + = 1 (7 6 5 4 2) 4.85y = + + + + = 5 1 60i i i x y = =∑ 5 2 1 55i i x = =∑ ∴ 60 5 3 4.8ˆ 1.255 5 9b − × ×= = −− × ˆ 4.8 1.2 3 8.4a = + × = y∴ x ˆ 1.2 8.4y x= − + 2 28 128( 1.2 8.4) 2 1.2 6.4 1.2( )3 15z x x x x x x= − + − = − + = − − + ∴ 8 2.673x = ≈ z 2 2 2 2: 1(0 )x yC b aa b + = < < 3 2 3(1, )2 C (0,2) l C A B OM OA OB= +   M C l 2 2 2 2 2 1 3 14 3 2 a b c a a b c  + =   =  = +  2 1 3 a b c  =  =  = ∴ C 2 2 14 x y+ = l l 2y kx= + 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2 2 2 14 y kx x y = + + = y 2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx+ + + = ∴ 1 2 2 16 1 4 kx x k −+ = + 1 2 2 12 1 4x x k = +17 ， ， ， ，[ 点 的坐标为 ， 又 点 在椭圆 上， ，[来源:学。科。网] 化简得： ， 解得： ， ， 直线 的方程为： ． 21．（10 分）已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 的极值点的个数； （Ⅱ）若 有两个极值点 ， ，证明： ． 解：（Ⅰ） ， ， ①当 ， ，由 ，得 ， ， ， 单调递减； ， ， 单调递增； 是 得一个极值点． ②当 时， 若△ ，即 时， ， 在 上单调递减， 无极值； 若 △ ， 即 时 ， 有 两 个 根 ， ， ， ， ， ，不防设 ， 当 ， ， ， 单调递减； ， ， ， 单调递增； ， ， ， 单调递减； 1 2 1 2 1 2 2 42 2 ( ) 4 1 4y y kx kx k x x k ∴ + = + + + = + + = +  OM OA OB= +   ∴ 1 2(OM x x= + 1 2 2 2 16 4) ( , )1 4 1 4 ky y k k −+ = + + ∴ M 2 2 16 4( , )1 4 1 4 k k k − + +  M C ∴ 2 2 2 2 16 4( ) 4( ) 41 4 1 4 k k k − + =+ + 4 216 56 15 0k k− − = 2 15 4k = ∴ 15 2k = ± ∴ l 15 22y x= ± + 2( ) 1 ( 0)f x nx ax x a= − − +  ( )f x ( )f x 1x 2x 1 2 1 2( ) ( ) (1 2 2)f x f x x x ln+ < + − + 21 2 1( ) 2 1 ax xf x axx x − + −′ = − − + = ( 0)x > 0a = 1( ) xf x x −′ = ( ) 0f x′ = 1x = (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 1x∴ = ( )f x 0a > 1 8 0a= −  1 8a ( ) 0f x′  ( )f x (0, )+∞ ( )f x 1 8 0a= − > 10 8a< < 22 1 0ax x− + = 1x 2x 1 2 1 02x x a + = > 1 2 1 02x x a = > 1x∴ 2 0x > 1 20 x x< < (0x∈ 1x ) ( ) 0f x′ < ( )f x 1(x x∈ 2x ) ( ) 0f x′ > ( )f x 2(x x∈ )+∞ ( ) 0f x′ < ( )f x18 ， 为 的两个极值点． 综上所述：当 ， 有一个极值点； 当 时， 无极值； 当 时， 有两个极值点． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当 时， 有两个极值点， 有极小值点 ， 有极大值点 ． 且 ， ， ， 令 （a） ， （a） ， （a）在 上单调递增， 故 （a） ． ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第 一题计分，作答时请先涂题号，[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在直角坐标系 中，把曲线 为参数）上每个点的横坐标变 为原来的 倍，纵坐标不变，得到曲线 ．以坐标原点为极点， 以 轴正半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线 的极坐标方程 ． 1x∴ 2x ( )f x 0a = ( )f x 1 8a ( )f x 10 8a< < ( )f x 10 8a< < ( )f x ( )f x∴ 1x ( )f x 2x 1 2 1 02x x a + = > 1 2 1 02x x a = > 2 1 2 1 1 1( ) ( ) (f x f x lnx ax x∴ + = − − + 2 2 2 2) ( )lnx ax x+ − − + 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )lnx x a x x x x= − − + + + 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) 2 ] ( )lnx x a x x x x x x= − − + − + + 2 1 2 1 1 1[( ) 2 ] ( )2 2 2ln a x xa a a = − − − + + 1 2 12 1 ( )4ln a x xa = − + + + ∴ g 1 2 1 2 1( ) ( ) 1 24f x f x x x lna lna = + − − = − + + g′ 2 1 1 04a a = + > g∴ 1(0, )8 g 1( ) 1 2 28g ln< = − − 1 2 1 2( ) ( ) (1 2 2)f x f x x x ln∴ + < + − + xOy 1 2cos: 2sin xC y α α =  = (α 3 2C x 3C sin( ) 4 24 πρ θ − =19 （Ⅰ）写出 的普通方程和 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标． 解：（Ⅰ）把曲线 为参数）上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标 不变，得到曲线 ，即 为参数）， 转换为直角坐标方程为 ． 曲线 的极坐标方程 ，整理得 ，转换为直角 坐标方程为 ． （ Ⅱ ） 设 ， 则 点 到 直 线 的 距 离 ， 当 时， ，且 ． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 （Ⅰ）求函数 的最大值 ； （Ⅱ）正数 ， ， 满足 ，求证： ． 解：（Ⅰ） ， 当且仅当 时等号成立， 的最大值 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ， ． ， ， 2C 3C M 2C N 3C | |MN M 1 2cos: 2sin xC y α α =  = (α 3 2C 2 3cos ( 2sin x y α α α  = = 2 2 112 4 x y+ = 3C sin( ) 4 24 πρ θ − = 2 2sin cos 4 22 2 ρ θ ρ θ− = 8 0x y− + = (2 3cos ,2sin )M θ θ M 8 0x y− + = | 4cos( ) 8|| 2 3cos 2sin 8| 6 2 2 d πθθ θ + +− += = 5 6 πθ = 4 2 2 2mind = = ( 3,1)M − ( ) | 3| | 2 |f x x x= + − − ( )f x m a b c 2 3a b c m+ + = 1 2 3 36 5a b c + +  ( ) | 3| | 2 | | ( 3) ( 2) | 5f x x x x x= + − − + − − = 2x ( )f x∴ 5m = 5m = 2 3 5a b c∴ + + = ∴ 2 3 15 5 5 a b c+ + = ∴ 1 2 3 1 2 3 2 3( ) ( )5 5 5 a b c a b c a b c + + = + + + + 1 2 3 2 4 6 3 6 9 5 5 5 5 5 5 5 5 5 b c a c a b a a b b c c = + + + + + + + + 14 2 2 3 3 6 6( ) ( ) ( )5 5 5 5 5 5 5 b a c a c b a b a c b c = + + + + + + 14 4 6 12 36 5 5 5 5 5 + + + =20 当且仅当 时等号成立， ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/4/21 22:41:37；用户：郭蒙；邮箱：guomeng453138187@163.com；学号：2915073 5 6a b c= = = ∴ 1 2 3 36 5a b c + + 