四川省南充市高2020届高三第二次高考适应性考试（文科）数学试题

南充市高 2020 届第二次高考适应性考试 数学试题（文科） 【考试时间：2020 年 4 月 7 日下午 15：00～17：00】 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束 后，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑． 第 I 卷共 12 小题． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1． （ ） A． B． C．0 D． 2．已知集合 ，则 （ ） A．0 或 3 B．0 或 3 C．1 或 D．1 或 3 3．3 本不同的语文书，2 本不同的数学书，从中任意取出 2 本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A． B． C． D． 4．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 1i i + = 2i− 1 2 i 2i {1,3, }, {1, },A m B m A B A= = ∪ = m = 3 1 2 1 4 1 5 1 10 1tan ,2 2 πα α π= − < < sinα = 2 5 5 2 5 5 − 5 5 − 5 55．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？ 意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈 尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处 离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？（ ） A．4.55 尺 B．5.45 尺 C．4.2 尺 D．5.8 尺 6．若函数 的图象过点 ，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A． B． C． D． 7．过圆 外一点 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为（ ） A． B． C． D． 8．定义在 上的函数 满足 ， 为 的导函数，已知 的图象如图所示，若 两个正数 满足 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．一个空间几何体的正视图是长为 4，宽为 的长方形，侧视图是边长为 2 的等边三角形，俯视图如图 所示，则该几何体的体积为（ ） 10= 2sin(2 )y x ϕ= + ( ),16 π 6x π= 3x π= 12x π= 5 12x π= 2 2: 4O x y+ = (4, 1)M − 4 4 0x y− − = 4 4 0x y+ − = 4 4 0x y+ + = 4 4 0x y− + = R ( )f x (4) 1f = ( )f x′ ( )f x ( )y f x′= ,a b (2 ) 1f a b+ < 1 1 b a + + (1 1,5 3) 1( , ) (5, )3 −∞ ∪ +∞ (1 ,53 ) ( ,3)−∞ 3A． B． C． D． 10． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则内角 （ ） A． B． C． D． 11．三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成 角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 12．设 分别是双曲线 的左右焦点若双曲线上存在点 ，使 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知向量 满足 ，且 ，则 _________． 14．一次考试后，某班全班 50 个人数学成绩的平均分为正数 ，若把 当成一个同学的分数，与原来的 50 个分数一起，算出这 51 个分数的平均值为 ，则 _________． 15．已知函数 图象上一点 处的切线方程为 ，则 _______． 16．已知 是抛物线 的焦点，过 作直线与 相交于 两点，且 在第一象限， 若 ，则直线 的斜率是_________． 4 3 3 4 3 2 3 3 2 3 ABC△ , ,A B C , ,a b c (2 )cos cosa b C c B− = C = 6 π 4 π 3 π 2 π 60° 4π 16π 16 3 π 32 3 π 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > P 1 2 60F PF∠ = ° 1 22AF AF= 3 5 6 ,a b ( 2 ) ( ) 6a b a b+ ⋅ − = −   | | 1,| | 2a b= = cos ,a b< >=  M M N M N = 2( ) lnf x a x bx= − (2, (2)f 3 2ln 2 2y x= − + + a b+ = F 2: 2 ( 0)C y px p= > F C ,P Q Q 2PF FQ=  PQ三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17．等差数列 中， ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，记 为数列 前 项的和，若 ，求 ． 18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农 民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或 等于 180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． （1）求出易倒伏玉米茎高的中位数 ； （2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联： 抗倒伏 易倒伏 矮茎 高茎 （3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ 附： ， 0.050 0.010 0.001 { }na 1 6 31, 2a a a= = { }na 2 na nb = nS { }nb n 62mS = m m 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2( )P K K3.841 6.635 10.828 19．在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， 是 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）设 是线段 上的动点，当点 到平面 距离最大时，求三棱锥 的体积． 20．设点 分别是椭圆 的左，右焦点， 为椭圆 上任意一点，且 的最小值为 3． （1）求椭圆 的方程； （2）如图，直线 与 轴交于点 ，过点 且斜率 的直线 与椭圆交于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：直线 ． 21．已知两数 ． （1）当 时，求函数 的极值点； （2）当 时，若 恒成立，求 的最大值． K P ABCD− ABCD 120 , 2, ,BAD PA PB PC PD E∠ = ° = = = PB PD∥ AEC F DC E PAF P AFE− 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 2 2 2: 1( 2)4 x yC aa + = > P C 1 2PF PF⋅  C : 5l x = x E 2F 0k ≠ 1l ,A B M 2EF AM l N BN l⊥ ( ) lnf x x kx= + 1k = − ( )f x 0k = ( ) 0( , )bf x a a b Rx + − ∈ 1 1ae b− − +（二）选考题共 10 分． 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，圆 的方程为 ． （1）写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程； （2）若点 的坐标为 ，圆 与直线 交于 两点，求 的值． 23．选修 4-5：不等式选讲 设函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围． 南充市高 2020 届第二次高考适应性考试 数学试题（文科）参考答案及评分意见 一、选择题： 1．C 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．C 11．D 12．A 二、填空题： 13． 14．1 15．3 16． 三、解答题： 17．解：（1）设 的公差为 ，由题设得 xOy l 23 ,2 25 .2 x t y  = −  = + t O x C 2 5 sinρ θ= l C P (3, 5) C l ,A B | | | |PA PB+ ( ) | 1| | |f x x x a= − + − 4a = ( ) 5f x  ( ) 4f x  a R∈ a 1 2 2 2 { }na d因为 ， 所以 解得 ， 故 ． （2）由（1）得 ． 所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 ， 由 得 ， 解得 ． 18．解：（1） ． （2） 抗倒伏 易倒伏 矮茎 15 4 高茎 10 16 （3）由于 ，因此可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认 为抗倒伏与玉米矮茎有关． 19．（1）证明：连接 与 交于 ，连接 ， 因为 是菱形，所以 为 的中点， 又因为 为 的中点， 1 ( 1)na n d= + − 6 32a a= 1 (6 1) 2[1 (3 1) ]d d+ − = + − 1d = na n= 2n nb = { }nb 1 12 2 2 21 2 n n nS + +−= = −− 62mS = 12 2 62m+ − = 5m = 190 190 1902m += = 2 2 45 (15 16 4 10) 7.287 6.63519 26 25 20k × × − ×= = >× × × DB AC O OE ABCD O DB E PB所以 ， 因为 平面 平面 ， 所以 平面 ． （2）解：取 中点 ，连接 ， 因为四边形 是菱形， ，且 ， 所以 ，又 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ． 同理可证： ，又 ， 所以 平面 ， 所以平面 平面 ， 又平面 平面 ， 所以点 到直线 的距离即为点 到平面 的距离， 过 作直线 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为 ， 因为 为 的中点，故点 到平面 的最大距离为 1， 此时， 为 的中点，即 ， 所以 ， 所以 ． 20．解：（1）设 ，则 ， 所以 ， PD OE∥ PD ⊄ ,AEC OE ⊂ AEC PD∥ AEC BC M ,AM PM ABCD 120BAD∠ = ° PC PB= ,BC AM BC PM⊥ ⊥ AM PM M∩ = BC ⊥ APM AP ⊂ APM BC PA⊥ DC PA⊥ BC DC C∩ = PA ⊥ ABCD PAF ⊥ ABCD PAF ∩ ABCD AF= B AF B PAF B AF 2AB = E PB E PAF F DC 3AF = 1 1 2 3 32 2PAFS PA AF= ⋅ = × × =△ 1 33 13 3p AFE E PAFV V− −= = × × = ( , )P x y 1 2( , ), ( , )PF c x y PF c x y= − − − = − −  2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 4aPF PF x y c x ca −⋅ = + − = + − 因为 ． 所以当 时， 值最小， 所以 ，解得 ，（舍负） 所以 ， 所以椭圆 的方程为 ， （2）设直线 的方程为 ， 联立 ，得 ． 设 ，则 ， 设 ，因为 三点共线，又 所以 ，解得 ． 而 所以直线 轴，即 ． 21．解：（1） 定义域为 ，当 时， ， 令 得 ， 2, [ , ]a x a a> ∈ − 0x = 1 2PF PF⋅  24 3c− = 1c = 2 5a = C 2 2 15 4 x y+ = 1l ( 1), 0y k x k= − ≠ 2 2 ( 1), 1,5 4 y k x x y = − + = 2 2 2 2(4 5 ) 10 5 20 0k x k x k+ − + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 1 2 1 22 2 10 5 20,4 5 4 5 k kx x x xk k −+ = =+ + 0(5, )N y , ,A M N (3,0)M 01 13 2 yy x − =− 1 0 1 2 3 yy x = − 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 0 2 2 2 1 1 1 1 10 5 203 52 2 ( 1) 3 ( ) 5 4 5 4 5( 1) 03 3 3 3 k kk k ky k x k x x kx x k k ky y y k xx x x x −⋅ − ⋅ −− + − − + +− = − = − − = = =− − − − BN x∥ BN l⊥ ( )f x′ (0, )+∞ 1k = − 1( ) ln , ( ) 1f x x x f x x ′= − = − ( ) 0f x′ = 1x =所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 有唯一的极大值点 ，无极小值点． （2）当 时， ． 若 恒成立，则 恒成立， 所以 恒成立， 令 ，则 ，由题意 ，函数在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 所以 ， 所以 ， 故 的最大值为 1． 22．解：（1）由 得直线 的普通方程为 因为 ， 所以 ． 所以圆 的直角坐标方程为 ，即 ． （2）把直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得 ，即 ( )f x (0,1) (1, )+∞ ( )f x 1x = 0k = ( ) lnb bf x a x ax x + − = + − ( ) 0,( , )bf x a a b Rx + − ∈ ln 0( , )bx a a b Rx + − ∈ ln ba x x + ln by x x = + 2 x by x −′ = 0b > (0, )b ( , )b +∞ ln 1a b + 1 lna b−  1ae b−  1 1 1ae b− − +  1 1ae b− − + 23 ,2 25 ,2 x t y t  = −  = + l 3 5 0x y+ − − = 2 5 sinρ θ= 2 2 5 sinρ ρ θ= C 2 2 2 5 0x y y+ − = 2 2( 5) 5x y+ − = l C 2 22 23 ( ) 52 2( )t t− + − =． 因为 ，所以设 是方程的两个实数根， 所以 ． 又因为直线 过点 两点对应的参数分别为 ， 所以 ． 23．解：（1）当 时， ， ①当 时， ，解 ， ②当 时， ，空集， ③当 时， 解得 ． 综上 的解集为 或 ． （2）因为 所以 要使 对 恒成立，则 即可， 所以 或 ， 即实数 的取值范围是 或 ． 2 3 2 4 0t t− + = 2( 3 2) 4 4 2 0∆ = − − × = > 1 2,t t 1 2 1 23 2, 4t t t t+ = ⋅ = l (3, 5), ,P A B 1 2,t t 1 2 1 2| | | | 3 2PA PB t t t t+ = + = + = 4a = | 1| | 4 | 5x x− + −  1x < 2 5 5x− + ≥ 0x 1 4x  1 4 3 5x x− + − =  4x > 2 5 5x − ≥ 5x ( ) 5f x  { | 0x x 5}x ( ) | 1| | | | ( 1) ( ) | | 1|f x x x a x x a a= − + − − − − = − min( ) | 1|f x a= − ( ) 4f x  a R∈ | 1| 4a −  3a − 5a a { | 3a a∴ − 5}a