2020 年荆门市高三年级高考模拟考试
理科数学试题
全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知 i 是虚数单位，若复数 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
2．已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列 ，其前 n 项和为 ，且 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
4．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．2019 冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV）引发的疾
病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，
但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。
小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午 4:00～5:00
之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午 4:30～
5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ）
A. B. C. D.
i
iz −=
1
2 3
z
i−1 i+1 i−−1 i+−1
{ })3lg(,11 xyxBxxA −==
>=
)1,(−∞=BA )3,0(=BA φ=BCA R ),1[ +∞=BACR
{ }na nS maaa =++ 951 3
9
762
S
aa −
5
m
9
m
5
1
9
1
+∈ Rba, 1>ab 2>+ ba
8
1
4
1
4
3
8
76．已知 表示不超过 x 的最大整数，（如 ），执行如图所示的程序框图输出的结果为
（ ）
A，49850 B．49950 C. 50000 D．50050
7.在二项式 的展开式中有理项的项数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8．函数 的图像大致为（ ）
9．已知定义在 R 上的函数 y=f（x）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当 时，
，则函数 在区间 上的零点个数为（ ）
A．1009 B．2019 C.2020 D.4039
10．已函数 的值域为 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
][x 1]5.0[,1]2,1[ −=−=
72
1
)2
1( xx +
xxxxf sin)( 2 +=
)1,0[∈x
xxf 2sin)(
π= xexfxg −−= )()( ]2020,2019[−
],0[,cossin)( 2 axxxxf ∈+= ]4
5,1[
]6,0(
π
]3,0(
π
]2,6[
ππ
]2,3[
ππ11．已知双曲线 的右焦点为 F，直线 与双曲线右支交于点 M，若
,|则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
12．已知正方体 的棱长为 1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）
①若 P 为棱 中点，则异面直线 AP 与 CD 所成角的正切值为 ；
②若 P 在线段 上运动，则 的最小值为 ；
③若 P 在半圆弧 CD 上运动，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 外接球的表面
积为 ；
④若过点 P 的平面 与正方体每条棱所成角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为
A．1 个 B．2 个 C. 3 个 D．4 个
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知 ，则向量 在向量 方向上的投影为 ．
14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。然而，在 1983 年底到 1984 年初，在荆州城
西门外约 1.5 公里的张家山 247 号墓出士的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年，某高校数学
系博士研究生 5 人，现每人可以从《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《术》等五部著作
（每部著作有多本）中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有 种.（请用
数字作答）
15．已知曲线 的焦点为 F，点 P 在曲线 上运动，定点 A（0．-2），则 的最小值
为 ．
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x 034 =− yx
OFOM =
3 5 6
1111 DCBAABCD −
1CC 2
5
BA1 1PDAP +
2
26 +
ABCP − ABCP − ABCP −
π2
α α
4
33
)3,0(),2,1( −== ba b a
yx 82 =Γ： Γ
PA
PF16．定义：若数列{ }满足 ,则称该数列为“切线一零点数列”已知函数
有两个零点 1，2，数列{ }为“切线一零点数列”，设数列{ }满足 ，数列{
}的前 n 项和为 。，则 = ．
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步。第 17～21 为必考题，每个试题考生都
必须作答，第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分
17．（本题 12 分
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边是 a，b，c，且满足（a-b）sinA= csinC- bsinB
（1）求角 C;
（2）若 求 CD 的最大值.
18．（本题 12 分）
在平行国边形 中， 是 EA 的中点（如图 1），将 沿 CD 折起
到图 2 中△PCD 的位置，得到四棱锥是 .
图 1 图 2
（1）求证：CD⊥平面 PDA；
（2）若 PD 与平面 ABCD 所成的角为 60°．且△PDA 为锐角三角形，求平面 PAD 和平面 PBC 所成锐二面
角的余弦值。
nt )(
)(
1
n
n
nn tf
tftt ′−=+ qpxxxf ++= 2)(
nx nx 2,1
2ln,21 >−
−== n
n
n
n xx
xaa nx
nS 2020S
2,2
1 == cABAD
EABC DEECEA ,45,22,4 =∠== ECD∆
ABCDP −19．（本题 12 分）
某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学
校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂 A 部和 B
部的用餐满意度，从在 A 部和 B 部都用过餐的学生中随机抽取了 200 人，每人分别对其评分，满分为 100
分．随后整理评分数据，将分数分成 6 组：
第 1 组[40，50），第 2 组[50，60），第 3 组[60，70），第 4 组[70，80），第 5 组[80，90），第 6 组[90，
100]，得到 A 部分数的频率分布直方图和 B 部分数的频数分布表.
（1）求 A 部得分的中位数（精确到小数点后一位）；
（2）A 部为进一步改善经营，从打分在 80 分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取 8 人进行座
谈，再从这 8 人中随机抽取 3 人参与“端午节包粽子”实践活动，在第 3 组抽到 1 人的情况下，第 4 组抽到 2
人的概率；
（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选 A 部还是 B 部（将频率视为概率）20．（本题 12 分）
已知椭圆 的左焦点为 F，点 M（-4，0），过 M 的直线与椭圆 E 交于 A，B 两点，线段 AB
中点为 C，设椭圆 E 在 A，B 两点处的切线相交于点 P，O 为坐标原点.
（1）证明：O、C、P 三点共线；
（2）已知 是抛物线 的弦，所在直线过该抛物线的准线与 y 轴的交点， 是弦
在两端点处的切线的交点，小明同学猜想： 在定直线上.你认为小明猜想合理吗?若合理，请写出
所在直线方程；若不合理，请说明理由.
21．（本题 12 分）
设函数 .
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）设 ，若 在（0．+∞）上恒成立，求 a 的取值范围.
134
22
=+ yxE：
BA ′′ )0(22 >= ppyx P′
BA ′′ P′ P′
)1ln(2)( 2 +−+= xaxxxf
xexfxg −+= )()( 1
1)( +>
xxg（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 44：坐标系与参数方程]（本题 10 分）
在平面直角坐标系 xOy，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的
极坐标方程是 ，直线 的参数方程为 （t 为参数）
（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（2）设点 P 的直角坐标为（ ，0），直线 与曲线 C 相交于 AB 两点，求 .
23．[选修 45：不等式选讲]（本题 10 分）②
已知函数 ，记 f（x）的最小值 m
（1）解不等式 f（x） ；
（2）若 a+2b+3c=m，求 的最小值.
12cos2 =θρ l
=
−=
ty
tx
3
3
l
3− l PBPA
11 +
)(221)( Rxxxxf ∈−+−=
5≤
222 cba ++
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