天津市六校联考2020届高三数学下学期期初检测试题（带答案word版）

数学试卷 第 1 页 共 4 页 2020 届高三年级第二学期期初检测六校联考 数学学科试卷 第 I 卷（选择题，共 45 分） 一、选择题（本题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.考 试结束后，上交答题卡. 1.已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 的内角 的对边分别为 ，若 成等比数列，且 ，则 ( ) A． B． C． D． 3.下列命题正确的个数为（ ） ①“函数 的最小正周期为 ”为真命题； ②对于命题 ： ， ，则命题 的否定： ， ③若 ，“ ”是“ ”的充分不必要条件 ④随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，P(ξ > b c a> > c b a> > a b c> > 5 6BAC π∠ = 3, 2 3AB AC= = BP BCλ=  5AP BC⋅ = −  λ 1 2 2 3 1 3 1 4 R    >=+ bab y a xC 2 3 ( )1,0B A C P C PAB∆ QP, BQBP ⊥ PQ { }na n nS ( ) nn SnnS 122 −+− ( ) 02 =+− nn ( )∗∈ Nn { }na { }nb 1 4 1 4 { }na { }nb 数学试卷 第 6 页 共 4 页 （Ⅱ）令 ，数列 的前 项和 ，求 . 20.（本题 16 分）设函数 ，其中 是自然对数的底数. （Ⅰ）设曲线 在点 处的切线方程为 ， 求 的值； （Ⅱ）求 在 内的最小值； （Ⅲ）当 时，已知正数 满足：存在 ，使得 成 立，试比较 的大小，并证明你的结论. ( ) 222 1 n nnn an nbac + ++= { }nc n nT nT ( ) ( )01 >++= abaeaexf x x e ( )xfy = ( )( )22 f， xy 2 3= ba, ( )xf [ )∞+，0 0,1 == ba m [ )+∞∈ ,10x ( ) ( )0 3 00 3xxmxf +−< 11 −− em me 与 数学试卷 第 7 页 共 4 页 2020 届高三年级第二学期期初检测六校联考 数学学科评分标准 一、 选择题（本题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分） BADBA DCCB 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分). 10.-2 11．7 12. 32 13. 14.60 15. 三.解答题(本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16.（本小题满分 14 分） 【答案】解：（Ⅰ）设“恰有两个同学选报的社团完全相同”为事件 A， ………………4 分 另解：四个社团中选两个一共有 6 个组合，每位同学从一个组合中选一个 （以上列式正确给 2 分） （Ⅱ）设“甲同学选报足球社”为事件 B ………………7 分 （Ⅲ）X 的所有可能值为 0,1,2,3， ………………8 分 甲同学报名足球社的概率为 ，由（2）可知，乙、丙报名足球社的概率都为 ，故 ( ) ( ) 221 22 =++− yx 2 5 12 5 )( )1()( 32 4 1 2 1 2 2 4 2 3 =+= C CCCCAP 12 5 6 56)( 3 2 3 =××= CAP 2 1)( 2 4 1 3 == C CBP 3 1 2 1 数学试卷 第 8 页 共 4 页 ………………9 分 ………………10 分 ………………11 分 ………………12 分 X 0 1 2 3 P ……………………………13 分 ……………………………14 分 17.【答案】解：（Ⅰ）∵平面 ABCD⊥平面 CDEF，且交线为 CD DE⊥CD∴DE⊥平面 ABCD ………… 1 分 故以 方向为 x 轴，y 轴，z 轴方向建立空间直角坐标系，由题意得 , , 则 , 设平面 DBG 的法向量为 则 ，令 ， ………………………………… 3 分 6 1)2 1(3 2)0( 2 ===XP 12 5)2 1(3 2)2 1(3 1)1( 21 2 2 =+== CXP 3 1 12 4)2 1(3 1)2 1(3 2)2( 21 2 2 ==+== CXP 12 1)2 1(3 1)3( 2 ===XP 6 1 12 5 3 1 12 1 3 4 12 3 12 8 12 5)( =++=XE DEDCDA ,, )0,0,0(D ),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2( CBA ),2,0,0(E ),3 4,0,0(H )1,2 3,0(G )1,2 3,0(=DG )0,2,2(=DB ),,( 111 zyxm =    =+ =+ 022 02 3 11 11 yx zy )3-,2,2-(=m 数学试卷 第 9 页 共 4 页 …… …… …… …… 4 分 又∵ 平面 BDG， …… …… …… …… 5 分 故 AH∥平面 BDG .…… …… …… …… 6 分 （Ⅱ）在平面 BCF 中， 设平面 BCF 的法向量 ，则令 .…… …… …… ……8 分 ∴ .…… …… …… …… 9 分 故两个平面所成的锐二面角的余弦值为 . .…… …… …… … 10 分 （设二面角则可以不作答，否则扣 1 分） （Ⅲ）∵ ∴ ，故 … …… …… … 11 分 ∴ ，故设法向量 … 13 分 由题意可知 …………… 14 分 ，解得 （ 舍） ………15 分 )3 4,0,2(−=AH 0=⋅mAH ⊄AH )2,1,0(),0,0,2( −=−= CFBC ),,( 222 zyxn =    =+− =− 02 02 22 2 zy x )1,2,0(=n 85 85 517 1,cos =>=< nm 85 85 CFCG λ= )2,,0( λλ−=CG )2,2,0( λλ−G )0,2,2(),2,2,0( =−= DBDG λλ    =+− =+ 02)2( 022 11 11 zy yx λλ )2,2,2( −−= λλλm 3 2|,cos| =>< BEm 3 2 44932 |42| 2 = +− − λλ λ 5 2=λ 3 2-=λ 数学试卷 第 10 页 共 4 页 18.【答案】（Ⅰ）因为 ， ，所以 ………2 分 椭圆的标准方程为 ………………………3 分 （Ⅱ）因为 , ， 设切线 ， ………………………4 分 所以 ， ， ………………………5 分 ， ………………………6 分 由题知 ，所以 ………………………7 分 所以 . …………………8 分 （法 2）设 ……………4 分 则 …7 分 2 3=e 1=b 3,2 == ca 14 2 2 =+ yx 5,2 1 == ABkAB 12: =+ yxlAB mxyl +−= 2 1: 424, 2 214 2 2 2 =     +−+    =+ +−= mxxyx mxy 则 04442 22 =−+− mmxx 2,016-32 22 ===∆ mm 2-2 1: xyl −= 5 222 +=d ( ) 125 5 122 2 1 2 1 +=+==∆ ABdS PAB ( ),sin,cos θθP 5=AB ( ) ( ) 5 122 5 2cos22 5 2sin2cos2 +≤ −+ =−+= ϕθθθ d 数学试卷 第 11 页 共 4 页 所以 . ……………8 分 （Ⅲ）由题知 存在，设 设直线 为 ，将直线 代入椭圆 整理得 , 则 ，① ……………9 分 , ……………10 分 （没写判别式但最后检验了不扣分） 因为 ，所以 ， ……………11 分 整理得 ， 因为 ， 整理得 ，②……………13 分 ①代入②整理得 ， 解得 （舍去） …………………14 分 所以，直线 恒过定点 . …………………15 分 19. 【答案】 （Ⅰ）由 ， 得 ， …………………1 分 由于 是正项数列，所以 ， ， ……………2 分 于是 …………………3 分 ( ) 125 5 122 2 1 2 1 +=+==∆ ABdS PAB k ( ) ( )221,1 ,, yxQyxP PQ mkxyl +=: l C ( ) 044841 222 =−+++ mkm 2 2 21221 41 44,41 8- k m kmxx + −=⋅+=+ ( )( ) 04441464 2222 >−+−=∆ mkmk BQBP ⊥ 111 2 2 1 1 −=−⋅− x y x y ( ) 01212121 =++−+ yyyyxx mkxymkxy +=+= 2211 , ( ) ( )( ) ( ) 0111 2 2121 2 =−++−++ mxxmk 0325 2 =−− mm 1,5 3 −== mm 或 PQ      5 3-0， ( ) ( ) 01 222 =+−−+− nnSnnS nn ( )[ ]( ) 012 =++− nn SnnS { }na 0>nS nnSn += 2 ,211 == Sa 数学试卷 第 12 页 共 4 页 时， ， …………………4 分 综上，数列 的通项公式 . …………………5 分 数列 是等比数列， ， ，所以 ……………6 分 （Ⅱ）因为 ，令 前 项和为 ， 前 项和为 ，所以 ① …7 分 ② …8 分 ①－②得 ………9 分 所以 …………………11 分 因为 ， …………………12 分 所以 ……………………………………13 分 2≥n nSSa nnn 21 =−= − { }na nan 2= { }nb 4 1 1 =b 4 1=q n nb     = 4 1 ( )22 24 1 4 12 + ++    = nn nnc n n            n n 4 12 n nA ( )       + + 22 24 1 nn n n nB nnn BAT += ( ) nn n nnA     +    −++    +    ×+    ×= − 4 124 1124 164 144 12 132  ( ) 1432 4 124 1124 164 144 124 1 +     +    −++    +    ×+    ×= nn n nnA  12 4 124 1 4 1 4 124 3 +     −             ++    +    = nn n nA  ( ) n n nA     += 4 1 9 86-9 8 ( ) ( )       + −= + + 2222 2 11 16 1 24 1 nnnn n ( ) ( ) ( ) ( )       + −+ + − − +− − ++++= 22222222222 2 11 1 1 1 11 2 1 5 1-3 1 4 1-2 1 3 1-116 1 nnnnnn Bn  数学试卷 第 13 页 共 4 页 得 ， ……………………14 分 所以 ……15 分 20.【答案】 （Ⅰ）依题意 ……………………………………1 分 ， …………………………………2 分 解得 或 （舍去）所以 ， …………3 分 代入原函数可得 即 . 故 . …………………………………4 分 （Ⅱ） 当 ，即 时， 在 上递增； ……5 分 当 ，即 时， 在 上递减； ……6 分 （1）当 时， 在 上递减，在 上递增，从而 在 上的最小值为 ……8 分 ( ) ( )       + − + = 22 2 1 1 1-4 5 16 1 nn Bn ( ) ( ) ( )       + − + −+    += 22 2 1 1 1 4 5 16 1 4 1 9 86-9 8 nn nT n n ( ) ,1' x x aeaexf −= ( ) ,2 312 2 2' =−= aeaef ( ) 32 =f 22 =ae 2 12 −=ae 2 2 ea = ,32 12 =++ b 2 1=b 2 1,2 2 == bea ( ) ,1' x x aeaexf −= ( ) 0' >xf ax ln-> ( )xf ( )+∞− ,ln a ( ) 0' xg ( )xg [ )∞+，1 ( )xg [ )∞+，1 ( ) .21 1 meeg −+= − [ )+∞∈ ,10x ( ) ,03 0 3 0 00 xh ( )xh ( )∞+− ，1e ( ) ( ) 01 == ehh ( ) ( )1,01,1 −⊆−∈ eex ( ) ( ) ( ) 011 =