山东省烟台市2020届高三数学4月模拟考试（一模）试题（带答案扫描版）

2020 年高考诊断性测试 数学参考答案 一、单项选择题 1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C 二、多项选择题 9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题 13. 14. 15. 16. ， 四、解答题 17．解：（1）因为 ，由正弦定理得 所以 , …………………………1 分 即 ， …………………………2 分 又 ，所以 所以 ， …………………………3 分 而 ， 所以 ， 所以 . …………………………4 分 （2）因为 …………………………5 分 将 ， ， 代入，得 . …………………………6 分 由余弦定理得 ， 于是 ， …………………………8 分 即 ，解得 或 . …………………………10 分 4 5 − 300 3+2 3 12 2 4x y= 4 3 2 cos 3( cos + cos )a A b C c B= 2sin cos 3(sin cos sin cos )A A B C C B= + 2sin cos 3sin( )A A B C= + B C Aπ+ = − sin( ) sin( ) sinB C A Aπ+ = − = 2sin cos 3sinA A A= 0 A π< < sin 0A ≠ 3cos 2A = 6A π= 1 1sin2 2ABC BCS bc A a h∆ = = ⋅ 2 3b = 3BCh = 1sin 2A = 3 3 ca = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 23 3( ) (2 3) 2 2 33 2 c c c= + − × × 2 9 18 0c c− + = 3c = 6c =18．解：设等比数列 的公比为 （ ），则 ， ， 于是 ， …………………………2 分 即 ，解得 ， （舍去）. …………………………4 分 若选①：则 ， ， 解得 ， …………………………6 分 所以 ， …………………………8 分 ， …………………………9 分 于是 ……10 分 令 ，解得 ，因为 为正整数，所以 的最小值为 . ……12 分 若选②：则 ， ，解得 . 下同①. 若选③：则 ， ，解得 . ………………6 分 于是 ， …………………8 分 ， ……………………9 分 于是 ， ………………………………………10 分 令 ，得 ， 注意到 为正整数，解得 ，所以 的最小值为 . ………………………12 分 19．解：（1）证明：延长 交 于点 ,点 为 的中点， 因为 分别是棱 的中点, 所以 是 的中位线，所以 ， …………………………2 分 { }nb q 0q > 1 8b q = 3 8b q= 8 3 8 4qq − × = 26 2 0q q+ − = 1 2q = 2 3q = − 1 4 2a b= = 4 1 4 34 202S a d ×= + = 2d = 2( 1)2 22n n nS n n n −= + × = + 1 1 1 1 ( 1) 1nS n n n n = = −+ + 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ (1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1k k T S S S k k k = + + = − + − + + − = −+ +  1 151 1 16k − >+ 15k > k k 16 1 4 2a b= = 1 1 3 23 2( 2 )2a d a d ×+ = + 1 2a d= = 1 4 2a b= = 1 13( 2 ) ( 3 ) 8a d a d+ − + = 4 3d = 2( 1) 4 2 42 2 3 3 3n n nS n n n −= + × = + 1 3 1 3 1 1( )2 ( 2) 4 2nS n n n n = × = −+ + 3 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( )]4 3 2 4 1 1 2kT k k k k = − + − + + − + −− + + 3 1 1 1(1 )4 2 1 2k k = + − −+ + 9 3 1 1( )8 4 1 2k k = − ++ + 15 16kT > 1 1 1 1 2 4k k + = = = × m nm n m n CFG EFG 3 5 60 130 110 90 110 100 60 0.61000 + + + + + = 60 0.6 2K 21000 (250 270 330 150) 5.542400 600 420 580k × × − ×= ≈× × × 3.841> 95% 6 4 ξ 0,1,2,3 0 3 6 4 3 10 ( 0) n n C CP C ξ + + = = 1 2 6 4 3 10 ( 1) n n C CP C ξ + + = = 2 1 6 4 3 10 ( 2) n n C CP C ξ + + = = 3 6 3 10 ( 3) n n CP C ξ + + = = ξ ξ P 0 3 6 4 3 10 n n C C C + + 1 2 6 4 3 10 n n C C C + + 2 1 6 4 3 10 n n C C C + + 3 6 3 10 n n C C + + ………………10 分 , 可得， ， ， ， 解得 . …………………………………………12 分 21．解：（1）由 可得， ， 令 ，则 ， ………………1 分 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，故 在 处取得最大值， ………………3 分 要使 ，只需 ， 故 的取值范围为 ， ………………4 分 显然，当 时，有 ，即不等式 在 上成立， 令 ，则有 ， 所以 ， 即： ； ………………6 分 （2）由 可得， ，即 ， 令 ，则 ， ………………8 分 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 故 在 处取得最大值 ， ………………10 分 又当 时， ，当 时， ， ………………11 分 所以，当 时，方程 有一个实数解；当 时，方程 有两个不同 0 3 1 2 2 1 3 6 4 6 4 6 4 6 3 3 3 3 10 10 10 10 0 1 2 3 2n n n n n n n n C C C C C C CE C C C C ξ + + + + + + + + = × + × + × + × ≥ 1 2 2 1 3 3 6 4 6 4 6 101 2 3 2n n n nC C C C C C+ + + +× + × + × ≥ 1 16( 6) 4( 6)( 5) ( 6)( 5)( 4) ( 10)( 9)( 8)2 3n n n n n n n n n+ + + + + + + + ≥ + + + 23( 6)( 17 72) 2( 10)( 9)( 8)n n n n n n+ + + ≥ + + + 3( 6) 2( 10)n n+ ≥ + 2n ≥ ( ) 0f x ≤ 1 ln ( 0)xa xx +≥ > 1 ln( ) xh x x += 2 2 1 (1 ln ) ln( ) x x xxh x x x ⋅ − + −′ = = (0,1)x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x (1+ )x∈ ∞， ( ) 0h x′ < ( )h x ( )h x 1x = 1 ln xa x +≥ (1) 1a h≥ = a 1a ≥ 1a = 1 ln 1x x + ≤ ln 1x x< − (1, )+∞ 1 1( )nx nn ∗+= > ∈N 1 1 1ln 1n n n n n + +< − = 2 3 1 1 1 1ln ln ln 11 2 2 3 n n n ++ + + < + + + +  1 1 11 ln( 1)2 3 nn + + + + > + ( ) ( )f x g x= 21 ln ( 1) exx a xx + − = − 21 ln ( 1) exxa xx += − − 21 ln( ) ( 1) exxt x xx += − − 2 2 ln( ) ( 1)exxt x xx −′ = − − (0,1)x∈ ( ) 0t x′ > ( )t x (1+ )x∈ ∞， ( ) 0t x′ < ( )t x ( )t x 1x = (1) 1t = 0x → ( )t x → −∞ +x → ∞ ( )t x → −∞ 1a = ( ) ( )f x g x= 1a < ( ) ( )f x g x=的实数解；当 时，方程 没有实数解. ………………12 分 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆 的方程得 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ． ……3 分 （2）设 .因为以 为直径的圆恒过点 ， 所以 ，即 . ……………………4 分 因为 点在椭圆上，所以 . （i）将 代入椭圆，得 ， ， 于是 , . …………5 分 因为 当且仅当 ，即 时，取等号. 所以 的取值范围为 . ……………………………………7 分 （ii）存在.定圆的方程为 . 假设存在满足题意的定圆，则点 到直线 的距离为定值. 因为 ，所以直线 方程为 ， 整理可得 ， ………………………………8 分 所以 到直线 的距离 ， …………………………9 分 由（i）知， ，得 ， ， 1a > ( ) ( )f x g x= C 2 2 2 2 4 2 1 4 a b a b  + =  − = 2 28 4a b= =， C 2 2 18 4 x y+ = 1 1( ,2 2), ( , )P t Q x y PQ O 1 12 2 0OP OQ x t y= + =   1 1 2 2 x ty = − Q 2 2 1 1 18 4 x y+ = 1 1 2 2 x ty = − 2 1 2 32 4x t = + 2 2 1 2 4 4 ty t = + 2 2 2 2 2 1 14 =( 8) 4( )OP OQ t x y+ + + + 2 2 64 244t t = + ++ t ∈R 2 2 64 244t t + ++ 2 2 64+4 204t t = + ++ 2 2 642 ( +4) 204t t ≥ ⋅ ++ 36= 2 2 64+4= 4t t + = 2t ± 2 24OP OQ+ [36, )+∞ 2 2 4x y+ = O PQ 1 1( ,2 2), ( , )P t Q x y PQ 1 1( )( 2 2) ( 2 2)( ) 0x t y y x t− − − − − = 1 1 1 1( 2 2) ( ) 2 2 0y x x t y ty x− − − − + = O PQ 1 1 2 2 1 1 | 2 2 | ( 2 2) ( ) ty xd y x t − += − + − 1 1 2 2 x ty = − 2 1 2 32 4x t = + 2 2 1 2 4 4 ty t = +，注意到 ，知 . 所以 ， …………………10 分 又 ， ……………………11 分 所以 ， 因此，直线 与圆 恒相切. …………………………………………12 分 1 12 2 0x t y+ = 1 0x ≠ 1 1 2 2yt x = − 2 2 21 1 1 1 1 2 | | 2( 8)| 2 2 | | 2 2 | ( 8)= 2 2 2 2 4 x t x tty x x t t +− + = + = + + 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( 2 2) ( ) 8 4 2 2y x t y x t y tx− + − = + + + − − 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 4 32 88 84 4 4 t ty x t tt t t += + + + = + + + =+ + + 1 1 2 2 1 1 | 2 2 | 2 ( 2 2) ( ) ty xd r y x t − += = = − + − PQ 2 2 4x y+ =