百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷
理科数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．某科研团队共有 63 名加盟成员，为了解每位成员对某项目的完成程度，将各成员按 1 至 63 的编号用系
统抽样方法抽取 9 人进行调查，若抽到的最小编号为 6，则抽到的最大编号为（ ）
A．48 B．50 C．62 D．63
3．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆 ，圆 ，动圆 与 ， 都外切，则动圆圆心 的
轨迹方程为（ ）
A． B．
{ | 0}A x x= > { }| || 2 xB y y= = AB =
{ | 0}x x < { |0 1}x x< < { |1 2}x x { |0 1}x x
2( ) ln lg 2
xf x x x
+ = ⋅ −
[1,2] [2, )+∞ [1,2) (1,2]
2 2
1 : ( 4) 25C x y− + = 2 2
2 : ( 4) 1C x y+ + = M 1C 2C M
2 2
1( 0)4 12
x y x− = <
2 2
1( 0)4 12
x y x− = >C． D．
5．“若一条直线的斜率为 ”是“此直线的倾斜角为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图的程序框图表示求式子 的值，则框图中①处可填入的条件为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2 2
1( 0)3 5
x y x− = <
2 2
1( 0)3 5
x y x− = >
tanα α
2 2 2 2 2 23 7 15 31 63 127× × × × ×
100?k 150?k 300?k 350?k
( ) sin( ) 0,| | 2f x A x
πω ϕ ω ϕ = + > 1a ≠ P | | | |MP MN+
5
2
7
2
2 2( )f x x xx x
= + + − x 2 2( ) 2 | ( ) | 1 0f x a f x a− + − + = ( )a ∈R
a
(2 2 1, )+ +∞ (2 2 1,2 2 1)− +
(2 2 1, )− +∞ ( ,2 2 1)−∞ −13．若复数 ，则 ________．
14．已知 ， ， ，则 ________．
15 ． 如 图 ， 在 矩 形 中 ， ， 为 中 点 ， 将 沿 直 线 翻 折 成
，连接 ，则当三棱锥 的体积最大时， ________．
16 ． 在 中 ， ， ， 分 别 为 ， ， 所 对 的 边 ， 且 满 足
，已知 的外接圆的面积为 ，设函数
在 上的最小值为 ，则 的最大值为 ________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使不等式 对一切 都成立的整
数 的最大值．
18．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 ， 中
点， 为线段 上的一个动点．
20191
1
iz i
+ = − z =
, ,2A B
π π ∈
2 5cos 5A = − 3 10cos 10B = − A B+ =
ABCD 1 22AB BC= = E BC DCE△ DE
1DC E△ 1C A 1C ADE− 1ADC∠ =
ABC△ a b c A∠ B∠ C∠
sin sin 1sin sin sin sin
C B
A B A C
+ =+ + ABC△ 12π ( ) ln ( )f x x x b c x= + +
[1,2] m m M =
{ }na n nS 1 4a = ( )*( 1)n nS na n n n= − − ∈N
{ }na
( )( )
1
1 3n
n n
b a a
= − − { }nb n nT 3n
mT > *n∈N
m
1 1 1ABC A B C− 1AB AC AA= = 2
3BAC
π∠ = E F AB 1 1B C
G 1CC（1）证明： 平面 ；
（2）当二面角 的余弦值为 时，证明： ．
19．为了了解某年龄段人群的午休睡眠质量，随机抽取了 1000 名该年龄段的人作为被调查者，统计了他们
的午休睡眠时间，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求这 1000 名被调查者的午休平均睡眠时间 ；（同一组中数据用该组区间中点作代表）
（2）由直方图可以认为被调查者的午休睡眠时间 服从正态分布 ，其中 ， 分别取被调查
者的平均午休睡眠时间 和方差 ，那么这 1000 名被调查者中午休睡眠时间低于 43.91 分钟（含 43.91）
的人数估计有多少？
（3）如果用这 1000 名被调查者的午休睡眠情况来估计某市该年龄段所有人的午休睡眠情况，现从全市所
有该年龄段人中随机抽取 2 人（午休睡眠时间不高于 43.91 分钟）和 3 人（午休睡眠时间不低于 73.09 分钟）
进行访谈后，再从抽取的这 5 人中推荐 3 人作为代表进行总结性发言，设推荐出的代表者午休睡眠时间均
不高于 43.91 分钟的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
附：① ， ．
② ， 则 ； ；
．
EF∥ 1 1AAC C
1 1F AG C− − 21
14 1BF AG⊥
x
y ( )2,N µ σ µ 2σ
x 2S
X X
2 212.75S = 212.75 14.59=
( )2~ ,y N µ σ ( ) 0.6826P yµ σ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.9544P yµ σ µ σ− < < + =
( 3 3 ) 0.9974P yµ σ µ σ− < < + =20．已知椭圆 过点 ，且离心 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆 上异于点 的任意两点，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，且
，试问当 时，直线 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不
是，说明理由．
21．知函数 ．
（1）讨论函数 的极值；
（2）若函数 在 上恰有两个零点，求 的取值范围．
（二）选考题：10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答
时请写清题号．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴的
非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，点 是圆 上任一点，求 面积的最大值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]
设函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）已知 ，若 ， ， 恒成立，求 的取值范围．
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (0, 1)P − 2
2e =
C
A B C P AB PA PB k 1k 2k
1 2 1k k = ( , 2) (2, )k ∈ −∞ − ∪ +∞ AB
2( ) e ( 1) ,xf x ax x a= + + ∈R
( )f x
( ) ( )g x f x e= − R a
xOy C 1 2cos ,
3 2sin
x
y
θ
θ
= +
= +
θ O x
l 2 sin 44
πρ θ − =
C l
l x y A B M C MAB△
1( ) | 2 2 |( 0)f x x x m mm
= − + + >
(0) 3f
n∈R x∀ ∈R 0m > ( )f x n n百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷
理科数学答案及评分意见
1．B 【解析】因为 ， ，所以 ，故选
B．
2．C 【解析】由系统抽样方法从编号为 1 到 63 的 63 名成员中抽取 9 名成员进行调查，把 63 人分成 7 组，
抽到的最小编号为 6，则后面抽取的 8 人编号依次为 13，20，27，34，41，48，55，62，所以抽到的最大
编号为 62，故选 C．
3．C 【解析】根据函数 解析式，有 解得 ，所以函数 的定义域为
，故选 C．
4 ． A 【 解 析 】 设 动 圆 的 半 径 为 ， 由 题 意 知 ， ， ， 则
，所以 点的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的左支，且 ， ，
则 ，则动圆圆心 的轨迹方程为 ，故选 A．
5 ． D 【 解 析 】 若 一 条 直 线 的 斜 率 为 ， 则 此 直 线 的 倾 斜 角 为 ， 且
；若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率不一定为 ，如 时， 不存在，
综上：“若一条直线的斜率为 ”是“此直线的倾斜角为 ”的既不充分也不必要条件，故选 D．
6．B 【解析】由最后一个因数为 知， ，且下一个因数为 ，所以①
处可填的条件为“ ”，故选 B．
7．D 【解析】由图象知， ，所以 ，①当 时，根据图象，因
为 时， 取得最小值，所以 ，此时取不到 使得
其 满 足 ； ② 当 时 ， 根 据 图 象 ， 因 为 时 ， 取 得 最 小 值 ， 所 以
， 因 为 ， 则 当 时 ， ， 综 上 ：
{ }| || 2 { | 1}xB y y y y= = = { | 0}A x x= > { |0 1}AB x x= <
>
[1,2)x ∈ ( )f x
[1,2)x ∈
M r 1 5MC r= + 2 1MC r= +
1 2 1 24 8MC MC C C− = < = M 1C 2C 2a = 4c =
2 12b = M
2 2
1( 0)4 12
x y x− = <
tanα 180 ,k kβ α= + × ° ∈Z
0 180β° < ° α tanα 90α = ° tanα
tanα α
2127 127 150< 127 2 1 255 150× + = >
150?k
4 3 12 4
T T
π π π π= − = ⇒ = 2 2T
πω = = 1A =
12x
π= ( )f x 22 2 2 ,12 2 3k k k
π π πϕ π ϕ π× + = − ⇒ = − ∈Z ϕ
| | 2
πϕ < 1A = −
12x
π= ( )f x
2 2 2 ,12 2 3k k k
π π πϕ π ϕ π× + = + ⇒ = + ∈Z | | 2
πϕ < 0k =
3
πϕ =，故选 D．
8．D 【解析】由题意知， ， ，设 ，则
，所以 ，即
的最小值为 ，故选 D．
9．A 【解析】当 时， ， ， ，
，即 在 存在极值点，且 ，满足上述的选项为 A．故
选 A．
10 ． C 【 解 析 】 因 为 ， 两 边 同 时 求 导 得 ，
， 令 得 ，
．故选 C．
11．B 【解析】函数 恒过定点 ，抛物线方程为 ，焦点 ，准线 的方程为 ，
圆的标准方程为 ，其圆心为 ，半径 ，如图，过点 作 于点 ，由
抛物线定义可知 ，则
（当 ， ， 三点共线时），所以 的最小值为 ，故选 B．
12．A 【解析】令 ，则方程转化为 ，
( ) sin 2 3f x x
π = − +
| | 2a = | | 2b = ( ),c k a b k= − ∈R 2 2| | | ( 1) |b c k b ka− = + −
2 2 2 2 2 2 2( 1) | | | | 2 ( 1) 2( 1) 4 4 ( 1) 2 2 2k b k a k k a b k k k k k= + + − + ⋅ = + + − + = +
| | 2b c−
| |b c− 2
[0,1]x ∈ 1( ) 2 cos 2
xf x x x e= − 1( ) 2cos 2 sin 2
xf x x x x e′ = − − 3(0) 02f ′ = >
1(1) 2cos1 2sin1 02f e′ = − − < ( )f x [0,1] 1(0) 02f = − <
3 4 2 7
0 1 2 7( 1) ( 2)x x a a x a x a x+ + = + + +…+
2 4 3 3 2 6
1 2 3 73( 1) ( 2) 4( 1) ( 2) 2 3 7x x x x a a x a x a x+ + + + + = + + +…+ 1x =
1 2 3 72 3 7 1836a a a a+ + +…+ =
( )f x ( 1,2)P − 2 4x y= (0,1)F l 1y = −
2 2 1( 1) 4x y+ − = (0,1)F 1
2r = M MQ l⊥ Q
| | | |MQ MF= 1 1| | | | | | | | | | | | | |2 2MP MN MP MF r MP MQ PQ+ + − = + − = −
1 53 2 2
= − = P M Q | | | |MP MN+ 5
2
( ( ))f f x t= 2 22 1 0t at a− + − + =而 则 的 图 象 如 图 ， 由 图 象 ， 要 使 关 于 的 方 程
有 8 个不同实数解，则关于 的方程 的两根
需满足 ，所以有 ，解得 ，故选 A．
【解析】
13． 【解析】 ，所以 ．故答案为 ．
14 ． 【 解 析 】 因 为 ， 且 ， ， 所 以
， ， 所 以
①，又 ，所以 ②，由①②，知 ．故答案为
．
15． 【解析】易知当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大，如图，取 中点
， 中点 ，连接 ， ， ，所以 ，在 中， ，
2 , 2,
4 ,0 2,
( ) 4 , 2 0,
2 , 2,
x x
xxf x
xx
x x
>
6b c+ > b c+
(6,12] ( )f x ( ) ln 1f x x b c′ = + + + [1,2]x ∈
( ) ln 1 0f x x b c′ = + + + > ( )f x [1,2] (1) (6,12]m f b c= = + ∈
m 12M =
2n ( 1)n nS na n n= − − 1 1( 1) ( 1)( 2)n nS n a n n− −= − − − −
1( 1) ( 1) 2( 1)n nn a n a n−− = − + − 1 2n na a −− = 1 4a = 2 2na n= +
( )( )
1 1 1 1 1
1 3 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n
n n
b a a n n n n
= = = − − − − + − +
1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n
nT n n n n
= − + − + + − = − = − + + +
1
1 1 02 3 2 1 (2 3)(2 1)n n
n nT T n n n n+
+− = − = >+ + + + 2 1
n
n
+
( ) 1min
1
3nT T= = 1
3 3
m> 1m < 0m =
BC M EM FM
E F AB 1 1B C所以 ， ， ， ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）不妨设 ，
由余弦定理得， ，如图建立空间直角坐标系 ，
设 ， ， ， ，所以 ，设平面 的一个
法 向 量 为 ， 则 可 取 ， 易 知 平 面 的 一 个 法 向 量
，
所以 ，此时 ， ，所
以 ，即 ．
19． 【解析】（1）由题意知，第一组至第六组的中间值分别为 35，45，55，65，75，85；对应的概率值
EM AC∥ 1MF CC∥ EM MF M∩ = 1AC CC C∩ =
EMF∥ 1 1AAC C
EF ⊂ EMF EF ⊄ 1 1AAC C
EF∥ 1 1AAC C
1 1AB AC AA= = =
1 1 3B C = 1A xyz−
(0,1, )G h 1
3 1, ,02 2B
−
3 1, ,12 2B
−
1(0,1,0)C 3 1, ,04 4F
1A FG
( , , )m x y z= 1
1
0,
0,
AG m
A F m
⋅ = ⋅ =
( , 3 , 3)m h h= −
1 1AGC
(1,0,0)n =
2
21 3cos , 14 4| | | | 4 3
m n hm n h
m n h
⋅〈 〉 = = = ⇒ =
⋅ +
3 3, , 14 4BF
= − −
1
30,1, 4AG =
0BF AG⋅ =
1BF AG⊥为 0.1，0.2，0.3，0.15，0.15，0.1；所以
．所以，这 1000 名被调查者的午休平均睡眠时间 ．
（2）因为 服从正态分布 ，
，所以 ，所以这 1000 名被调查者中午休睡眠时间低于 43.91
分钟（含 43.91）的人数估计有 （人）．
（3）易知 的可能值为 0，1，2，
， ， ，
故 的分布列为
0 1 2
所以， ．
20．【解析】（1）将点 代入椭圆方程得 ， ，所以椭圆 的标
准方程为 ．
（2）直线 恒过一定点 ．
理由：易知，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ， ，联立椭圆 及直线
方程， 消去 得 ，
， ， ，
， ， ①，
35 0.1 45 0.2 55 0.3 65 0.15 75 0.15 85x = × + × + × + × + × +
0.1 58.5× = 58.5x =
y ( ) ( )2 2, 58.5,14.59N Nµ σ = ( ) (43.91 73.09)P y P yµ σ µ σ− < < + = < <
0.6826= 1 0.6826( 43.91) 0.15872P y
−= =
0.1587 1000 159× ≈
X
0 3
2 3
3
5
1( 0) 10
C CP X C
⋅= = =
1 2
2 3
3
5
3( 1) 5
C CP X C
⋅= = =
2 1
2 3
3
5
3( 2) 10
C CP X C
⋅= = =
X
X
P 1
10
3
10
3
10
1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × =
(0, 1)P − 1b =
2 2
2 2
2 2
1 1 22
c ae aa a
−= = = ⇒ = C
2
2 12
x y+ =
AB (0,3)
AB y kx m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y C AB
2
2
,
1,2
y kx m
x y
= + + =
y ( )2 2 22 1 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
( )( )2 2 2 2 2(4 ) 4 2 1 2 2 16 8 8 0km k m k m∆ = − × + − = − + > 1 2 2
4
2 1
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
2 2
2 1
mx x k
−= +
1
1
1
1yk x
+= 2
2
2
1yk x
+= ( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 0k k x x y y y y= ⇒ − + + + + =， ， 代 入 ① 得 ，
，解得 （舍）或 ，
因为 ，此时 成立，所以 恒过定点
．
21．【解析】（1） ，
①当 时，令 ， 时， ， 单调递减； 时，
， 单调递增；所以 有极小值 ；
②当 时，令 或 ，
（ ⅰ ） 时 ， 时 ， ， 单 调 递 减 ； 时 ，
， 单 调 递 增 ； 时 ， ， 单 调 递 减 ； 所 以 有 极 小 值
，有极大值 ；
（ⅱ） 时， 时， ， 单调递减； 时， ，
单调递增； 时， ， 单调避减；所以 有极小值 ，
有极大值 ；
（ⅲ）当 时， ， 在 上单调递减，无极值．
（2）若函数 在 上恰有两个零点，即函数 与函数 的图像恰有两个交点，由
（1）知，
( )( ) ( ) 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2
2 1
m ky y kx m kx m k x x km x x m k
−= + + = + + + = + 1 2 2
2
2 1
my y k
+ = +
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 1 0 2 3 02 1 2 1 2 1
m m k m m mk k k
− −+ + + = ⇒ − − =+ + + 1m = − 3m =
( , 2) (2, )k ∈ −∞ − ∪ +∞ 2 2 216 8 8 16 64 0k m k∆ = − + = − > 3y kx= +
(0,3)
( )( ) 2( 1) 2 ( 1)x x xf x ae axe x ae x′ = + + + = + +
0a ( ) 0 1f x x′ = ⇒ = − ( , 1)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1, )x ∈ − +∞
( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( 1) af e
− = −
0a < ( ) 0 1f x x′ = ⇒ = − 2lnx a
= −
2a e< − 2,lnx a
∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x 2ln , 1x a
∈ − −
( ) 0f x′ > ( )f x ( 1, )x ∈ − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x
2 22 2 2 2ln 2ln ln 1 ln 1f a a a a
− = − − + − + = − + ( 1) af e
− = −
2 0e a− < < ( , 1)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x 21,lnx a
∈ − − ( ) 0f x′ >
( )f x 2ln ,x a
∈ − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x ( 1) af e
− = −
2 22 2 2 2ln 2ln ln 1 ln 1f a a a a
− = − − + − + = − +
2a e= − ( ) 0f x′ ( )f x R
( ) ( )g x f x e= − R ( )f x ( )h x e=①当 时，只须满足 ，所以 ；
②当 时，
（ⅰ） 时，结合（1）知， 时， 单调递减， ，只须
满足 或 ，解得 或 （舍）或 ；
（ⅱ） 时，结合（1）知只须满足 或 ，解得 （舍）或
或 （舍）；
综上， 的取值范围为 ．
22．【解析】（1）由 消去参数 ，得 ，
所以圆 的普通方程为 ．
由 ，得 ，
所以直线 的直角坐标方程为 ．
（2）直线 与 轴， 轴的交点为 ， ，
设 点 的 坐 标 为 ， 则 点 到 直 线 的 距 离 为
，
所以 ，又 ，
0a
2ae a ee
> − ⇒ > − [0, )a ∈ +∞
0a <
2a e< − ( 1, )x ∈ − +∞ ( )f x 2(1) 4 2 4 0f ae e= + < − + <
22ln 1 ea
− + =
ae e
= − 2a e= −
1
2
ee
e −
= −
1
2
ee
e− −
= −
2 0e a− (0) 3f
1|0 12m m m
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