南充市高 2020 届第二次高考适应性考试
数学试题（理科）
【考试时间：2020 年 4 月 7 日下午 15：00～17：00】
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页，满分 150
分，考试时间 120 分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束
后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
注意事项：
必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑．
第Ⅰ卷共 12 小题．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1． （ ）
A． B． C．0 D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A．0 或 B．0 或 3 C．1 或 D．1 或 3
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几
何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈 尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，
抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？（ ）
1i i
+ =
2i− 1
2 i 2i
{1,3, }, {1, },A m B m A B A= = ∪ = m =
3 3
1tan ,2 2
πα α π= − < < sinα =
2 5
5
2 5
5
− 5
5
− 5
5
10=A．4.55 尺 B．5.45 尺 C．4.2 尺 D．5.8 尺
5．已知等式 成立，则 （ ）
A．0 B．5 C．7 D．13
6．过圆 外一点 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．定义在 上的函数 满足 为 的导函数，已知 的图象如图所示，若两
个正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．一个空间几何体的正视图是长为 4，宽为 的长方形，侧视图是边长为 2 的等边三角形，俯视图如图
所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2 3 2 4 2 14
0 1 2 141 (1( 2 ))x x x a a x a x a x− + ⋅ − = + + + + 2 4 14a a a+ + + =
2 2: 4O x y+ = (4, 1)M −
4 4 0x y− − = 4 4 0x y+ − = 4 4 0x y+ + = 4 4 0x y− + =
R ( )f x (4) 1, ( )f f x′= ( )f x ( )y f x′=
,a b (2 ) 1f a b+ < 1
1
b
a
+
+
(1 1,5 3) 1( , ) (5, )3
−∞ ∪ +∞ (1 ,53 ) ( ,3)−∞
3
4 3
3 4 3 2 3
3 2 39． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则内角 （ ）
A． B． C． D．
10．正三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成 角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．设双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ，过点 作平行 的一条渐近线的直线与 交
于点 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．5 D．6
12．已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若存在实数 ，使得
成立，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 满足 ，且 ，则 __________．
14．函数 在 的零点个数为_________．
15．已知所数 图象上一点 处的切线方程为 ，则
______．
16．设 为抛物线 的焦点， 为 上互相不重合的三点，且 、 、 成
等差数列，若线段 的垂直平分线与 轴交于 ，则 的坐标为_______．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
ABC△ , ,A B C , ,a b c (2 )cos cosa b C c B− = C =
6
π
4
π
3
π
2
π
60°
4π 16π 16
3
π 32
3
π
2 2
: 19 16
x yC − = A F F C C
B AFB△
32
15
64
15
( ) , ( ) ln( 2) 4x a a xf x x e g x x e− −= + = + − e 0x
0 0( ) ( ) 3f x g x− = a
1 ln 2− + 1 ln 2− − ln 2 ln 2−
,a b ( 2 ) ( ) 6a b a b+ ⋅ − = − | | 1,| | 2a b= = cos ,a b< >=
( ) cosf x x x= − [0, )+∞
2( ) lnf x a x bx= − (2, (2))f 3 2ln 2 2y x= − + + a b+ =
F 2: 4C y x= , ,A B D C | |AF | |BF | |DF
AD x (3,0)E B17．等差数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，记 为数列 前 项的和，若 ，求 ．
l8．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农
民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于
或等于 180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数 ；
（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：
抗倒伏 易倒伏
矮茎
高茎
（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有
关？
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，
是 的中点．
{ }na 1 6 31, 2a a a= =
{ }na
2 na
nb = nS { }nb n 62mS = m
m
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2( )P K K
K
P ABCD− ABCD 120 , 2, ,BAD PA PB PC PD E∠ = ° = = =
PB（1）证明： 平面 ；
（2）设 是直线 上的动点，当点 到平面 距离最大时，求面 与面 所成二面角的正
弦值．
20．设点 分别是椭圆 的左，右焦点， 为椭圆 上任意点，且
的最小值为 0．
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，作 分别交直线 于
两点，求四边形 面积 的最大值．
21．已知函数 ．
（1）若函数 不存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（2）若 有两个极值点 ，且 ，求 的最小值．
（二）选考题：共 10 分．
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
PA ⊥ ABCD
F BC E PAF PAF EAC
1 2( ,0), ( ,0)F c F c−
2
2
2: 1( 1)xC y aa
+ = > P C
1 2PF PF⋅
C
:l y kx m= + C 1 2,F M l F N l⊥ ⊥ l
,M N 1 2F MNF S
21( ) ln2f x x mx x= + +
( )f x m
( )f x 1 2 1 2, ,( )x x x x< 3 2
2m − 1 2( ) ( )f x f x−在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在以原点 为极点， 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的方程为 ．
（1）写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
（2）若点 的坐标为 ，圆 与直线 交于 两点，求 的值．
23．选修 4-5：不等式选讲
设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
南充市高 2020 届第二次高考适应性考试
数学试题（理科）参考答案及评分意见
一、选择题：
1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．B 9．C 10．D 11．A 12．B
二、填空题：
13． 14．1 15．3 16． 或
三、解答题：
17．解：（1）设 的公差为 ，由题设得
因为 ，
所以
xOy l
23 ,2
25 .2
x t
y t
= −
= +
t O x
C 2 5 sinρ θ=
l C
P (3, 5) C l ,A B | | | |PA PB+
( ) | 1| | |f x x x a= − + −
4a = ( ) 5f x
( ) 4f x a R∈ a
1
2 (1,2) (1, 2)−
{ }na d
1 ( 1)na n d= + −
6 32a a=
1 (6 1) 2[1 (3 1) ]d d+ − = + −解得 ，
故 ．
（2）由（1）得 ．
所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 ，
由 得 ，
解得 ．
18．解：（1） ．
（2）
抗倒伏 易倒伏
矮茎 15 4
高茎 10 16
（3）由于 ，因此可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，
认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
19．（1）证明：取 中点 ，连接 ，
因为四边形 为菱形且 ．
所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
1d =
na n=
2n
nb =
{ }nb
1
12 2 2 21 2
n
n
nS
+
+−= = −−
62mS = 12 2 62m+ − =
5m =
190 190 1902m
+= =
2
2 45 (15 16 4 10) 7.287 6.63519 26 25 20k
× × − ×= = >× × ×
BC M ,PM AM
ABCD 120BAD∠ = °
AM BC⊥
PB PC= PM BC⊥
AM PM M∩ =
BC ⊥ PAM PA ⊂ PAM所以 ．
同理可证 ，
因为 ，
所以 平面 ．
（2）解：由（1）得 平面 ，
所以平面 平面 ，平面 平面 ．
所以点 到直线 的距离即为点 到平面 的距离．
过 作 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为 ，此时 必过 的中点，
因为 为 中点，所以此时，点 到平面 的距离最大，最大值为 1．
以 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ．
则
所以
平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
取 ，则 ，
，
所以 ，
PA BC⊥
PA DC⊥
DC BC C∩ =
PA ⊥ ABCD
PA ⊥ ABCD
PAF ⊥ ABCD PAF ∩ ABCD AF=
B AF B PAF
B AF 2AB = AF DC
E PB E PAF
A , ,AF AB AP , ,x y z A xyz−
(0,0,0), ( 3,1,0), (0,1,1), (0,2,0)A C E B
( 3,1,0), (0,1,1), (0,2,0)AC AE AB= = =
PAF (0,2,0)AB =
AEC ( , , )n x y z=
0,
0,
AC n
AE n
⋅ = ⋅ =
3 0,
0,
x y
y z
+ = + =
1y = 3( ,1, 1)3n = − −
21cos , 7| | | |
n ABn AB
n AB
⋅< >= =
⋅
2 7sin , 7n AB< >=所以面 与面 所成二面角的正弦值为 ．
20．解：（1）设 ，则 ，
所以 ，
由题意当 时， 最小，所以 ，则 ，
所以椭圆 的方程为
（2）联立 得 ．
因为 与 有且只有一个公共点，
所以 ，
化简得 ．
设 ．
①当 时，设直线 倾斜角为 ，则
，
所以 ，
所以 ，
因为
PAF EAC 2 7
7
( , )P x y 1 2( , ), ( , )PF c x y PF c x y= − − − = − −
2
2 2 2 2 2
1 2 2
1 1 , [ , ]aPF PF x y c x c x a aa
−⋅ = + − = + − ∈ −
0x = 1 2PF PF⋅ 21 0, 1c c− = = 2 2a =
C
2
2 12
x y+ =
2
2
,
12
y kx m
x y
= + + =
2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
l C
2 2 2 216 4(2 1)(2 2) 0k m k m∆ = − + − =
2 22 1m k= +
1 1 2 22 2
| | | |,
1 1
k m k md F M d F N
k k
− + += = = =
+ +
0k ≠ l θ
1 2 | | | tan |d d MN θ− = ⋅
1 2
1| | | |MN d dk
= −
1 2 1 2 2 2
1 1 2 | | 4 | | 4( ) 12 | | 1 1 | | | |
m mS d d d dk k m m m
= ⋅ − + = = =+ + +
2 22 1m k= +所以当 时， ，即 ．
②当 时，四边形 是矩形，此时 ，
所以四边形 面积 的最大值为 2．
21．解：（1） ．
设 ，
①若 ，即 ，则 恒成立，
恒成立，符合题意．
②若 ，即 或 ．
当 时， 有两个不等负根，符合题意．
当 时， 有两个不等正根，则在两根之间函数 单调递减，不合题意．
综上： ．
（2）由题意得 为 的两个零点，由（1）得 ，则
0k ≠ 1| | 1,| | 2| |m m m
> + > 0 2S< <
0k = 1 2F MNF 2S =
1 2F MNF S
21 1( ) ( 0)x mxf x x m xx x
+ +′ = + + = >
2( ) 1g x x mx= + +
2 4 0m∆ = − 2 2m− ( ) 0g x
( ) 0f x′
2 4 0m∆ = − > 2m > 2m < −
2m > 2 1 0x mx+ + =
2m < − 2 1 0x mx+ + = ( )f x
[ 2, )m∈ − +∞
1 2,x x 2( ) 1g x x mx= + + 1 2 1 2, 1x x m x x+ = − =
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1( ) ( ) ln ( ln )2 2f x f x x mx x x mx x− = + + − + +
2 2
1 2 1 2 1 2
1 ( ) ( ) ln ln2 x x m x x x x= − + − + −
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 ( ) ( )( ) ln ln2 x x x x x x x x= − − + − + −
2 21
1 2
2
1ln ( )2
x x xx
= − −
2 2
1 1 2
2 1 2
1ln 2
x x x
x x x
−= − ⋅设 ，由 且 得 ，则
，
记 ，
则 ，
故 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，所以
即 ，故
所以 ，
所以 的最小值为 ，即
的最小值为 ．
22．解：（1）由 得直线 的普通方程为
因为 ，
所以 ．
1 1 2
2 2 1
1ln ( )2
x x x
x x x
= − −
1
2
x tx
= 1 2x x< 3 2
2m − 0 1t< <
1 2
1 1( ) ( ) ln ( )2f x f x t t t
− = − −
( )
1 1ln ( ),(0 1)2t t t tt
ϕ = − − < <
2 2
( ) 2
2 1 ( 1) 02 2t
t t t
t t
ϕ − − − −′ = = <
( )t
ϕ (0,1)
3 2
2m −
2
1 2
9
2( )x x+
2 2
1 2
5
2x x+
2 2
1 2
1 2
5
2
x x
x x
+
1 5 ,(0 1)2t tt
+ < 1 2,t t
1 2 1 23 2, 4t t t t+ = ⋅ =
l (3, 5), ,P A B 1 2,t t
1 2 1 2| | | | 3 2PA PB t t t t+ = + = + =
4a = | 1| | 4 | 5x x− + −
1x < 2 5 5x− + 0x
1 4x 1 4 3 5x x− + − =
4x > 2 5 5x − ≥ 5x ≥
( ) 5f x { | 0x x 5}x
( ) | 1| | | | ( 1) ( ) | | 1|f x x x a x x a a= − + − − − − = −
min( ) | 1|f x a= −
( ) 4f x a R∈ | 1| 4a −
3a − 5a
a { | 3a a − 5}a
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