2019-2020 学年度南充市白塔中学高二入学考试
理科数学
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形
码粘贴是否正确。
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答
题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题.（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．直线 （ 为常数）的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．自 2019 年 12 月以来，湖北武汉爆发新冠肺炎后，全国人民急需大量口罩。我市某口罩厂
甲、乙、丙三个车间生产了同一种口罩，数量分别为 件， 件， 件．为了解它
们的口罩质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 的样本进行调查，其中
从乙车间的产品中抽取了 件，则 （ ）
A． B． C． D．
4．直线 与 平行，则 的值等于( )
A． B． C． D．
5．若动点 满足 ，则动点 的轨迹是( )
x R∀ ∈ 2x x>
x R∀ ∉ 2
0 0x x≤ x R∀ ∈ 2
0 0x x≤
0x R∃ ∉ 2
0 0x x> 0x R∃ ∈ 2
0 0x x≤
: 2 2 0l x y a− − = a
30° 45° 60° 135°
2400 1600 1200
n
40 =n
90 100 120 130
1 : 1 0l x my+ + = 033)2(:2 =++− myxml m
31或− 31或 3 1−
),( yxP 6)3()3( 2222 =++++− yxyx PA．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
6． 与 的公共弦所在的直线和两坐标轴
所围成图形的面积为 2，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
7．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．若执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
9．椭圆 上一点 到左焦点 的距离是 2， 是 的中点， 是坐标原点，
则 的值为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．2
10.已知双曲线 ( ， )的离心率与椭圆 的离心率互为倒数，
则双曲线 C 的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
11．已知函数 ， ，若关于 的方程 在区间 内有两个
实数解，则实数 的取值范围是( )
2 2
1 : 4O x y+ =
a
2 2
2 : 4 4 4 0O x y x y a+ − + − =
1− 3 5 1− 3
2 lnx xy x
=
T
3log2 2 7log2
2 2
116 9
x y+ = M 1F N 1MF O
ON
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b >
2 2
15 4
x y+ =
02 =± yx 02 =± yx 02 =± yx 02 =± yx
( )f x kx= ln( ) xg x x
= x ( ) ( )f x g x= 1[ , ]ee
kA． B． C． D．
12．长方体 中， ， ， ， 为该正方体侧面
内（含边界）的动点，且满足 .则四棱锥
体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题。（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．
13．函数 在点 处的切线方程为________．
14.某学生一学期的 5 次模拟考试中数学平均成绩 70，物理平均成绩 68.该班主任老师通过研
究发现该学生的数学成绩 和物理成绩 具有线性相关关系，现已知其线性回归方程为
，则根据此线性回归方程预测该学生期末考试中数学成绩得 90 分时的物理成
绩为________．
15.在区间 上随意选择两个实数 ， ，则满足 的概率为_______.
16．若 ， 为自然数 ，则下列不等式：① ；②
；③ ，其中一定成立的序号是__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明及演算步骤．）
17．（本小题满分 10 分）已知 ： ， ： .
（1）若 为真，求 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18. （本小题满分 12 分）2019 年双“十一”结束后，某网站针对购物超过 800
元的购买者 10000 者进行调查，得到如下统计表：
（1）求 的值；
（2）从年龄在 的购物者中用分层抽样的方法抽取 7 人，再在这 7 人中
随机取出 2 人，求取到的 2 人中年龄在 、 内各一人的概率.
2
1 1[ , )2e e
1 1( , ]2e e 2
1(0, )e
1( , )e
+∞
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB = 1BC = 1 2AA = P
1 1CC D D tan tan 2 3PAD PBC∠ + ∠ = P ABCD−
2 20, 3
4 3 2 3,9 3
2 30, 3
4 3 2 2,9 3
( ) 2 lnf x x x= + (1,2)
x y
ˆ ˆ0.35y x a= +
[ ]2,0 x y 122 >+ yx
0 1a b< < < e ( )2.71828≈e 1 1+ +>a bb a
ln ln− > −a be e a b ( ) ( )log 1 log 1+ > +a ba b
p 2 3 2 0x x− + ≤ q [ ]( ) ( 2) 0x m x m− − + ≤
p¬ x
q¬ p¬ m
a
[30,60)
[40,50) [50,60)19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 是边长为 4 的正方形，
平面 ， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
20.（本小题满分 12 分）已知 经过点 ， ，且圆心 C 在直线 上，
（1）求 的方程；
（2）设直线 与 相交于 P、Q 两点． 为坐标原点，若 ，求实数
的值.
21．（本小题满分 12 分）已知圆 ： ，过 且与圆 相切的动圆
圆心为 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）已知过点 的两直线 和 互相垂直，且直线 交曲线 于 ， 两点，直线 交曲
线 于 ， 两点（ ， ， ， 为不同的四个点），求四边形 的面积的最
小值.
22．（本小题满分 12 分）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围.
S ABCD− ABCD SD ⊥
ABCD E F， AB SC，
//EF SAD
8SD = D EF S− −
C )0,2(−A )2,0(B y x=
C
:l y x n= + C O 2=⋅OQOP
n
C ( )2 21 16x y− + = ( )1,0D − C
P
P E
C 1l 2l 1l E G M 2l
E H N M N G H MNGH
( ) 2 ln 1,x a xf x a= − − ∈R
( )f x
( )f x2019-2020 学年度南充市白塔中学高二入学考试参考答案
一、选择题.
二、填空题
13. 14. 75 15. 16. ①③.
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明及演算步骤．）
17．（本小题满分 10 分）已知 ： ， ： .
（1）若 为真，求 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
解析：（1） ： ，解得 或 ．........................（2 分）
故 的取值范围为 ．..........................................................（4 分）
（2）当 真时， ，记 ，
当 为真时， ，记 ．
因为 是 的充分不必要条件
所以 是 的充分不必要条件，所以 ..................................................（6
分）
即 ，解得 ．.....................................................................（8
分）
故实数 的取值范围为 ．.......................................................................（10 分）
18. （本小题满分 12 分）2019 年双“十一”结束后，某网站针对购物超过 800 元的购买者
10000 人进行调查，得到如下统计表：
（1）求 的值；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B D C A B C A C B A D
3 1 0x y− − =
161
π−
p 2 3 2 0x x− + ≤ q [ ]( ) ( 2) 0x m x m− − + ≤
p¬ x
q¬ p¬ m
p¬ 2 3 2 0x x− + > 2x > 1x <
x ( ) ( ),1 2,−∞ ∪ +∞
p 1 2x≤ ≤ [ ]1,2A =
q 2m x m≤ ≤ + [ ], 2B m m= +
q¬ p¬
p q A B⊂
1
2 2
m
m
≤
+ ≥ 0 1m≤ ≤
m [ ]0,1
a（2）从年龄在 的购物者中用分层抽样的方法抽取 7 人，再在这 7 人中随机取出 2 人，
求取到的 2 人中年龄在 、 内各一人的概率.
解析：（1）因为参与调查的总人数为 10000 人，
由表中数据可得 ，所以 （人）.（3 分）
（2）由（1）知年龄在 的购物者由 4000 人，年龄在 的购物者由 2000 人，年
龄在 的购物者由 1000 人，
从年龄在 的购物者中用分层抽样的方法抽取 7 人，年龄在 的购物者应抽取 4
人，用 、 、 、 表示，年龄在 的购物者应抽取 2 人，用 、 表示.年龄
在 的购物者应抽取 1 人，用 表示................6 分
所以在这 7 人中随机取出 2 人所有可能的情况有：
共 21 种情况，.....................9 分
其中取到的 2 人中在 、 内各一人有：
， 共 2 种情况，........................................10 分
由古典概型的计算公式，所求的概率为 ......................12 分
19．（本小题满分 12 分）19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，
是边长为 4 的正方形， 平面 ， 分别为
的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
【解析】（1）证明：记 的中点为 ，连接 ， .
因为 分别为 的中点，
则 ，且 .
因为 ，且 ，
所以 ，且 ，
[30,60)
[40,50) [50,60)
2000 2 1000 600 400 10000a a+ + + + + = 2000a =
[30,40) [40,50)
[50,60)
[30,60) [30,40)
1A 2A 3A 4A [40,50) 1B 2B
[50,60) C
,,,,,,,,,,, 22212423212111413121 CABABAAAAACABABAAAAAAA ,,,, 3231343 CABABAAA
,,, 42414 CABABA ,, 121 CBBB CB2
[40,50) [50,60)
CB2 CB1
2
21P =
S ABCD− ABCD
SD ⊥ ABCD E F， AB SC，
//EF SAD
8SD = D EF S− −
SD G GF GA
E F， AB SC，
//GF CD 1
2GF CD=
//AE CD 1
2AE CD=
//GF AE GF AE=所以四边形 为平行四边形，.....................3 分
则 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .....................6 分
（2）以 为原点，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则
令 ，则 ......................8 分
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，则 ......................10 分
，
设二面角 为 ，则 ，
即二面角 的正弦值为 .......................12 分
20.（本小题满分 12 分）已知 经过点 ， ，且圆心 C 在直线 上，
（1）求 的方程；
（2）设直线 与 相交于 P、Q 两点． 为坐标原点，若 ，求实数
的值；
GFEA
//EF AG
EF ⊄ SAD AG ⊂ SAD
//EF SAD
D DA DC DS x y z
D xyz−
( )0 0 8S ，， ( )0 0 0D ，， ( )4 2 0E ，， ( )0 2 4F ，，
(4,2,0), (0,2,4), ( 4,0,4), ( 4, 2,8)DE DF EF ES= = = − = − −
DEF ( )1 1 1m x y z= ， ，
1 1
1 1
4 2 0
2 4 0
DE m x y
DF m y z
⋅ = + = ⋅ = + =
1 2x = ( )2 4 2m = − ， ，
SEF ( )2 2 2n x y z= ， ，
2 2
2 2 2
4 4 0
4 2 8 0
EF n x z
ES n x y z
⋅ = − + = ⋅ = − − + =
2 2x = ( )2 4 2n = ，，
1, 3
m ncosm n m n
⋅= = −
D EF S− − θ 2 2
3sinθ =
D EF S− − 2 2
3
C )0,2(−A )2,0(B y x=
C
:l y x n= + C O 2=⋅OQOP
n解析：（1）设圆心 ，半径为 ．因为 经过点 ， ，
所以 .....................................（2 分）
即 ，...............................（4 分）
解得 ， ，
所以 的方程是 ．..........................................（6 分）
（2）设 与 的夹角为 ，则
.
所以 ， ，..........................................（8 分）
所以圆心 到直线 的距离 ，
又 ...............................（10 分）
所以 ．......................................（12 分）
21．（本小题满分 12 分）已知圆 ： ，过 且与圆 相切的动圆
圆心为 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）已知过点 的两直线 和 互相垂直，且直线 交曲线 于 ， 两点，直线 交曲
线 于 ， 两点（ ， ， ， 为不同的四个点），求四边形 的面积的最
小值.
21.解：（1）设动圆半径为 ，由于 在圆内，故圆 与圆 内切，
则 ， ，∴ ，...............................（2 分）
由椭圆定义可知，点 的轨迹 是以 、 为焦点，实轴长为 4 的椭圆，
， ， ，
),( mmC R C )0,2(−A )2,0(B
RBCAC ==
=−+
=++
Rmm
Rmm
22
22
)2(
)2(
0=m 2=R
C 422 =+ yx
OP OQ θ
2cos =⋅=⋅ θOQOPOQOP
[ ]
∈
=
πθ
θ
,0
2
1cos
3
πθ =
C 0: =+− nyxl 3=d
3
)1(1 22
=
−+
= nd
6±=n
C ( )2 21 16x y− + = ( )1,0D − C
P
P E
C 1l 2l 1l E G M 2l
E H N M N G H MNGH
r D P C
4= −PC r PD r= 4 2PC PD CD+ = > =
P E C D
2a = 1c = 4 1 3b = − =∴轨迹 的方程为 .........................................（4 分
（2）当 或 的斜率不存在时
四边形 的面积 ，...........................（6 分）
当两条直线的斜率都存在时，设 的斜率为 ，则 的斜率为 ，
则 的方程为 ， 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
由韦达定理得 .................（8 分）
设 ， ，则 ，
同理可得 ，
∴
，.....................（10 分）
当且仅当 ，即 时等号成立.
由于 ，因此当 时，四边形 的面积取得最小值为 .......（12 分）
另解一：
E
2 2
14 3
x y+ =
1l 2l
MNGH ( ) 2
21 22 2 62
bS a ba
= ⋅ = =
1l 1k k= 2l 2
1k k
= −
1l ( )1y k x= − 2l ( )1 1y xk
= − −
( )
2 2
1
14 3
y k x
x y
= − + =
( ) ( )2 2 2 24 3 8 4 3 0k x k x k+ − + − =
( ) ( ) ( )
( )
22 2 2 2
2
1 2 2
2
1 2 2
8 4 4 3 4 3 144 144 0
8+ = 4 3
4 3
= 4 3
k k k k
kx x k
k
x x k
∆ = − + ⋅ − = + >
+
−
⋅ +
( )1 1,G x y ( )2 2,M x y 2 2
1 2 21 1 4 3GM k x x k k
∆= + − = + +
( )2
2
12 1
4 3
k
k
+
= +
( ) ( )
2
2 2
2
22 2
2
112 112 1 12 1
4 3 4 314 3
k
N
k k
k k
k
H
− + + + = = =+ +− +
1
2MNGHS GM HN= ⋅
( )
( )( )
( )2 22 2
22 2 2 2
1 1 28872 72 493 4 4 3 3 4 4 3
2
k k
k k k k
+ +
= ⋅ ≥ ⋅ =
+ + + + +
2 23 4 4 3k k+ = + 1k = ±
288 649
< 1k = ± MNGH 288
49
( )
( )( )
( )22 4 2
4 22 2
1 72 2 1
72 12 25 123 4 4 3MNGH
k k k
S k kk k
+ + +
= ⋅ = + ++ +.
当 即 时等号成立..........................................................................（10 分）
由于 ，因此当 时，四边形 的面积取得最小值为 .......（12 分）
22．（本小题满分 12 分）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围.
【解析】：（1） ， .........................................（2 分）
①当 时， 恒成立，∴ 的单调递增区间为 .......（3 分）
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；
当 时， ，..................................................................（4 分）
∴ 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ...............（5 分）
（2）当 时， 单调递增， ，
∴ 有唯一零点，符合题意；...................................................................（6 分）
当 时， 在 处取得最小值，
（ⅰ）当 ，即 时， ，∴ 符合题意；.......（7 分）
（ⅱ）当 ，即 时， ，
( )4 2 2
4 2
2
2
6 12 25 12 16 1 1212 25 12 12 25
k k k
k k k k
+ + − = = − + + + +
1 2886 1 2 12 25 49
≥ − = × +
2
2
1212 =k k 1k = ±
288 649
< 1k = ± MNGH 288
49
( ) 2 ln 1,x a xf x a= − − ∈R
( )f x
( )f x
( ) 222 a x af x x x x
=′ −= − 0x >
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( ) 0f x′ =
2
ax =
0, 2
ax
∈
( ) 0f x′ <
,2
ax
∈ +∞
( ) 0f x′ >
( )f x 0, 2
a
,2
a +∞
0a ≤ ( )f x ( )1 0f =
( )f x
0a > ( )f x
2
ax =
12
a = 2a = ( ) ( )min 1 0f x f= = 2a =
12
a < 0 2a< < ( )1 02
af f
< = ∵ ，且 ，
∴存在 ，使得 ，∴ 不符题意；.......（8 分）
（ⅲ）当 ，即 时， ，
∵ ，
设 ， ，则 ，
∴ 单调递增，即 ，∴ ，...................................（9 分）
∵ ，............................................................................................................（10 分）
∴存在 ，使得 ，∴ 不符题意；.........（11 分）
综上，a 的取值范围是 .........................................................................（12 分）
1 2 2
1 1 0a a af e e e
− − − = + − = >
1
0 1ae
−< <
1
1 , 2
ax e a− ∈
( ) ( )1 1 0f x f= = 0 2a< <
12
a > 2a > ( )1 02
af f
< =
( ) ( ) ( ) ( )( )21 1 ln 1 1 2 ln 1f a a a a a a a− = − − − − = − − −
1 1a t− = > ( ) ( )2 ln 1 1 lna a t t h t− − − = − − = ( ) 11 0h t t
′ = − >
( )h t ( ) ( )1 0h t h> = ( )1 0f a − >
1 2
aa − >
2 , 12
ax a
∈ −
( ) ( )2 1 0f x f= = 2a >
( ] { },0 2−∞
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