百师联盟 2020 届高三练习题四全国卷
理科数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小題答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设集合 ， ，则 A∩B=（ ）．
A． B． C． D．
2．已知 ， 是虚数单位，设 ， ，则 （ ）．
A． 或 B．1 或 C． D．1
3．根据《环境空气质量指数 技术规定（试行）》规定：空气质量指数在区间 、 、
、 、 、 时，其对应的空气质量状况分别为优、良、轻度污染、中
度污染、重度污染、严重污染．如图为某市 2019 年 10 月 1 日至 10 月 7 日的空气质量指数 直方图，
在这 7 天内，下列结论正确的是（ ）．
2{ | 2}A x y x x= = − + + { | 1}B x x= ≥
[ 1,2]− [1,2] ( 1,2)− [0,2]
a ∈R i 2z ai= + 3z z⋅ = a =
2 2− 1− 2
( )AQI [0,50] [51,100]
[101,150] [151,200] [201,300] (300, )+∞
( )AQIA．前 4 天 的方差小于后 3 天 的方差
B．这 7 天内空气质量状况为严重污染的天数为 3
C．这 7 天的平均空气质量状况为良
D．空气质量状况为优或良的概率为
4．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，
我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 80 名同学每人随机写下两个实数 ， （绝对值均小
于 1）组成实数对 ，再统计落在圆 上及内部的点的个数，最后根据统计个数 来估计 的
值，如果统计结果是 ，那么可以估计 的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．设椭圆 的离心率为 ， ， 为其左右焦点，点 为椭圆 上一动点，且
面积的最大值为 ，则椭圆 的方程为（ ）．
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，已知其正视图和侧视图都是由三个边长为 2 的等边三角形构成，则该几何
体的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
7．设数列 的各项均为正数，首项为 ，如图给出程序框图，当 时，输出 ，则数列
的通项公式为（ ）．
AQI AQI
2
7
π
π x y
( , )x y 2 2 1x y+ = P π
62P = π
31
10
23
7
47
15
78
25
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 1
2 1F 2F P E
1 2PF F△ 3 E
2 2
18 6
x y+ =
2 2
116 12
x y+ =
2 22 12 3
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
8π 10π 12π 16π
{ }na 1a 4k = 7M = { }naA． B．
C． D．
8．计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0~9 和结束字母 共 16 个计数符号，这
些符号与十进制数的对应关系如下：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示： ，则 等于（ ）．
A． B．70 C． D．
9．动点 在圆 上绕点 沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为 ，8
秒旋转一周，则动点 的横坐标 关于时间 （单位：秒）的函数解析式可以为（ ）．
A． B．
C． D．
10．在棱长为 3 的正方体 中， 为线段 中点， 为线段 上靠近 的三等分点，
则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）．
( 1) 12
n n − + ( 1)( 2) 22
n n− − +
( 1)( 2) 12
n n− − + ( 1) 22
n n − +
~A F
A B C D E F
1B F A+ = A E×
5F 6D 8C
( , )P x y 2 2( 1) 1x y− + = (1,0) 0
3 3,2 2P
P x t
cos 14 3x t
π π = + + cos 13 4x t
π π = + +
sin 24 6x t
π π = + + sin 23 6x t
π π = + +
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1AA F 1 1C D 1D
1A B EFA． B． C． D．
11．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线 的渐近线在第
一象限的交点为点 ，坐标原点为 ， 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B．2 C． D．3
12．设实数 ，在等差数列 中， ， ， 为数列 的前 项和，若满足
，且 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设向量 ， ，若 ，则 ．
14．一个质量均匀的正四面体的表面上分别标有 1，2，3，4，设函数 ，若 ， 是
先后抛掷该正四面体两次得到的朝下面上的数字，则 ， 恒成立的概率为 ．
15．若函数 的图象为曲线 ，若曲线 存在与直线 平行的切线，则实数 的
取值范围为 ．
16 ． 若函 数 对 任 意 的 恒 有 ，且 任 意 的 ， 均 有
．设 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
1
14
2
14
3
14
1
7
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ( ,0)F c 3
3x a= C
A O OAF△ 2a C
3
2
5
2
p ∈R { }na 1 1a p= + 2 3 1a p= + nS { }na n
1 2 3 4S S S S< < < 1n nS S +> ( )*7n n≥ ∈N p
1 1,7 15
− −
1 1,8 14
− −
1 1,8 14
− −
1 1,7 15
− −
( 2,1)m = − (1, )n a= m n ∥ | |m n+ =
2 2( ) 2f x x bx c= − − − b c
x∀ ∈R ( ) 0f x <
( ) 2 1xf x e mx= − + C C 1y xe
= m
( )f x x∈R ( 1) (1 )f x f x+ = − ( )1 2 1 2, ( ,1)x x x x∈ −∞ ≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − > 1( 3,0)F − 2 ( 3,0)F 2F 1l
2l C A B C D 1 2l l⊥ 1ABF△
C
ABCD
Q Q
W P
( ) 0.6826P Wµ σ µ σ− < ≤ + ≥ ( 2 2 ) 0.9544P Wµ σ µ σ− < ≤ + ≥
A B C
24µ = 2.8σ =重量/ 18 19 21 22 23 24 26 28 29 30
件数/个 1 1 2 2 6 8 5 2 1 2
（1）试判断设备 的性能等级；
（2）若 或 的零件认为是次品，其余为非次品．设 30 个样本中次品个数为 ，现
需要从中取出全部次品和 2 件非次品形成 个小样本，该公司从该小样本中机抽取 2 件零件，求取出
的两件零件中恰有一件是次品的概率．
21．已知函数 ， ．
（1）若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
（2）设 ， 为函数 的两个极值点，取 ，证明： ．
（二）选考题：10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答
时请写清题号．
22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的坐标方程
为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）．
（1）求直线 的直角坐标方程及曲线 的普通方程；
（2）直线 和曲线 相交于点 ， ，设相交弦的长度为 ，求 ．
23．【选修 4-5：不等式选讲】
已知关于 的不等式 有解．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若正数 ，证明： ．
mg
Q
2W µ σ≤ − 2W µ σ≥ + n
( 2)n +
2( ) lnf x a x x x= + − a ∈R
( )f x 1x = a
1x 2x ( )f x { }0 1 2max ,x x x= ( )0
3 4ln 2
16f x
− −>
xOy O x l
cos 24
πρ θ + = − C 2cos
1 2sin
x
y
α
α
=
= +
α α ∈R
l C
l C A B | |AB 2| |AB
x | 1| | 2 | | 1| 2x x m m+ + − ≤ − +
m
, 0a b ≥ ( )4 4 2 2a b ab a b≥+ +百师联盟 2020 届高三练习题四全国卷
理科数学答案及评分意见
1．B【解析】 ， ，则
，故选 B．
2．B【解析】 的共轭复数 ，所以 ，故选
B．
3．D【解析】由图易知，前 4 天 的方差大于后 3 天 的方差，故 A 错；这 7 天内，10 月 1 日，10
月 2 日空气质量状况为严重污染，天数为 2，故 B 错；这 7 天平均空气质量状况为中度污染；故 C 错；10
月 3 日和 10 月 4 日空气质量状况分别为优、良，所以这 7 天空气质量状况为优或良的概率为 ，故选
D．
4．A【解析】可知绝对值均小于 1 的实数对 在平面直角坐标系中构成如图所示的正方形 区域，
而圆 内部的点构成图中阴影区域，则有 ，故选 A．
5 ． D 【 解 析 】 易 知 当 动 点 为 椭 圆 的 上 顶 点 或 下 顶 点 时 ， 的 面 积 达 到 最 大 ， 此 时
①，又 ②， ③，结合①、②、③解得， ， ，故
选 D．
6．C【解析】可知该几何体为一圆台挖去一圆锥所得， 圆 台 （上底面除外）
， 圆锥侧 ，所以 表 ，故选 C．
{ }2| 2 0 { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}A x x x x x x x x= − + + ≥ = + − ≤ = − ≤ ≤ { | 1}B x x= ≥
{ |1 2}A B x x∩ = ≤ ≤
z 2z ai= − 2( 2 )( 2 ) 2 3 1z z ai ai a a⋅ = + − = + = ⇒ = ±
AQI AQI
2
7
( , )x y ABCD
2 2 1x y+ = 62 31
4 80 80 10ABCD
S P
S
π π= = = ⇒ =圆
正方形
P E 1 2PF F△
1 2
2 32PF F
c bS bc
×= = =△
1
2
c
a
= 2 2 2a b c+ = 2a = 3b =
S 2R Rl rlπ π π= + +
4 2 2 1 2 10π π π π= + × × + × × = S 2rlπ π= = S 12π=7 ． C 【 解 析 】 ， 由 累 加 法 知 ， ， 当 时 ，
，所以， ，故选 C．
8．D【解析】由表知， 对应的十进制数为 10， 对应的十进制数为 14，所以 ，由十进制
表示为 ，又表格中 对应的十进制为 12，所以用十六进制表示为 ．故选
D．
9．A【解析】因为圆 可看作由单位圆 向右平移一个单位长度得到，根据单位圆
中三角函数线知识，可设动点 的横坐标 关于时间 （单位：秒）的函数解析式为 ，
所以 ，因为 时，点 ，将该点代入得到 的一个取值为 ，所
以 ．故选 A．
10．B【解析】如图建立空间直角坐标系，则知 ， ， ， ，所以
， ，所以 ．故选 B．
11．B【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为 ，则点 坐标为 ，因为
的面积为 ，即 ，结合 化简得， ，解得
．故选 B．
1 1n na a n+ − = − 1
( 1)( 2)
2n
n na a
− −= + 4k =
5 1
4 (4 1)
2M a a
× −= = + 1 16 7 1a a= + = ⇒ = ( 1)( 2)1 2n
n na
− −= +
A E 10 14 140× =
140 8 16 12= × + C 8A E C× =
2 2( 1) 1x y− + = 2 2 1x y+ =
P x t cos( ) 1x tω ϕ= + +
2 8 4T
π πωω= = ⇒ = 0t = 0
3 3,2 2P
ϕ
3
πϕ =
cos 14 6x t
π π = + +
1(3,0,0)A (3,3,3)B 33,0, 2E
(0,1,0)F
1 (0,3,3)A B = 33,1, 2EF = − −
1
1
1
93 22| cos , | 7 14| | 3 2 2
A B EFA B EF
A B EF
−⋅〈 〉 = = =
⋅ ×
by xa
= A 3 3,3 3A a b
OAF△
2a 2 21 3 2 32 3a b c bc a= × × ⇒ = 2 2 2b c a= − 4 2 12 0e e− − =
2e =12 ．A 【解析】由题意知， ， ， ，即当
时 ， 恒 成 立 ， ， 所 以 ， 即
； 又 因 为 当 时 ， 恒 成 立 ， 所 以 ， 即
，综上， ．故选 A．
13． 【解析】由向量 ，所以 ，
．故答案为 ．
14． 【解析】由題意得， ， 可能的情况有 种，要使 ， 恒成立，则应满足
在二次函数 中， ，而满足 的组合有 ， ，
， ， ， 共 6 种，所以所求概率 ．故答案为 ．
15． 【解析】 ，若曲线 存在与直线 平行的切线，即 有解，
所以 ，因为 ，所以 ．故答案为 ．
16． 【解析】易知 关于直线 对称，因为 在 上是减函数，则其在 上
是增函数，又因为 ， ， ，所以
，又因为 ，所以 ，综上， ．
故答案为 ．
17．【解析】（1）由题意得 ，所以 ， ，又
，所以数列 是首项为 9，公比为 3 的等比数列．
2 1na pn p= − + ( )1 2
2
n
n
n a aS pn n
+= = + 1 2 3 4S S S S< < <
1 3n≤ ≤ 1n nS S +< 1 1 2 1 0n n nS S a pn p+ +− = = + + > 1
2 1p n
> − +
max
1 1
2 1 7p n
> − = − + 7n ≥ 1n nS S +> 1
2 1p n
< − +
min
1 1
2 1 15p n
< − = − +
1 1,7 15p ∈ − −
5
2
12 1 2m n a a⇒ − = ⇒ = − ∥ 11, 2m n + = −
2
2 1| | ( 1) 2m n + = − +
5
2
= 5
2
3
8
b c 4 4 16× = x∀ ∈R ( ) 0f x <
2 2( ) 2f x x bx c= − − − 2 24 4 0b c b c∆ = − < ⇒ < b c< (1,2) (1,3)
(1,4) (2,3) (2,4) (3,4) 6 3
16 8P = = 3
8
1,e
− +∞ ( ) 2 xf x e m′ = − C 1y xe
= 12 xe m e
− =
12 xm e e
= − 0xe > 1,m e
∈ − +∞
1,e
− +∞
a b c< < ( )f x 1x = ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞
1 3 1 11 12 2 2 2f f f f + = = − = 3 3
1 log 3 log 2 12
= < < 3
2 2
π >
a b<
2
2( ) 4 2e e
π π> ⇒ > b c< a b c< <
a b c< <
1 3 2n nb b+ = + ( )1 1 3 1n nb b+ + = + 1 1 31
n
n
b
b
+ + =+ 1 2 1 11b a a+ = − +
9 1 1 9= − + = { }1nb +（2）由（1）知， ，所以 ， ，…， ，由累加
法得 ．
18．证明：（1）如图，取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中位线，
所以 且 ，
又因为 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ．
（2）不妨设 ，则 ， ，取 中点 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以四边形 为矩形，
所以 ， ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
，
13 1n
nb += − 2
2 1 3 1a a− = − 3
3 2 3 1a a− = − 1 3 1n
n na a −− = −
( )1 1
1
9 1 3 3 5( 1)1 3 2 2
n n
n na a n a n
− +× −
− = − − ⇒ = − −−
SC G BG EG
EG SDC△
EG CD∥ 1
2EG CD=
AB CD∥ 1
2AB CD=
EG CD∥ EG AB=
AEGB
AE BG∥
BG ⊂ SBC
AE∥ SBC
1AB = 1BC = 2CD = CD O
1
2CF CD AB= =
AB CD∥ 90ABC∠ = °
ABCO
AO CO⊥ AO CD⊥
ABCD ∩ SDC CD= AO ⊥ SDC
AO SO⊥又因为三角形 为正三角形，
所以 ，
故如图建立空间直角坐标系 ，
可 得 ， ， ， ， ， ， 所 以 ，
， 设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， 则 ， 可 取
，易知平面 的一个法向量 ，
所以 ，又知二面角 为锐角，则二面角 的大小为 ．
19．【解析】（1）由椭圆定义可知 的周长 ，又 ，
所以 ，故椭圆 的标准方程为 ．
（2）①当 斜率不存在时，此时点 纵坐标 ，所以 ， ，
四边形 ；
② 当 斜 率 存 在 时 ， 设 方 程 为 ， 设 ， ， 联 立 椭 圆 及 方 程
，消去 得 ，
SDC
SO CD⊥
O xyz−
(0,0,1)A ( 3,0,0)S (0,1,0)C (0, 1,0)D − 3 1,0,2 2F
3 1,1,2 2FC
= − −
3 1, 1,2 2FD
= − − −
FCD ( , , )m a b c= 0
0
FC
F
m
mD
⋅ = ⋅ =
( 1,0, 3)m = − SDC (0,0,1)n =
3cos , | | | | 2
m
nm n m
n⋅〈 〉 = =⋅
F CD S− − F CD S− −
6
π
1ABF△ 4 8 2L a a= = ⇒ = 3c =
2 2 4 3 1b a c= − = − = E
2
2 14
x y+ =
1l A 1
2Ay = | | 1AB = | | 2 4CD a= =
S | | | | 1 4 22 2ABCD
AB CD× ×= = =
1l 1l ( 3)y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y E 1l
2
2
( 3)
14
y k x
x y
= −
+ =
y ( )2 2 2 24 1 8 3 12 4 0k x k x k+ − + − =， ， ，
所以 ，又 斜率
，同理， ，
则 四边形
，
当且仅当 即 时取“ ”，此时 ．
综上：四边形 面积的最小值为 ．
20．【解析】（1） ;
,
因为设备 的重量 仅满足一个不等式，故其性能等级为 ．
（2）易知样品中满足 或 的次品有 3 件，则小样本的个数为 5，设 3 件次品分别为 ，
， ，2 件非次品分别为 1，2，则可能的组合共有 10 种，满足题意的组合为 ， ， ，
， ， 共 6 种，故所求概率 ．
另【解析】易知 30 件样本中次品的概率为 ，故 ，所以 ．
21．【解析】（1） ，因为 在 处取得极值，则 ，解得 ，经检验
符合题意，则实数 的值为 ．
( ) ( )( )22 2 2 28 3 4 4 1 12 4 16 16 0k k k k∆ = − − × + − = + >
2
1 2 2
8 3
4 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
12 4
4 1
kx x k
−= +
( ) ( ) ( )2 2 22
22 2
1 2 1 2 2 2 2
4 12 4 4 18 3| | 1 4 1 4 1 4 1 4 1
k kkAB k x x x x k k k k
− + = + ⋅ + − = + ⋅ − = + + + 2l
1
CDk k
= −
( )22
2
2
14 1 4 1
| | 4 41
kkCD k
k
+ + = = ++
S
( ) ( )2 2
2 2
4 1 4 1| | | | 1
2 2 4 1 4ABCD
k kAB CD
k k
+ +×= = × ×+ +
( )2
2
2
1 328 1 1 8 9 9( 3)(4 3) 254
t t kt t
t t
= × = + ≥ = × ≥+ − − + +
1 1
2t
= 2t = = 1k = ±
ABCD 32
25
2 6 8 5( ) (21.2 26.8) 0.7 0.682630P W P Wµ σ µ σ + + +− < ≤ + = < ≤ = = ≥
1 2 2 6 8 5 2 1( 2 2 ) (18.4 29.6) 0.9 0.954430P W P Wµ σ µ σ + + + + + + +− < ≤ + = < ≤ = = ≤
Q W B
18.4W ≤ 29.6W ≥ a
b c ( ,1)a ( ,2)a ( ,1)b
( ,2)b ( ,1)c ( , 2)c 6 3
10 5P = =
1
10
1~ 2,10X B
1 1( ) 2 10 5E X = × =
( ) 2 1af x xx
′ = + − ( )f x 1x = (1) 0f ′ = 1a = −
1a = − a 1−（2） ，令 ，其对称轴为 ，由题意知 ，
是方程 的两个均大于 0 的不相等的实数根，其充要条件为 且 ，解
得 ， 又 ， ， 故 ， 由
，
所以 ，
设 ， ，则 ，当 时，
， 单调递增，所以 ，即 ．证毕．
22．【解析】（1）因为直线 的极坐标方程为 ，
所以 ，即为 ，
因为 ，所以直线 的直角坐标方程为 ，
即为 ；
由曲线 的参数方程 ，得 ，两式平方做和，
得到 ，
所以曲线 的普通方程为 ，
（2）由（1）得，圆 的圆心为 ，半径 ，
22( ) 2 1 ( 0)a x x af x x xx x
− +′ = + − = > 2( ) 2g x x x a= − + 1
4x = 1x
2x ( ) 0g x = 1 8 0a∆ = − > (0) 0g a= >
10 8a< < (0) 0g a= > (1) 1 0g a= + > 0
1 ,14x ∈
( ) 2
0 0 02 0g x x x a a= − + = ⇒
2
0 02x x= −
( ) ( )2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0ln 2 lnf x a x x x x x x x x= + − = − + −
( )2 2( ) 2 lnh x x x x x x= − + − 1 14 x < ( )h x 1 3 4ln 2( ) 4 16h x h
− − > =
( )0
3 4ln 2
16f x
− −>
l cos 24
πρ θ + = −
cos cos sin sin 24 4
π πρ θ θ − = −
2 2cos sin 22 2
ρ θ ρ θ− = −
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= l 2 2 22 2x y− = −
2 2 4 0x y− + =
C 2cos
1 2sin
x
y
α
α
=
= +
2cos
1 2sin
x
y
α
α
=
− =
2 2 2 2( 1) 4cos 4sin 4x y α α+ − = + =
C 2 2( 1) 4x y+ − =
2 2: ( 1) 4C x y+ − = (0,1)C 2r =所以圆心 到直线 的距离 ，
则 ．
23．【解析】（1） ，所以 的最小值为 3．
关于 的不等式 有解，等价于 ，
（ⅰ）当 时，上述不等式转化为 ，解得 ，
（ⅱ）当 时，上述不等式转化为 ，解得 （舍），
综上所述，实数 的取值范围为 ．
（2）不妨设 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
C 2 2 4 0x y− + =
2 2
10 2 41 22 22( 2) ( 2)
d r
− += = − < =
+ −
( )2 2 2| | 4 8 2 2AB r d= − = −
2 1, 2
( ) | 1| | 2 | 3, 1 2
2 1, 1
x x
f x x x x
x x
− ≥
= + + − = − <
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