2020 年东莞市普通高中毕业班模拟自测
文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合 ，则 A B=
A B. (-3,1) C. D.
2. 设复数 z 满足 ， 则复数 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于
A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃
的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶
形、
五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半
圆的连接点构成正方形 ABCD，在整个图形中随机取一点，此
点取自正方形区域的概率为
A. B. C. D.
4. 己知定义在 R 上的奇函数 f(x)， 当 x>0 时， ;且 f(m)=2，则 m=
A. B.4 C.4 或 D.4 或
5. 已知平面向量 、 的夹角为 135°， 且 为单位向量， ，则
A. . B. . C.1 D.
6. 已知 F1、F2 分别为椭圆 C: 的左、右焦
点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，若∆AF2B
是边长为 4 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为
A. B.
C. D.
7.定义运算 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则
{ } { }2 2 3 0 , 2 1 0A x x x B x x= + − < = − >
1)2( - 3, 1( ,1)2
1( ,3)2
1iz i= + z
2
2π +
1
1π +
4
2π +
2
1π +
2( ) logxf x =
1
4
1
4
1
4
−
a b a (1,1)b = a b+ =
5 3 2+ 3 2−
2 2
2 2+ 1( 0)x y a ba b
= > >
2 2
14 3
x y+ =
2 2
19 6
x y+ =
2 2
116 4
x y+ =
2 2
116 9
x y+ =
a b∗
(cos ) (sin )12 12
π π∗ =A. B. C.1 D.-1
8.约公元前 600 年，几何学家泰勒斯第一个测出了金
字塔的高度.如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测
量出某个金字塔的底棱长约为 230 米;然后，他站立
在沙地上,请人不断测量他的影子,当他的影子和身高
相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点 A 与相
应底棱中点 B 的距离约为 22.2 米.此时，影子的顶点
A 和底面中心 O 的连线恰好与相应的底棱垂直，则
该金字塔的高度约为
A. 115 米 B.137.2 米 C.230 米. D.252.2 米
9. 为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有 7 名评
委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内
数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形
图如下图所示:
记现场评委评分的平均分为 ,网络评分的平均分为 ,所有评委与场内学生评分的平均数为
，那么下列选项正确的是
A. B. C. D. 与 关系不确定
10.已知函数 的最小正周期为 π,将 f(x)的图象向左平
移 个单位后，所得图象关于原点对称，则函数 f(x)的图象
A.关于直线 对称 B.关于直线 对称
C.关于点( ,0)对称 D. 关于点( ,0)对称
11. 已知双曲线 C : 的一条渐近线被圆 截得的弦
3
2
− 3
2
1x 2x
x
1 2
2
x xx
+< 1 2
2
x xx
+= 1 2
2
x xx
+> x 1 2
2
x x+
( ) cos( )( 0, )2 2f x x
π πω ϕ ω ϕ= + > − < <
3
π
2x
π= −
3x
π= −
2
π
3
π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 2 2( ) 2x c y a− + =长为 2b (其中 c 为双曲线的半焦距)，则双曲线 C 的离心率为
A. B. C. D. 2
12.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB 和 DD1 的中
点，经过点 B1，E，F 的平面 交 AD 于 G，则 AG=
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题
卡的相应位置上.
13.∆ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 ，则
14. 已知 在 的切线方程为 , 则 k=___________.
15. 已知三棱锥 P- ABC 中，PA⊥平面 ABC，PA=BC=2，∠BAC= ,则三棱锥 P- ABC 的外
接球的表面积为_______。
16.已知 在 上恰有一个零点，则正实数 a 的取值范围为
_______________。
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 至 21
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分.
17. (本小题满分 12 分)
已知等差数列 的前 n 项和为 Sn，
(1)求 的通项公式;
(2)设 ，求 的前 2n 项的和 .
2
2 2 3
α
1
3
1
4
3
4
2
3
3cos sin3a B b A=
_____B =
2 1( ) x
x kxf x e
+ += 0x = 1y x= +
2
π
sin( )2( ) 2
ax x
f x xx
π+
= − (0,1)x∈
{ }na 4 3 216, 3S a a= =
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= ⋅ { }nb 2nT18. (本小题满分 12 分),
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 AB⊥BC,AD// BC, AD=4,
AP= AB=BC=2, E 是 AD 的中点，AC 和 BE 交于点 O,且 PO⊥平面 ABCD.
(1)证明:平面 PAC⊥平面 PCD;
(2)求点 D 到平面 PCE 的距离.
19. . (本小题满分 12 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 f(x)的单调性:
(2)若函数 在 上恒成立，求 a 的取值范围.
20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 N： ，圆心 N(1,0)，点 E 在直线
上，点 P 满足 ,点 P 的轨迹为曲线 M。
(1)求曲线 M 的方程.
(2)过点 N 的直线 l 分别交 M 和圆 N 于点 A、B、C、D（自上而下），若 、 、
成等差数列，求直线 l 的方程。
( ) 3xf x e ax= +
( ) 0f x ≥ (0, )x∈ +∞
2 2( 1) 1x y− + = 1x = −
,PE ON NP NE EP EN⋅ = ⋅
AC CD DB21. (本小题满分 12 分)
在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，
二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从 2 月 7 日到 2
月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论;
(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病
毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染
者，10 天内所有人不知情且生活照常.
( i )在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为 p(0
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