百师联盟2020届高三练习题五（全国 II卷）数学（文）试题

百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷 文科数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．某校为了了解 500 名住校学生对宿舍管理制度的看法，将这些学生编号为 1，2，…，500，采用系统抽 样的方法从这些学生中抽取 50 名进行问卷调查，若 52 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是（ ） A．3 号学生 B．200 号学生 C．422 号学生 D．500 号学生 3．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线 的左右焦点为 ， ，点 为双曲线 上任意一点，则 的最 { | 0}A x x= > { }| || 2 xB y y= = AB = { | 0}x x < { |0 1}x x< < { |1 2}x x  { |0 1}x x  ,a b∈R a b> 1a b > 2( ) ln lg 2 xf x x x + = ⋅  −  [1,2] [2, )+∞ [1,2) (1,2] 2 2: 12 xC y− = 1F 2F M C 1 2MF MF⋅小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 6．如图的程序框图表示求式子 的值，则框图中①处可填入的条件为（ ） A． B． C． D． 7 ． 已 知 函 数 ， ， 集 合 ， ，现从集合 ， 中分别任取一个元素 ， ，则使得 成立的概率 为（ ） A． B． C． D． 8．函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为（ ） A． B． 2 2 2 2 2 2 23 7 15 31 63 127× × × × × 350?k 300?k 100?k 150?k ( ) sin2f x x= ( ) tang x x= {0 2 | ( ) 0}M x f xπ= =  {0 2 | ( ) 0}N x g xπ= =  M N a b log 1a b = 1 15 2 15 1 5 4 15 ( ) sin( ) 0,| | 2f x A x πω ϕ ω ϕ = + > = =  − − *n∈N m 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 1 2 2 2AA AB BC= = = M N D AB 1BB 1CC E MN（1）证明： 平面 ； （2）若将直三棱柱 沿平面 截开，求四棱锥 的表面积． 19．2019 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度 地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善生存环境质量．某部门在某小区年龄处于区间 内的人 中随机抽取 人进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称 为“环保族”，得到图各年龄段人数的频率分布直方图和表中统计数据． （1）求 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整 数）； （3）从年龄段在 的“环保族”中采用分层抽样的方法抽取 9 人进行专访，并在这 9 人中选取 2 人 作为记录员，求选取的 2 名记录员中至少有一人年龄在区间 中的概率． 组数 分组 “环保族”人数 占本组频率 第一组 45 0.75 第二组 25 CE∥ 1ADB 1 1 1ABC A B C− 1ADB 1A BCDB− [25,45) x , ,x y z x [25,35) [30,35) [20,25) [25,30) y第三组 0.5 第四组 3 0.2 第五组 3 0.1 20．已知椭圆 的离心率为 ，其右顶点为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过原点 且斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，点 是椭圆上异于 ， 的一动点， 直线 ， 的斜率分别为 ， ，试问 为定值吗？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 21．已知函数 ，（ 且 ， ） （1）当 时，讨论函数 的极值； （2）当 时，若函数 在 上恒有两个零点，求 的取值范围． （二）选考题：10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答 时请写清题号． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴的 非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． （1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）设直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，点 是圆 上任一点，求 面积的最大值． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 设函数 ． [30,35) z [35,40) [40,45] 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2 (2,0)M C O k C A B ( )0 0,P x y A B PA PB 1k 2k 1 2k k ( ) logaf x x kx= + 0a > 1a ≠ k ∈ R a e= ( )f x 1k = − ( )f x (0, )+∞ a xOy C 1 2cos , 3 2sin x y θ θ = +  = + θ O x l 2 sin 44 πρ θ − =   C l l x y A B M C MAB△ 1( ) | 2 2 |( 0)f x x x m mm = − + + >（1）解不等式 ； （2）已知 ，若 ， ， 恒成立，求 的取值范围． 百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷 文科数学答案及评分意见 1．B 【解析】因为 ， ，所以 ，故选 B． 2．C 【解析】根据系统抽样的定义首先确定分段间隔为 ，因为 52 号学生被抽到，即抽到 的号码首项为 2，则抽到的号码数 ，当 时， ，故选 C． 3．D 【解析】当 ， 时， ，但 ；当 ， 时， ，但 ； 综上，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故选 D． 4．C 【解析】根据函数 解析式，有 解得 ，所以函数 的定义域为 ，故选 C． 5 ． A 【 解 析 】 由 题 意 知 ， ， ， 不 妨 设 点 在 双 曲 线 右 支 上 ， 则 ， 设 ， 所 以 ， 所 以 当 时， 的值最小，最小为 1，故选 A． 6．D 【解析】由最后一个因数为 知， ，且下一个因数为 ，所以 ①处可填的条件为“ ”，故选 D． 7．B 【解析】由题意知，集合 ， ，则 的组合有 种， (0) 3f  n∈R x∀ ∈R 0m > ( )f x n n { }| || 2 { | 1}xB y y y y= = =  { | 0}A x x= > { |0 1}AB x x= < 1 12 a b = < 2a = − 1b = − 1a b > a b< a b> 1a b > ( )f x ( 2)(2 ) 0, 0, ln 0 x x x x + − >  >   [1,2)x ∈ ( )f x [1,2)x ∈ 1( 3,0)F − 2 ( 3,0)F M C 1 2| | 2 2 2MF MF a− = = 2| | ( 3 2)MF x x= − 1 2 ( 2 2)MF MF x x⋅ = + 3 2x = − 1 2MF MF⋅ 2127 127 150< 127 2 1 255 150× + = > 150?k 30, , , ,22 2M π ππ π =    {0, ,2 }N π π= ,a b 5 3 15× =而满足 即 且 的组合有 ， 种，故所求概率 ，故选 B． 8．B 【解析】由图象知， ，所以 ，①当 时，根据图象，因 为 时， 取得最小值，所以 ，此时取不到 使得 其 满 足 ； ② 当 时 ， 根 据 图 象 ， 因 为 时 ， 取 得 最 小 值 ， 所 以 ， 因 为 ， 则 当 时 ， ， 综 上 ： ，故选 B． 9．A 【解析】设向量 ， 的夹角为 ， ， ， 所 以 ，因为 ，故 或 ，故 选 A． 10 ． A 【 解 析 】 当 时 ， ， ， ， ，即 在 在极值点，且 ，满足上 述的选项为 A．故选 A． 11．C 【解析】因为 的外接圆与抛物线 的准线相切，所以 的外接圆的圆心 到准线 的距离等于圆的半径 ，则 的外接圆的圆心 一定在抛物线上．又因为圆心 在 的垂直 平 分 线 上 ， ， ， 则 此 外 接 圆 的 半 径 ， 故 此 外 接 圆 的 面 积 ，故选 C． log 1b a = 0a > 1,a a b≠ = ( , )π π (2 ,2 )2π π 2 15P = 4 3 12 4 T T π π π π= − = ⇒ = 2 2T πω = = 1A = 12x π= ( )f x 22 2 2 ,12 2 3k k k π π πϕ π ϕ π× + = − ⇒ = − ∈Z ϕ | | 2 πϕ < 1A = − 12x π= ( )f x 2 2 2 ,12 2 3k k k π π πϕ π ϕ π× + = + ⇒ = + ∈Z | | 2 πϕ < 0k = 3 πϕ = ( ) sin 2 3f x x π = − +   a b θ 2 2 2| | | | | | 2 | || | cos 4 8 8 2 cosa b a b a b θ θ+ = + + = + +      12 8 2 cosθ= + 2 2 2| | | | | | 2 | || |cos 4 8 8 2 cos 12 8 2 cosa b a b a b θ θ θ− = + − = + − = −      2 2 2 2 2 1| | | | 144 128cos (4 5) 80 cos 2a b a b θ θ+ ⋅ − = − = = ⇒ =    [0, )θ π∈ 4 πθ = 3 4 π [0,1]x ∈ 1( ) 2 cos 2 xf x x x e= − 1( ) 2cos 2 sin 2 xf x x x x e= − − 3(0) 02f ′ = > 1(1) 2cos1 2sin1 02f e′ = − − < ( )f x [0,1] 1(0) 02f = − < MOF△ C MOF△ P | |PF MOF△ P P OF | | 2 pOF = 3| | 4 2 4 p p pMF = + = 3 3 4 4 pr = = 2 9 16S r ππ= =12 ． D 【 解 析 】 ， 若 的 定 义 域 为 ， 则 有 ， 即 ， 结 合 余 弦 定 理 ， ，故 ，故选 D． 13． 【解析】 ，所以 ．故答案为 ． 14 ． 【 解 析 】 因 为 ， 且 ， ， 所 以 ， ， 所 以 ①，又 ，所以 ②，由①②，知 ．故 答案为 ． 15． 【解析】如图，连接 与 交于点 ，连接 ，则 ， ，所以 为平面 与平面 所成二面角，大小为 ，且 平面 ，过点 作 平面 ， 则 点 在 上 ， 所 以 ， ， 则 ， 所 以 ．故答案为 ． 2 2 2 3( ) 3 2 3 a c acf x x bx + −′ = + + ( )g x R ( )2 2 2(2 ) 4 3 0b a c ac∆ = − + − < 2 2 2 3a c b ac+ − > 2 2 2 3cos 2 2 a c bB ac + −= > 0, 6B π ∈   i− 2019 20191 1 i i ii +  = = − −  z i= − i− 7 4 π , ,2A B π π ∈   2 5cos 5A = − 3 10cos 10B = − 2 5sin 1 cos 5A A= − = 2 10sin 1 cos 10B B= − − = 2 5 3 10cos sin sin cos( )5 10B A B A B    − = − × − +          5 10 2cos 5 10 2A= − × = , ,2A B π π ∈   2A Bπ π< + < 7 4A B π+ = 7 4 π 6 24 AC BD E 1C E 1C E BD⊥ AE BD⊥ 1AEC∠ 1BC D ABCD 3 π BD ⊥ 1AC E 1C 1C O ⊥ ABD O AE 1 11 12 2ABDS = × × =△ 1 2 2C E = 1 1 6sin 3 4C O C E π= ⋅ = 1 1 1 6 6 3 2 4 24ABC DV = × × =四面体 6 2416． 【解析】令 ，则方程转化为 ，而 的图象如图，由 图 象 ， 要 使 关 于 的 方 程 有 8 个 不 同 实 数 解 ， 则 关 于 的 方 程 的 两 根 需 满 足 ， 所 以 有 ， 解 得 ，故答案为 ． 17．【解析】（1）当 时， ， ，两式作差得， ，所以 ，结合 得 ． （2）因为 ， 所以 ． 所以，数列 单调递增， ．令 ，解得 ，所以 ． 18．【解析】（1）证明：连接 ， ， 因为 ， 分别为 ， 中点， (4 2 1, )+ +∞ ( )f x t= 2 22 1 0t at a− + − + = ( )f x x 2 2( ) 2 ( ) 1 0f x af x a− + − + = t 2 2( ) 2 1 0g t t at a= − + − + = 1 2, (4 2, )t t ∈ +∞ (4 2) 0, 0, 4 2, g a  <  ∆  >  (4 2 1, )a ∈ + +∞ (4 2 1, )+ +∞ 2n ( 1)n nS na n n= − − 1 1( 1) ( 1)( 2)n nS n a n n− −= − − − − 1( 1) ( 1) 2( 1)n nn a n a n−− = − + − 1 2n na a −− = 1 4a = 2 2na n= + ( )( ) 1 1 1 1 1 1 3 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n  = = = − − − − + − +  1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n         = − + − + + − = − =        − + + +         2 1 n n   +  ( ) 1min 1 3nT T= = 1 3 3 m> 1m < 0m = CM CN N D 1BB 1CC所以 ， ， 又因为 ， ， 所以 ， ， 所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 又 为 中点， 所以 ， ， ， 所以平面 平面 ， 又 平面 ， 所以 平面 ． （2）连接 ，因为 ， ， ， 所以 平面 ， 所以 ， ， ， ， ， 1 1 1 2NB BB= 1 1 1 2C D CC= 1 1BB CC∥ 1 1BB CC= 1NB CD∥ 1NB CD= 1NCDB 1NC DB∥ M AB 1MN AB∥ CM CN C∩ = 1 1 1AB DB B∩ = MCN∥ 1ADB CE ⊂ MCN CE∥ 1ADB BD AB BC⊥ 1B B AB⊥ 1BC BB B∩ = AB ⊥ 1 1BCC B AB BD⊥ 1 1 1 2 2ABCS ×= =△ 1 2 1 12ABBS ×= =△ 1 2 2 2 2ACDS ×= =△ 1 (1 2) 1 3 2 2BCDBS + ×= =梯形在 中， ， ， ， 所以 ， 所以 ， ， 所以四棱锥 的表面积 ． 19．【解析】（1）对于第一组，人数为 ，占总人数 ，故总人数 人， 所以 ， ， ． （ 2 ） 设 这 人 年 龄 的 平 均 值 为 ， 所 以 ． （3）易知采用分层抽样法抽取的 9 人中，在 内的有 5 人，在 内的有 4 人，选取 2 名记录 员的可能情况共有 种，均在 内的有 种，恰有一个在 内的 有 种，故所求概率 ． 20．【解析】（1）因为椭圆 右顶点为 ，所以 ，又 ， ，所以 椭圆 的标准方程为 ． （2） 为定值且 ． 1ADB△ 3AD = 1 5AB = 1 2DB = 2 2 2 1 1AD DB AB+ = 1AD DB⊥ 1 2 3 6 2 2ADBS ×= =△ 1A BCDB− 1 2 3 6 2 61 32 2 2 2 2S += + + + + = + 45 600.75 = 0.06 5 0.3× = 60 2000.3x = = 200x = 0.03 5 200 0.2 6z = × × × = 25 0.6250.04 5 200y = =× × x m 22.5 0.3 27.5 0.2 32.5 0.2 37.5 0.15 42.5 0.15 30.75 31m = × + × + × + × + × = ≈ [25,30) [30,35) 1 2 3 8 36+ + + ⋅⋅⋅+ = [30,35) 1 2 3 6+ + = [30,35) 4 5 20× = 6 20 13 36 18P += = C (2,0)M 2a = 1 12 c ca = ⇒ = 2 2 2 3b a c= − = C 2 2 14 3 x y+ = 1 2k k 1 2 3 4k k = −理 由 ： 直 线 的 方 程 为 ， ， ， ， 联 立 椭 圆 及 直 线 方 程 ， 消去 得 ， ， ， ， ， ， ①， 又点 在椭圆 上，即 ，代入①得， ． 21．【解析】（1）当 时， ， ， ①当 时，在 上， ， 单调递增， 无极值； ②当 时，令 ， 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以此时 取得极大值 ． （2）当 时， ，若函数 在 上恒有两个零点，即 有两个解， 令 ，利用换底公式可得 ， 令 ， ，令 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 时， ， l y kx= ( )0 0,P x y ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y C l 2 2 , 1,4 3 y kx x y = + = y ( )2 24 3 12 0k x+ − = 0∆ > 1 2 2 12 4 3x x k = − + 2 2 1 2 1 2 2 12 4 3 ky y k x x k = = − + 0 1 1 0 1 y yk x x −= − 0 2 2 0 2 y yk x x −= − ( ) ( ) 2 22 0 20 0 1 2 1 2 1 2 2 20 0 1 2 1 2 0 2 12 4 3 12 4 3 kyy y y y y y kk k x x x x x x x k −− + + += =− + + − + ( )0 0,P x y C 2 2 2 20 0 0 0 31 34 3 4 x y y x+ = ⇒ = − + 2 2 0 2 1 2 2 0 2 3 123 34 4 3 12 4 4 3 kx kk k x k − + − += = − − + a e= ( ) lnf x x kx= + 1 1( ) ( 0)kxf x k xx x +′ = + = > 0k (0, )+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x 0k < 1( ) 0f x x k ′ = ⇒ = − 10,x k  ∈ −   ( ) 0f x′ > ( )f x 1 ,x k  ∈ − +∞   ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x 1 1ln 1f k k    − = − −       1k = − ( ) logaf x x x= − ( )f x (0, )+∞ ( ) 0f x = ( ) 0 logaf x x x= ⇒ = lnln xa x = ln( ) xg x x = 2 1 ln( ) xg x x −′ = ( ) 0 , (0, )g x x e x e′ = ⇒ = ∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( , )x e∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x x → +∞ ( ) 0g x →所以 ，则有 ，解得 ． 22．【解析】（1）由 消去参数 ，得 ， 所以圆 的普通方程为 ． 由 ，得 ， 所以直线 的直角坐标方程为 ． （2）直线 与 轴， 轴的交点为 ， ， 设 点的坐标为 ，则 点到直线 的距离为 ， 所以 ，又 ， 所以 面积的最大值是 ． 23．【解析】（1） 或 ，又 ，所以不等式 的解 集为 ． （2） 则 在 单调递减，在 单调递增，所以 1( ) ( )g x g e e = 1lna e < 1 1, ea e  ∈    1 2cos , 3 2sin , x y θ θ = +  = + θ 2 2( 1) ( 3) 4x y− + − = C 2 2( 1) ( 3) 4x y− + − = 2 sin 44 πρ θ − =   cos sin 4ρ θ ρ θ− = l 4 0x y− − = l x y (4,0)A (0, 4)B − M (1 2cos ,3 2sin )θ θ+ + M l 6 2 2 sin|1 2cos 3 2sin 4 | 4 2 2 d π θθ θ  − + − + − − −  = = max 6 2 2 3 2 2 2 d += = + | | 4 2AB = MAB△ 1 (3 2 2) 4 2 12 4 22S′ = ⋅ + ⋅ = + 1 1(0) | 2 | 2 3 1f m m mm m = + − = + ⇒  1 2m 0m > (0) 3f  1|0 12m m m 