百师联盟 2020 届高三练习题四全国卷
文科数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小題答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设集合 ， ，则 A∩B=（ ）．
A． B． C． D．
2．已知 ， 是虚数单位，设 ， ，则 （ ）．
A． 或 B．1 或 C． D．1
3．根据《环境空气质量指数 技术规定（试行）》规定：空气质量指数在区间 、 、
、 、 、 时，其对应的空气质量状况分别为优、良、轻度污染、中
度污染、重度污染、严重污染．如图为某市 2019 年 10 月 1 日至 10 月 7 日的空气质量指数 直方图，
在这 7 天内，下列结论正确的是（ ）．
2{ | 2 0}A x x x= − + + ≥ { | 1}B x x= ≥
[ 1,2]− [1,2] ( 1,2)− [0,2]
a ∈R i 2z ai= + 3z z⋅ = a =
2 2− 1− 2
( )AQI [0,50] [51,100]
[101,150] [151,200] [201,300] (300, )+∞
( )AQIA．前 4 天 的方差小于后 3 天 的方差
B．这 7 天内空气质量状况为严重污染的天数为 3
C．这 7 天的平均空气质量状况为良
D．空气质量状况为优或良的概率为
4．已知 箱子里装有 2 个白球、3 个黑球， 箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，从这两个箱子里分别随机
摸出 1 个球，则恰有一个黑球的概率为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍
是 比 较 先 进 的 算 法 ． 根 据 秦 九 韶 算 法 ， 任 意 多 项 式 可 改 写 为
，用秦九韶算法求多项式
当 时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（ ）．
A．4，3 B．4，5 C．5，5 D．6，5
7．如图是梯形 用斜二测画法画出的直观图，已知直观图中 ，四边形 是菱形且
，则梯形 的面积等于（ ）．
A．4 B．5 C．8 D．10
8．设椭圆 的离心率为 ， ， 为其左右焦点，点 为椭圆 上一动点，且
AQI AQI
2
7
A B
4
15
1
3
2
5
7
15
1sin 6 4x
π − =
2cos 2 3x
π +
7
8
− 3
4
− 7
8
3
4
1
1 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a−
−= + + + +…
( )( )1 1 0( ) n nf x a x a x a x a−= + + + +… … 5 4 3 2( ) 2 6 3 4 11f x x x x x x= + − + + 7−
1x =
ABCD 1 1 4A B = 1 1 1 1B C D E
1 1 1 45B E D =∠ ° ABCD
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 1
2 1F 2F P E面积的最大值为 ，则椭圆 的方程为（ ）．
A． B． C． D．
9．设数列 的各项均为正数，首项为 ，如图给出程序框图，当 时，输出 ，则数列
的通项公式为（ ）．
A． B． C． D．
10．一个几何体的三视图如图所示，已知其体积为 ，则图中 的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线的倾斜角 的取值范是
，其斜率为 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
1 2PF F△ 3 E
2 2
18 6
x y+ =
2 2
116 12
x y+ =
2 22 12 3
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
{ }na 1a 4k = 7M = { }na
n 1n − 2 1n + 2 1n −
4 83
π + r
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > e α
2 5,3 6
π π
k
23e
k
( 4, 2 3)− − [ 4, 3)− − ( 4, 3]− − ( 4, 2 3]− −12 ． 设 实 数 ， 在 等 差 数 列 中 ， ， 其 前 项 和 ， 若 满 足
，且 对 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设向量 ， ，若 ，则 ．
14．某校有学生 3600 人，教师 400 人，后勤职工 200 人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样的方
法从中抽取 210 人，则教师小何被抽到的概率为 ．
15．若函数 在 上存在唯一极值点，则实数 的取值范围是 ．
16 ． 若 函 数 对 任 意 的 恒 有 ， 且 在 上 单 调 递 减 ， 设
， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17． 的内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，向量 与 垂
直．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的最大值．
18．如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ， 底面 ， ，
， ， 分别是线段 ， 的中点，过 ， 的平面 与底面 的交线
为 ．
（1）证明： ；
p ∈R { }na 1 2 1na pn p+ = + + n 2
nS pn n= +
1 2 3 4S S S S< < < 1n nS S +> ( )*5n n≥ ∈N p
1 1,7 11
− −
1 1,8 10
− −
1 1,8 10
− −
1 1,7 11
− −
( 2,1)m = − (1, )n a= m n ∥ | |m n+ =
3 2( ) 2 1f x x ax ax= + + − (0,1) a
( )f x x∈R ( 1) (1 )f x f x+ = − ( )f x ( ,1)−∞
( )3log 2 a f=
2b f
π = ( )c f e= ( 2.718)e ≈ a b c
ABC△ A B C a b c 3sin , 3m B b
= −
( ,cos )n a A=
A
2a = b c+
S ABCD− ABCD AD BC∥ SA ⊥ ABCD AC AD⊥
1
2AC AD SA BC= = = E F SA SC E F α ABCD
MN
EF MN∥（2）若 ，求点 到平面 的距离．
19．2019 年 9 月 23 日，在 省 市举办的 2019 年中国农民丰收节“新电商与农业科技创新”论坛上，
来自政府相关部门的领导及 11 所中国高校的专家学者以“农业科技创新与乡村振兴”、“新农人与脱贫攻坚”
为核心议题各抒己见，农产品方面的科技创新越来越成为 21 世纪大国崛起的一项重大突破．科学家对某农
产品每日平均增重量 （单位： ）与每日营养液注射量 （单位： ）之间的关系统计出表 1 一组数
据：
表 1
（单位： ） 1 2 3 4 5
（单位： ） 2 3.5 5 6.6 8.4
（1）根据表 1 和表 2 的相关统计值求 关于 的线性回归方程 ；
（2）计算拟合指数 的值，并说明线性回归模型的拟合效果（ 的值在 0.98 以上说明拟合程度好）；
（3）若某日该农产品的营养液注释量为 ，预测该日这种农产品的平均增长重量（结果精确到 0.1）．
附：①
表 2
92.4 55 25 0.04
②对于一组数据 ， ，…， ，其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别
1
2S ABCDV − = B SCD
M N
y mg x Lµ
x Lµ
y mg
y x ˆˆ ˆy bx a= +
2R 2R
4 Lµ
5
1
i i
i
x y
=
∑ 5
2
1
i
i
x
=
∑ ( )5 2
1
i i
i
y y
=
−∑ ( )5 2
1
ˆi i
i
y y
=
−∑
( )1 1,u v ( )2 2,u v ( ),n nu v ˆˆˆv uα β= +为： ， ， ．
20．已知椭圆 的左、右顶点的距离为 4，离心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过椭圆 的左焦点 且交椭圆 于 ， 两点， 的中垂线交长轴于点 ，求证：
．
21．已知函数 ， ．
（1）若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
（2）设 为函数 的一个极值点且 ，证明： ．
（二）选考题：10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答
时请写清题号．
22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的坐标方程
为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）．
（1）求直线 的直角坐标方程及曲线 的普通方程；
（2）直线 和曲线 相交于点 ， ，设相交弦的长度为 ，求 ．
23．【选修 4-5：不等式选讲】
已知关于 的不等式 有解．
（1）求实数 的取值范围；
1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v nu v
u nu
β =
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆ v uα β= −
( )
( )
2
2 1
2
1
ˆ
1
n
i i
i
n
i i
i
v v
R
v v
=
=
−
= −
−
∑
∑
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 3
2e =
E
1l E 1F E A B AB D
1
| | 2
DF e
AB
=
2( ) lnf x a x x x= + − a ∈R
( )f x 1x = a
0x ( )f x 0
1 ,14x ∈
( )0
3 4ln 2
16f x
− −>
xOy O x l
cos 24
πρ θ + = − C 2cos
1 2sin
x
y
α
α
=
= +
α α ∈R
l C
l C A B | |AB 2| |AB
x | 1| | 2 | | 1| 2x x m m+ + − ≤ − +
m（2）若正数 ，证明： ．
百师联盟 2020 届高三练习题四全国卷
文科数学答案及评分意见
1．B【解析】 ， ，则
，故选 B．
2．B【解析】 的共轭复数 ，所以 ，故选
B．
3．D【解析】由图易知，前 4 天 的方差大于后 3 天 的方差，故 A 错；这 7 天内，10 月 1 日，10
月 2 日空气质量状况为严重污染，天数为 2，故 B 错；这 7 天平均空气质量状况为中度污染；故 C 错；10
月 3 日和 10 月 4 日空气质量状况分别为优、良，所以这 7 天空气质量状况为优或良的概率为 ，故选
D．
4．D【解析】恰有一个黑球分为两类： 中一黑球 中一白球， 中一白球 中一黑球． 中一黑球
中一白球的概率为 ， 中一白球 中一黑球的概率为 ，则所求概率为 ．故选
D．
5．A【解析】因为 ， ，所以
．故选 A．
6．C【解析】 ，则需要进行
乘法运算和加法运算的次数分别为 5，5．故选 C．
7．B【解析】由图可知， ， ，则对应梯形 中， ， ，又知与
平行的线段 的长度为 1，则对应梯形 的高为 2，所以 梯形 ．故选 B．
, 0a b ≥ ( )4 4 2 2a b ab a b≥+ +
{ }2| 2 0 { | ( 1)( 2) 0} { | 1 2}A x x x x x x x x= − + + ≥ = + − ≤ = − ≤ ≤ { | 1}B x x= ≥
{ |1 2}A B x x∩ = ≤ ≤
z 2z ai= − 2( 2 )( 2 ) 2 3 1z z ai ai a a⋅ = + − = + = ⇒ = ±
AQI AQI
2
7
A B A B A B
3 1 1
5 3 5
× = A B 2 2 4
5 3 15
× = 7
15P =
1sin 6 4x
π − = −
2 2cos 2 cos 2 cos 23 3 3x x x
π π ππ + = − + − = − −
2
2 1 7cos 2 cos 2 1 2sin 1 23 6 6 4 8x x x
π π π − − = − − = − − − = − − × − = −
5 4 3 2( ) 2 6 3 4 11 7 ((((2 6) 3) 4) 11) 7 f x x x x x x x x x x x= + − + + − = + − + + −
1 1 4A B = 1 1 1C D = ABCD | | 4AB = | | 1CD = y′
1 1B C ABCD S (1 4) 2 52ABCD
+ ×= =8 ． D 【 解 析 】 易 知 当 动 点 为 椭 圆 上 顶 点 或 下 顶 点 时 ， 的 面 积 达 到 最 大 ， 此 时
①，又 ②，结合①、②解得 ， ，故选 D．
9 ． A 【 解 析 】 根 据 可 知 数 列 为 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， 当 时 ，
．故选 A．
10．B【解析】由三视图可知，该几何体由两个相同圆锥的 与一个三棱柱组成，所以该几何体体积
．故选 B．
11．【解析】双曲线 渐近线方程为 ，所以 ，即 ，所以
，则 ，记 ，则 在
单调递增，在 单调递减，且 ， ．所以
，故选 D．
12 ． A 【 解 析 】 因 为 ， ， 即 当 时 ， 恒 成 立 ，
，所以 ，即 ；又因为当 时，
恒成立，所以 ，即 ，综上， ．故选 A．
13． 【解析】由向量 ，所以 ，
P E 1 2PF F△
1 2
2 32PF F
c cS b b
×= = =△
1
2
c
a
= 2a = 3b =
1 1i ia a+ = + { }na 4k =
1 2 2 3 4 5 1 2 2 3 4 5 1 5 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4
4 5M a a a a a a a a a a a a a a a a
= + + + = − + − + + − = − = − = +
… …
1 1a⇒ =
1
4
2 2 3 31 1 1 42 2 8 24 3 2 6 3V r r r r r r r
π ππ= × × × + × = + = + ⇒ =
C by xa
= 2 5tan tan3 6
b
a
π π< − < 33 3
b
a
− < − < −
33, 3k
∈ − −
2 2
2 223 1 13 3 3
a b
e ka kk k k k
+
+ = ⋅ = ⋅ = ⋅ +
1( ) f k k k
= + ( )f k
( 3, 1)− − 31, 3
− −
( 1) 2f − = − 3 4 3( 3) 3 3f f
− = − = −
23 ( 4, 2 3]e
k
∈ − −
2
nS pn n= + 1 2 3 4S S S S< < < 1 3n≤ ≤ 1n nS S +<
1 1 2 1 0n n nS S a pn p+ +− = = + + > 1
2 1p n
> − + max
1 1
2 1 7p n
> − = − + 5n ≥
1n nS S +> 1
2 1p n
< − + min
1 1
2 1 11p n
< − = − +
1 1,7 11p ∈ − −
5
2
12 1 2m n a a⇒ − = ⇒ = − ∥ 11, 2m n + = −
2
2 1| | ( 1) 2m n + = − +
．故答案为 ．
14 ． 【 解 析 】 抽 到 的 教 师 为 0 人 ， 则 教 师 小 何 被 抽 到 的 概 率
．故答案为 ．
15 ． 【 解 析 】 由 三 次 函 数 图 象 特 点 知 ， 其 最 多 有 1 个 极 大 值 点 和 1 个 极 小 值
点 ． ， 若 在 上 存 在 唯 一 极 值 点 ， 则
．故答案为 ．
16． 【解析】易知 关于直线 对称，因为 在 上是减函数，则其在 上
是增函数，又因为 ， ， ，所以
，又因为 ，所以 ，综上， ．故答案为 ．
17．【解析】（1）由 得 ，即 ，由正弦定理得，
，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
由余弦定理 ，
即 ，
5
2
= 5
2
1
20
400 210 203600 400 200
× =+ +
20 1
400 20P = = 1
20
3,05
−
2( ) 3 4f x x ax a′ = + + ( )f x (0,1)
3(0) (1) 0 (3 4 ) 0 ,05f f a a a a ′ ′⋅ < ⇔ ⋅ + + < ⇒ ∈ −
3,05
−
a b c< < ( )f x 1x = ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞
1 3 1 11 12 2 2 2f f f f + = = − = 3 3
1 log 3 log 2 12
= < < 3
2 2
π >
a b<
2
2( ) 4 2e e
π π> ⇒ > b c< a b c< < a b c< <
m n⊥ 0m n⋅ = 3sin cos3a B b A=
3sin sin sin cos3A B B A=
(0, )B π∈ sin 0B ≠ 3sin cos3A A=
3tan 3A =
6A
π=
2 2 2 2 22 32 cos ( ) ( 3 2) ( )6 4a b c bc b c bc b c
π −= + − = + − + ≥ +
2 8( ) 16 8 3
2 3
b c =
−
≤+ +所以 （当且仅当 时取“ ”），
故 的最大值为 ．
18．【解析】（1）因为 ， 分别是线段 ， 的中点，
所以 为三角形 的中位线，
所以 ，
又 底面 ， 底面 ，
所以 底面 ，
因为平面 底面 ，且 平面 ，
根据线面平行的性质可知，
．
（2）设 ，
所以 四边形 ，
则 四边形 ，
所以 ，即 是等边三角形，
所以 ，
又 ，
所以 ，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
16 8 3 2 2 3b c+ ≤ + = + 3 1b c= = + =
b c+ 2 2 3+
E F SA SC
EF SAC
EF AC∥
AC ⊂ ABCD EF ⊄ ABCD
EF∥ ABCD
α ∩ ABCD MN= EF ⊂ α
EF MN∥
1
2AC AD SA BC m= = = =
S 21 1 3
2 2 2ABCD AC BC AC AD m= ⋅ + ⋅ =
1
3S ABCDV S− =
2 1 12 2ABCD
mSA m⋅ = = ⇒ =
2 2SC SD CD m= = = = SCD△
23 3( 2)4 2SCDS = ⋅ =△
1 12BCDS BC AC= ⋅ =△
1 1
3 3S BCD BCDV S SA− = ⋅ =△
B SCD h
1 1 3 3
3 3 2 6S BCD SCDV S h h h− = ⋅ = ⋅ ⋅ =△因为 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
19．【解析】（1）由表 1 知， ， ，所以
， ， 所 以
，
（2） ，
故此回归模型拟合程度好．
（3）当 时， ，即该日这种农产品的平均增长重量 ．
20．【解析】（1）椭圆左、右顶点的距离为 ，即有 ，又 ，所以 ，
所以 ，故椭圆 的标准方程为 ．
（2）设 方程为 ， ， ， 的中点 ， ，联立椭圆
及 方 程 ， 消 去 得 ，
， ， ，
S BCD B SCDV V− −=
3 1 2 3
6 3 3h h= ⇒ =
B SCD 2 3
3
1 2 3 4 5 35x
+ + + += = 2 3.5 5 6.6 8.4 5.15y
+ + + += =
1
2
2 2
1
92.4 5 3 5.1 15.9ˆ 1.5955 5 3 10
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
x nx
β =
=
− − × ×= = = =− ×−
∑
∑
ˆˆ 5.1 1.59 3 0.33a y bx= − = − × =
ˆ 1.59 0.33y x= +
( )
( )
2
2 1
2
1
ˆ 0.041 1 1 0.0016 0.9984 0.9825
n
i i
i
n
i i
i
y y
R
y y
=
=
−
= − = − = − = >
−
∑
∑
4x = ˆ 1.59 4 0.33 6.69 6.7y = × + = ≈ 6.7mg
2a 2 4 2a a= ⇒ = 3
2
ce a
= = 3c =
2 2 4 3 1b a c= − = − = E
2
2 14
x y+ =
1l 3x my= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )3 3,C x y ( )4,0D x E
1l 2
2
3
14
x my
x y
= −
+ =
x ( )2 24 2 3 1 0m y my+ − − = ( )2 2( 2 3 ) 4 4m m∆ = − + + =
216 16 0m + > 1 2 2
2 3
4
my y m
+ = + 1 2 2
1
4y y m
= − +① ， ，
， 因 为 ， 所 以 ， 即 ， 所 以
②，结合①、②知， ，所以 ．
21．【解析】（1） ，因为 在 处取得极值，则 ，解得 ，检验
符合题意，则实数 的值为 ．
（ 2 ） ， 故 满 足 ， 所 以
，
设 ，则 ，当 时， ， 单
调递增，所以 ，即 ．证毕．
22．【解析】（1）因为直线 的极坐标方程为 ，
所以 ，即为 ，
因为 ，所以直线 的直角坐标方程为 ，
即为 ；
由曲线 的参数方程 ，得 ，两式平方做和，
得到 ，
( )2 2
2 2
1 2 2 2 2
4 12 3 4| | 1 1 4 4 4
mmAB m y y m m m m
+ = + − = + + = + + +
1 2
3 2
3
2 4
y y my m
+= = +
3 3 2
4 33 4x my m
= − = + AB CD⊥ 4 3
3
1
0
x x
y m
− = −−
3
4 3 2
3 3
4
yx xm m
= + = − +
( )2
1 4 2
3 1
3 4
m
DF x m
+
= + = +
12 3
| | 2
DF eAB
= = 1
| | 2
DF e
AB
=
( ) 2 1af x xx
′ = + − ( )f x 1x = (1) 0f ′ = 1a = −
1a = − a 1−
22( ) 2 1 ( 0)a x x af x x xx x
− +′ = + − = > 0x 2 2
0 0 0 02 0 2x x a a x x− + = ⇒ = −
( ) ( )2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1ln 2 ln 4f x a x x x x x x x x x = + − = − + − >
( )2 2 1( ) 2 ln 4h x x x x x x x = − + − > ( ) (1 4 )lnh x x x′ = − 1 ,14x ∈ ( ) 0h x′ > ( )h x
1 3 4ln 2( ) 4 16h x h
− − > =
( )0
3 4ln 2
16 f x
− −>
l cos 24
πρ θ + = −
cos cos sin sin 24 4
π πρ θ θ − = −
2 2cos sin 22 2
ρ θ ρ θ− = −
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= l 2 2 22 2x y− = −
2 2 4 0x y− + =
C 2cos
1 2sin
x
y
α
α
=
= +
2cos
1 2sin
x
y
α
α
=
− =
2 2 2 2( 1) 4cos 4sin 4x y α α+ − = + =所以曲线 的普通方程为 ，
（2）由（1）得，圆 的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，
则 ．
23．【解析】（1） ，
所以 的最小值为 3．
关于 的不等式 有解，等价于 ，
（ⅰ）当 时，上述不等式转化为 ，解得 ，
（ⅱ）当 时，上述不等式转化为 ，解得 （舍），
综上所述，实数 的取值范围为 ．
（2）不妨设 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
C 2 2( 1) 4x y+ − =
2 2: ( 1) 4C x y+ − = (0,1)C 2r =
C 2 2 4 0x y− + =
2 2
10 2 41 22 22( 2) ( 2)
d r
− += = − < =
+ −
( )2 2 2| | 4 8 2 2AB r d= − = −
2 1, 2
( ) | 1| | 2 | 3, 1 2
2 1, 1
x x
f x x x x
x x
− ≥
= + + − = − <
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