2020 年高考数学第二次模拟测试试卷（文科）
一、选择题
1．设集合 A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则 A∩（∁RB）＝（ ）
A．[﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣1，1] D．[﹣1，+∞）
2．棣莫弗公式（cosx+isinx）n＝cosnx+isinnx（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667
﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos +isin ）6 在复平面内所对应的
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线 3x﹣2y+a＝0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣7 或 a＞24 B．a＝7 或 a＝24
C．﹣24＜a＜7 D．﹣7＜a＜24
4．已知 f（x）＝ 是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数 a 的取
值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0， ） C．[ ， ） D．[ ，1）
5．一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如表：
组别 （0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在（10，40]上的频率为（ ）
A．0.13 B．0.52 C．0.39 D．0.64
6．在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，AD⊥AB， ＝ ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
7．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
8．已知抛物线 y2＝8x，过点 A（2，0）作倾斜角为 的直线 l，若 l 与抛物线交于 B、C
两点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ）A． B． C． D．
9．如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，现有下列结论：
①AC⊥BD②AC∥截面 PQMN
③AC＝BD④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④
10．已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是 π，若其图象向右
平移 个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 f（x）的图象关于直线 x＝ 对称
B．函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称
C．函数 f（x）在区间[ ]上单调递减
D．函数 f（x）在[ ]上有 3 个零点
11．已知函数 y＝f（x）是 R 上的奇函数，函数 y＝g（x）是 R 上的偶函数，且 f（x）＝g（
x+2），当 0≤x≤2 时，g（x）＝x﹣2，则 g（10.5）的值为（ ）
A．1.5 B．8.5 C．﹣0.5 D．0.5
12．已知双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原
点，点 P 是双曲线在第一象限内的点，直线 PO，PF2 分别交双曲线 C 的左、右支于另
一点 M，N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知 x 轴为曲线 f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1 的切线，则 a 的值为 ．14．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn＝2an﹣2，则 S5﹣S4＝ ．
15．在△ABC 中，若 ，则 的值为 ．
16．已知球 O 的半径为 r，则它的外切圆锥体积的最小值为
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
：共 60 分．
17．已知数列{an}的首项 ，an+1an+an+1＝2an ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）数列 的前 n 项和 Sn．
18．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某
种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出 1 吨该商品可获利润 0.5 万元，未售出的
商品，每 1 吨亏损 0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的
频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品．现以 x（
单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该
电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（1）将 T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式；
（2）根据直方图估计利润 T 不少于 57 万元的概率；
（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小
（保留到小数点后一位）．
19．如图所示，四棱锥 S﹣ABCD 中，SA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD
＝SA＝1，BC＝2，M 为 SB 的中点．
（1）求证：AM∥平面 SCD；
（2）求点 B 到平面 SCD 的距离．20．已知椭圆 ，F1、F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．
（1）求∠F1MF2 的最大值，并证明你的结论；
（ 2 ） 若 A 、 B 分 别 是 椭 圆 C 长 轴 的 左 、 右 端 点 ， 设 直 线 AM 的 斜 率 为 k ， 且
，求直线 BM 的斜率的取值范围．
21．已知函数 （e 为自然对数的底数），其中 a＞0．
（1）在区间 上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存
在，请说明理由．
（ 2 ） 若 函 数 f （ x ） 的 两 个 极 值 点 为 x1 ， x2 （ x1 ＜ x2 ） ， 证 明 ：
．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定
的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1： （t 为参数， ），曲线 C1
： （β 为参数），l1 与 C1 相切于点 A，以坐标原点为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 C1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；
（2）已知直线 l2： 与圆 C2： 交于 B，C 两点，
记△AOB 的面积为 S1，△COC2 的面积为 S2，求 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 f（x）＝|x﹣2a|．（1）当 a＝1 时，解不等式 f（x）＞2x+1；
（2）若存在实数 a∈（1，+∞），使得关于 x 的不等式 f（x）+ ＜m 有实数解
，求实数 m 的取值范围．参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则 A∩（∁RB）＝（ ）
A．[﹣1，2） B．[2，+∞） C．（﹣1，1] D．[﹣1，+∞）
【分析】求函数的定义域得集合 B，再根据补集与交集的定义运算即可．
解：集合 A＝{x|﹣1＜x＜2}，
B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，
∴∁RB＝{x|x≤1}，
∴A∩（∁RB）＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．
故选：C．
2．棣莫弗公式（cosx+isinx）n＝cosnx+isinnx（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667
﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos +isin ）6 在复平面内所对应的
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由题意可得（cos +isin ）6＝cos +isin ＝ ，再
由三角函数的符号得答案．
解：由（cosx+isinx）n＝cosnx+isinnx，
得（cos +isin ）6＝cos +isin ＝ ，
∴复数（cos +isin ）6 在复平面内所对应的点的坐标为（ ，﹣sin ），位
于第三象限．
故选：C．
3．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线 3x﹣2y+a＝0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a＜﹣7 或 a＞24 B．a＝7 或 a＝24
C．﹣24＜a＜7 D．﹣7＜a＜24
【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．
解：∵点（3，1）与 B（﹣4，6），在直线 3x﹣2y+a＝0 的两侧，
∴两点对应式子 3x﹣2y+a 的符号相反，
即（9﹣2+a）（﹣12﹣12+a）＜0，
即（a+7）（a﹣24）＜0，
解得﹣7＜a＜24，
故选：D．
4．已知 f（x）＝ 是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数 a 的取
值范围是（ ）
A．（0，1） B．（0， ） C．[ ， ） D．[ ，1）
【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．
解：∵f（x）＝ 是（﹣∞，+∞）上的减函数，
∴满足 ，
即 ，
解得 ，
故选：C．
5．一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如表：
组别 （0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在（10，40]上的频率为（ ）
A．0.13 B．0.52 C．0.39 D．0.64【分析】由频率分布表计算样本数据落在（10，40]上的频率值．
解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40]上的频率为：
＝0.52．
故选：B．
6．在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，AD⊥AB， ＝ ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】将 转化成（ + ） ，化简后得 • ，然后转化成 • ＝
（ ﹣ ）• ，再进行化简可得结论．
解：∵在△ABC 中，AD⊥AB，
∴ ＝0
＝（ + ）
＝ • + •
＝ •
＝ •
＝ （ ﹣ ）•
＝ • ﹣ •
＝
故选：D．
7．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．
解：原式＝sin163°•sin223°+cos163°cos223°
＝cos（163°﹣223°）
＝cos（﹣60°）＝ ．
故选：B．
8．已知抛物线 y2＝8x，过点 A（2，0）作倾斜角为 的直线 l，若 l 与抛物线交于 B、C
两点，弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P，则线段 AP 的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程 3x2﹣20x+12＝0，利用韦达定理
，可求弦 BC 的中点坐标，求出弦 BC 的中垂线的方程，可得 P 的坐标，即可得出结论．
解：由题意，直线 l 方程为：y＝ （x﹣2），
代入抛物线 y2＝8x 整理得：3x2﹣12x+12＝8x，
∴3x2﹣20x+12＝0，
设 B（x1，y1）、C（x2，y2），
∴x1+x2＝ ，
∴弦 BC 的中点坐标为（ ， ），
∴弦 BC 的中垂线的方程为 y﹣ ＝﹣ （x﹣ ），
令 y＝0，可得 x＝ ，
∴P（ ，0），
∵A（2，0），
∴|AP|＝ ．
故选：A．
9．如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，现有下列结论：
①AC⊥BD②AC∥截面 PQMN
③AC＝BD④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°
其中所有正确结论的编号是（ ）A．①③ B．①②④ C．③④ D．②③④
【分析】在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，由 AC∥MN，可得：AC∥截面 PQMN
．由 AC∥PQ，BD∥QM，PQ⊥QM，可得 AC⊥BD．进而判断出结论．
解：在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，
由 AC∥MN，可得：AC∥截面 PQMN．
由 AC∥PQ，BD∥QM，PQ⊥QM，∴AC⊥BD．
＝ ， ＝ ，BP+AP＝1，PN＝PQ，可得： + ＝ ，AC 与 BD 不一定
相等．
∵BD∥QM，PM 与 QM 所成的角为 45°，∴异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°．
其中所有正确结论的编号是①②④．
故选：B．
10．已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是 π，若其图象向右
平移 个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 f（x）的图象关于直线 x＝ 对称
B．函数 f（x）的图象关于点（ ，0）对称
C．函数 f（x）在区间[ ]上单调递减
D．函数 f（x）在[ ]上有 3 个零点
【分析】函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是 π， ＝π，
解得 ω＝2．f（x）＝sin（2x+φ），若其图象向右平移 个单位后得到的函数 g（x）为
奇函数，g（x）＝sin（2x﹣ +φ），可得 g（0）＝sin（﹣ +φ）＝0，可得 φ，f
（x）．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．解：函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期是 π，∴ ＝π，解
得 ω＝2．
∴f（x）＝sin（2x+φ），
若其图象向右平移 个单位后得到的函数 g（x）为奇函数，
∴g（x）＝sin（2x﹣ +φ），可得 g（0）＝sin（﹣ +φ）＝0，
∴﹣ +φ＝kπ，k∈Z，取 k＝﹣1，可得 φ＝﹣ ．
∴f（x）＝sin（2x﹣ ），
验证：f（ ）＝0，f（ ）＝﹣1，因此 AB 不正确．
若 x∈[ ]，则（2x﹣ ）∈[﹣ ，﹣ ]，因此函数 f（x）在区间[
]上单调递减，正确．
若 x∈[ ]，则（2x﹣ ）∈[ ， ]，因此函数 f（x）在区间 x∈[
]上只有两个零点，不正确．
故选：C．
11．已知函数 y＝f（x）是 R 上的奇函数，函数 y＝g（x）是 R 上的偶函数，且 f（x）＝g（
x+2），当 0≤x≤2 时，g（x）＝x﹣2，则 g（10.5）的值为（ ）
A．1.5 B．8.5 C．﹣0.5 D．0.5
【分析】根据函数 y＝f（x）是 R 上的奇函数，并且 f（x）＝g（x+2），得到 g（﹣x+2
）＝﹣g（x+2）．结合 g（x）是 R 上的偶函数，得到 g（x+2）＝﹣g（x﹣2），进而推
出函数的周期为 8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．
解：由题意可得：因为函数 y＝f（x）是 R 上的奇函数，并且 f（x）＝g（x+2），
所以 f（﹣x）＝﹣f（x），即 g（﹣x+2）＝﹣g（x+2）．
又因为函数 y＝g（x）是 R 上的偶函数，
所以 g（x+2）＝﹣g（x﹣2），
所以 g（x）＝﹣g（x﹣4），
所以 g（x﹣4）＝﹣g（x﹣8），所以 g（x）＝g（x﹣8），所以函数 g（x）是周期函数
，并且周期为 8．
所以 g（10.5）＝g（2.5）＝﹣g（﹣1.5）＝﹣g（1.5）＝0.5．故选：D．
12．已知双曲线 C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原
点，点 P 是双曲线在第一象限内的点，直线 PO，PF2 分别交双曲线 C 的左、右支于另
一点 M，N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由∠MF2N
＝120°，可得∠F1PF2＝120°，由余弦定理可得 4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即
可求出双曲线 C 的离心率．
解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a
由四边形 PF1MF2 为平行四边形，
又∠MF2N＝120°，可得∠F1PF2＝120°，
在三角形 PF1F2 中，由余弦定理可得
4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，
即有 4c2＝20a2+8a2，即 c2＝7a2，
可得 c＝ a，
即 e＝ ＝ ．
故选：B．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知 x 轴为曲线 f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1 的切线，则 a 的值为 ．
【分析】先对 f（x）求导，然后设切点为（x0，0），由切线斜率和切点在曲线上得到关
于 x0 和 a 的方程，再求出 a 的值．
解：由 f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1，得 f'（x）＝12x2+4（a﹣1），
∵x 轴为曲线 f（x）的切线，∴f（x）的切线方程为 y＝0，
设切点为（x0，0），则 ①，
又 ②，
由①②，得 ， ，
∴a 的值为 ．
故答案为： ．
14．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn＝2an﹣2，则 S5﹣S4＝ 32 ．
【分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．
解：因为 Sn 为数列{an}的前 n 项和，
若 Sn＝2an﹣2，①
则 a1＝2a1﹣2⇒a1＝2；
则 Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，②
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1⇒an＝2an﹣1⇒数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列；
故 an＝2n；
∴S5﹣S4＝25＝32．
故答案为：32．
15．在△ABC 中，若 ，则 的值为 ﹣ ．
【分析】在△ABC 中，若 ，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为
+2cos2A﹣1，运算求得结果．
解：在△ABC 中，若 ，
则 ＝ ＝ +cos2A＝ +2cos2A﹣1＝+ ﹣1＝﹣ ，
故答案为﹣ ．
16．已知球 O 的半径为 r，则它的外切圆锥体积的最小值为
【分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为 h，圆锥的底面半径为 R，利用三角形相似
可得 R，h，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．
解：作出截面图如图，
设圆锥的高为 h，圆锥的底面半径为 R，OC＝OD＝r，
∠SCB＝∠SDO＝90°，又∠OSD＝∠BSC，
∴△SOD∽△SBC，
∴ ，即 ，
∴R＝ ．
∴圆锥体积 V＝ ，V′＝ ．
令 h′（r）＝0，得 h＝4r．
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
：共 60 分．17．已知数列{an}的首项 ，an+1an+an+1＝2an ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）数列 的前 n 项和 Sn．
【分析】（1）由 an+1an+an+1＝2an，变形为 ，可得 ，
即可证明；
（2）由（1）可得： ＝ ， ．设 Tn＝ +
…+ ，利用“错位相减法”可得Tn，即可得出数列{ }的前 n 项和 Sn＝Tn+
．
【解答】（1）证明：∵an+1an+an+1＝2an，
∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ＝ ．
∴数列{ ﹣1}为等比数列；
（2）解：由（1）可得： ＝ ，化为 ＝ ，
∴ ．
设 Tn＝ +…+ ，
＝ + +…+ + ，
∴ +…+ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，
∴Tn＝ ，
∴数列{ }的前 n 项和 Sn＝Tn+ ＝ ﹣ ．
18．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某
种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出 1 吨该商品可获利润 0.5 万元，未售出的商品，每 1 吨亏损 0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的
频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品．现以 x（
单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该
电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（1）将 T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式；
（2）根据直方图估计利润 T 不少于 57 万元的概率；
（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小
（保留到小数点后一位）．
【分析】（1）计算 x∈[100，130）和 x∈[130，150]时 T 的值，用分段函数表示 T 的解析
式；
（2）计算利润 T 不少于 57 万元时 x 的取值范围，求出对应的频率值即可；
（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，
根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．
解：（1）当 x∈[100，130）时，T＝0.8x﹣39；…（1 分）
当 x∈[130，150]时，T＝0.5×130＝65，…
所以，T＝ …
（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，
当 x∈[100，130）时，由 T＝0.8x﹣39≥57，得 120≤x＜130，…
当 x∈[130，150]时，由 T＝65≥57，…
所以，利润 T 不少于 57 万元当且仅当 120≤x≤150，
于是由频率分布直方图可知市场需求量 x∈[120，150]的频率为
（0.030+0.025+0.015）×10＝0.7，
所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 万元的概率的估计值为 0.7； …（3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为
＝105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15＝126.5（吨）；…
由频率分布直方图易知，由于 x∈[100，120）时，
对应的频率为（0.01+0.02）×10＝0.3＜0.5，
而 x∈[100，130）时，对应的频率为（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6＞0.5，…
因此一个销售季度内市场需求量 x 的中位数应属于区间[120，130），
于是估计中位数应为 120+（0.5﹣0.1﹣0.2）÷0.03≈126.7（吨）．…
19．如图所示，四棱锥 S﹣ABCD 中，SA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD
＝SA＝1，BC＝2，M 为 SB 的中点．
（1）求证：AM∥平面 SCD；
（2）求点 B 到平面 SCD 的距离．
【分析】（1）取 SC 的中点 N，连结 MN 和 DN，可证明得到四边形 AMND 是平行四边
形，进而 AM∥平面 SCD；
（2）先证明得到 AM⊥平面 SBC，进而得到平面 SCD⊥平面 SBC，作 BE⊥SC 交 SC
于 E，则 BE⊥平面 SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离
解：（1）取 SC 的中点 N，连结 MN 和 DN，
∵M 为 SB 的中点，
∴MN∥BC，且 MN＝ BC，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，
∴AD∥BC，且 AD＝ BC，
∴AD 平行且等于 MN，
∴四边形 AMND 是平行四边形，
∴AM∥DN，∵AM⊄平面 SCD，DN⊂平面 SCD，
∴AM∥平面 SCD．
（2）∵AB＝AS＝1，M 为 SB 中点，
∴AM⊥SB，
∵SA⊥平面 ABCD，∴SA⊥BC，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面 SAB，
∴BC⊥AM，
∴AM⊥平面 SBC，
由（1）可知 AM∥DN，
∴DN⊥平面 SBC，
∵DN⊂平面 SCD，
∴平面 SCD⊥平面 SBC，
作 BE⊥SC 交 SC 于 E，则 BE⊥平面 SCD，
在直角三角形 SBC 中， SB•BC＝ SC•BE，
∴BE＝ ＝ ＝ ，
即点 B 到平面 SCD 的距离为 ．
20．已知椭圆 ，F1、F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．
（1）求∠F1MF2 的最大值，并证明你的结论；
（ 2 ） 若 A 、 B 分 别 是 椭 圆 C 长 轴 的 左 、 右 端 点 ， 设 直 线 AM 的 斜 率 为 k ， 且
，求直线 BM 的斜率的取值范围．
【分析】（1）由题意可知|MF1|+|MF2|＝4，在△F1MF2 中，利用余弦定理可得：cos∠F1MF2＝ ﹣1，再利用基本不等式得到 cos∠F1MF2≥﹣ ，当且仅当
|MF1|＝|MF2|时等号成立，再结合 0＜∠F1MF2＜π 以及余弦函数的图象，即可得到∠
F1MF2 的最大值；
（2）设直线 BM 的斜率为 k'，M（x0，y0），则 ，再根据 k 的范围即可得到
k'的范围．
解：（1）由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF2|＝4，
在△F1MF2 中，由余弦定理可得：
＝
＝
＝ ﹣1 ﹣1＝﹣ ，
∵0＜∠F1MF2＜π，
∴∠F1MF2 的最大值为 ，此时|MF1|＝|MF2|，
即点 M 为椭圆 C 的上、下顶点时∠F1MF2 取最大值，其最大值为 ；
（2）设直线 BM 的斜率为 k'，M（x0，y0），则 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故直线 BM 的斜率的取值范围为（ ， ）．
21．已知函数 （e 为自然对数的底数），其中 a＞0．
（1）在区间 上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存
在，请说明理由．
（ 2 ） 若 函 数 f （ x ） 的 两 个 极 值 点 为 x1 ， x2 （ x1 ＜ x2 ） ， 证 明 ：
．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可
求最值；
（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函
数，结合导数研究新函数的范围可证．
解：（1）由条件可知，函数在（﹣∞，0）上有意义，
，'a＞0，
令 f′（x）＝0 可得， ＜0， ＞0，
x＜x1 时，f′（x）＞0，函数单调递增，当 x1＜x＜0 时，f′（x）＜0，函数单调递减，
由 ，可得 f（﹣a）＝0，当 x＜﹣a 时，f（x）＞0，当﹣a＜x＜0 时，
f（x）＜0，
因为﹣a﹣x1＝﹣a+ ＝ ＞0，
所以 x1＜﹣a＜0，
又函数在（x1，0）上单调递减且 ＜0，
所以 f（x）在（ ]上有最小值 f（﹣ ）＝﹣e ，
（2）由（1）可知 a＞0 时，f（x）存在两个极值点为 x1，x2（x1＜x2），
故 x1，x2 是 x2+ax﹣a＝0 的根，
所以 x1+x2＝x1x2＝﹣a，且 x1＜x2＜1，因为 ＝ ，
同理 f（x2）＝（1﹣x1） ，
∴lnf（x2）＝ln（1﹣x1）+x2，lnf（x1）＝ln（1﹣x2）+x1，
∴ ＝
＝ ，
又 1 ＝ ，
由（1）知，1﹣x1＞1﹣x2＞0，
设 m＝1﹣x1，n＝1﹣x2，
令 h（t）＝lnt﹣ ，t≥1，
则 ＞0，
所以 h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）＝0，
即 lnt＞ ，
令 t＝ 则
从而 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定
的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1： （t 为参数， ），曲线 C1
： （β 为参数），l1 与 C1 相切于点 A，以坐标原点为极点，x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 C1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；
（2）已知直线 l2： 与圆 C2： 交于 B，C 两点，
记△AOB 的面积为 S1，△COC2 的面积为 S2，求 的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转
换求出结果．
（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．
解：（1）曲线 C1： （β 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2＝
4．
将 代入得到 ρ2﹣8ρsinθ+12＝0．
直线 l1： （t 为参数， ），转换为极坐标方程为 θ＝α（ρ∈R）．
将 θ＝α 代入 ρ2﹣8ρsinθ+12＝0 得到 ρ2﹣8ρsinα+12＝0，
由于△＝（8sinα）2﹣4×12＝0，解得 ，
故此时 ，
所以点 A 的极坐标为（2 ）．
（2）由于圆 C2： ，转换为直角坐标方程为
．
所以圆心坐标为（2 ）．
设 B（ ），C（ ），将 代入 ，
得到 ρ2﹣6ρ+2＝0，
所以 ρ1+ρ2＝6，ρ1ρ2＝2．
由 于 ＝ ，
＝ ．
所以 ＝ ＝ ＝ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 f（x）＝|x﹣2a|．
（1）当 a＝1 时，解不等式 f（x）＞2x+1；
（2）若存在实数 a∈（1，+∞），使得关于 x 的不等式 f（x）+ ＜m 有实数解
，求实数 m 的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，讨论 x＜2，x≥2，去绝对值，解不等式，求并集，可
得所求解集；
（2）运用绝对值不等式的性质可得 f（x）+ 的最小值，由题意可得 m 大于这
个最小值，解不等式可得所求范围．
解：（1）当 a＝1 时，即解不等式|x﹣2|＞2x+1，
当 x≥2 时，原不等式等价为 x﹣2＞2x+1，所以 x＜﹣3，则原不等式的解集为∅；
当 x＜2 时，原不等式等价为 2﹣x＞2x+1，解得 x＜ ，
综上可得原不等式的解集为（﹣∞， ）；
（2）f（x）+ ＝|x﹣2a|+ ≥|2a+ |，显然等号可取，
由 a＞1，故原问题等价为关于 a 的不等式 2a+ ＜m 在（1，+∞）有解，
又因为 2a+ ＝2（a﹣1）+ +2≥2 +2＝6，
当且仅当 a＝2 取得等号，即 m＞6，
即 m 的范围是（6，+∞）．
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