百师联盟2020届高三练习题五（全国I卷）数学（文）试题

百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷 I 文科数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.在递增等比数列 中, 是其前 项和，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.已知函数 ，则满足不等式 的实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4.已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且满足 ，则不等式 的解集 为（ ） A. B. C. D. 5.已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线渐近线上一点，若 是等边 三角形（其中 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（ ） { |1 3}P x x= < < { | ln( 2)}Q x y x= = − ( )RP Q =  { | 2 3}x x   ( ) ( )21 1f a f a− ≥ − a [-1,2] [-2,1] ] [, 2( 1, )−∞ − +∞ ] [, 1( 2, )−∞ − +∞ R ( )f x ( 0],−∞ ( )2 1f = ( )2 3 1 0f x x+ + < ( , 2) ( 1, )−∞ − − +∞ ( )1,2 ( ,1) (2, )−∞ +∞ ( )2, 1− − F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > P POF△ O CA. B. C. D. 6.希尔伯特在 1900 年提出了孪生素数猜想，其内容是:在自然数集中，孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数 就是指相差 2 的素数对，即若 和 均是素数，素数对 称为孪生素数.从 15 以内的素数中任取 两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 7.图 1 中茎叶图是某班英语测试中学号为 1 至 15 号同学的成绩,学生成绩的编号依次为 ，则运 行图 2 的程序框图，输出结果为（ ） A.121 B.119 C.10 D.5 8.在如图 3 的正方体 中， ，点 是侧面 内的动点，满足 ，设 与平面 所成角为 6，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 9.已知向量 和向量 满足 ，且 则向量 与 的夹角为（ ） 3 2 3 2 3 3 p 2p + ( ), 2p p + 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2 3 15, , , ,a a a a… ABCD A B C D′ ′ ′ ′− 3AB = M BCC B′ ′ AM BD′⊥ AM BCC B′ ′ tanθ 2 2 2 4 3 3 4 m n | | 2 | | 2m n= =  | | | |m n m n− = +    m 2m n− A. B. C. 10.定义运算 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 11.已知函数 ,则函数 图象与直线 的交点个数为（ ） A.5 B.6 C.4 D.3 12 如图 4 在梯形 中， ，将该图形沿对角线 折成图中的三棱锥 ，且 ，则此三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.如图为制作某款木制品过程中的产量 吨与相应的消耗木材 吨的统计数据,经计算得到 关于 的线性 回归方程 由于某些原因 处的数据看不清楚了，则根据运算可得 __________. 14.在复平面内，复数 满足 ，则复数 对应的点的轨迹方程是___________. 15.已知数列 中， ，则 ___________. 16.已知点 是抛物线 的焦点，直线 经过点 与抛物线交于 两点，与圆 交于 两点（如图 6 所示），则 ___________. 3 4 π 2 π 3 π 4 π a b ad bcc d = − sin sin 10 5,sin , , 0,cos cos 10 5 2 α β πα α βα β  = − = ∈   β = 6 π 4 π 3 π 3 4 π 2 2 3, 1( ) 2 , 1x x x xf x x  + −=  >  ( )( )y f f x= 4y = ABCD , , 4 22AB CD D AB CD π∠ = = = ， AC B ACD− 2 3BD = 32 3 π 16 3 π 8 3 π 8 3 3 π x y y x  0.7 0.85y x= + m m = x 3 4 5 6 y 2.2 3.5 4.8 m z | 2 | | 2 | 6z i z i− + + = z { }na 1 1 21, ( 1)n na a a n n+= − = + na = F 2 16y x= l F A D， 2 2( 4) 16x y− + = B C， | | | |AB CD⋅ =三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17.如图 7，在四边形 中， . （1）求 ； （2）若 ，求 的面积. 18.在四棱锥 中， ， 平面 ， ，点 是 边 上靠近 点的三等分点. （1）证明： 平面 ； （2）若 的面积为 ，求点 到底面 的距离. 19.某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省甲同学成绩数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位 同学在 10 次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图. （1）从甲的成绩中任取一个数据 ，从乙的成绩中任取一个数据 ，求满足条件 的概率； （2）分别计算甲乙两位同学成绩的均值和方差,根据结果决定选谁去合适. ABCD 21sin , , 77 3ACD D AC π∠ = ∠ = = CD 31, 4BC BCD π= ∠ = ABC△ P ABCD− AD BC∥ AD PAB 2 4 3 6AD BC AB PA PC= = = =， ， E AB B CD ⊥ PCE PCE△ 6 3 P ABCD 9( 0)x x ≥ 8( 7)y y ≤ | | 5x y− 20.已知点 是椭圆 的左、右焦点，点 是该椭圆上一点，若当 时， 面积达到最大,最大值为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 为坐标原点，是否存在过左焦点 的直线 ，与椭圆交于 两点，使得 的面积为 ？ 若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由. 21.已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若当 时，总有 ，求 的最大值. （二）选考题：10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答 时请写清题号。 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，直线 的参数方程为 （ 是 参数），曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 交于 两点，点 为曲线 上一点，求使 面积取得最大值时的 点坐标. 23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 . 1 2F F， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P 1 2 3F PF π∠ = 1 2PF F△ 3 C O 1F l A B， OAB△ 12 13 l ( ) ln (3 ) 2( )f x x x k x k k= + − + − ∈Z 1k = ( )f x ( )( )1, 1f 1x > ( ) 0f x > k x l 21 2 2 2 x y t  = +  = − t C 2 2 4 1 3sin ρ θ= + l C l C A B， P C PAB△ P ( ) | 2 2 | | 1|f x x x= + − −（1）在如图 10 所示的坐标系中作出 的图象，并结合图象写出不等式 的解集； （2）若函数 的图象恒在 轴的上方，求实数 的取值范围. 百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷Ⅰ 文科数学答案及评分意见 1.C【解析】 ，得 ，则 ，所以 ，即 . 2.A【解析】由 ，因为 是递增等比数列，解得 ，所以 ， 得 或 （舍）， .所以 . 3.B【解析】因为函数 在 和 上均单调递增，且 ，所以函数 在 上单调递增，若 ，即 ，解得 . 4.D【解析】由奇函数图象性质知 的图象在 上单调递增， ，则 ， 即 ，所以 ，解得 . 5.B【解析】由 在渐近线上且 是等边三角形，其中一条渐近线的斜率 ， 所以离心率 . 6.C【解析】依题意，15 以内的素数有 2，3，5，7，11，13，共有 6 个，由列举可知，从中选取两个共包 含 15 个基本事件，而孪生素数有 三对，包含 3 个基本事件，所以概率为 . ( )f x ( ) 3f x ≥ 2( ) ( ) 3g x f x m m= − − x m 2 0x − > 2x > { | 2}Q x x= > { }| 2RQ x x=  ( ) { }|1 2RP Q x x= 2 4t = 2t = ( )y f x= 1t ≤ 2 2 3 4t t+ − = 1 2 2t = − − 1 2 2 1t = − + > 1 2 2t = − − 4 1 2 2 0− < − − < y t= ( )y f x= y t= ( )y f x=12.A【解析】在梯形 中，易得 .在三棱锥 中，因为 ，所 以 ，所以 ，则知 平面 .如图3将三棱锥 补成三棱柱 ， 即寻找三棱柱的外接球，因为上下底面均为直角三角形，所以分别取斜边中点 ，连结 ，取 中点 ，则点 即为外接球球心， 即为外接球半径，则 ，所以 . 13.5.5【解析】由题可知 ，又知线性回归方程必过样本中心点 ，将 代入 ，得 ，即 ，解得 . 14. 【解析】设 对应点 ，则 ， 设点 ，则| ，所以点 在以 为焦点的椭圆上，轨迹方程为 . 15. 【解析】由题当 时， ， . ABCD 2 2,AC BC BC AC= = ⊥ B ACD− 2 3BD = 2 2 2BD BC CD= + BC CD⊥ BC ⊥ ACD B ACD− BEF CDA− M N， MN MN O O AO 2 2 2r OA OM MA= = + = 34 32 3 3V r ππ= = 3 4 5 6 9 4 2x + + += = ( , )x y 9 2x = ˆ 0.7 0.85y x= + 4y = 2.2 3.5 4.8 44 m+ + + = 5.5n = 2 2 19 7 y x+ = z ( ),P x y 2 2 2 2| 2i | | 2i | ( 2) ( 2) 6z z x y x y− + + = + − + + + = ( ) ( )0, 2 0, 2A B −， | | | | 6 | |PA PB AB+ = > P A B， 2 2 19 7 y x+ = 23 n − 2n ≥ 1 2 1 12( 1) 1n na a n n n n−  − = = − − −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 3 3 2 2 1n n n n n n na a a a a a a a a a a a− − − − −= + − + − + − + − + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 3 2 2 3 1 2n n n n n n           = + − + − + − + − + −          − − − − −           1 21 2 1 3n n  = + − = −  16.【解析】设点 ，抛物线焦点 ，圆 的圆心为 ，则 ， . 所以 .由题可知直线 l 的斜率不为 0，所以设直线方程为 与抛物线方程联立得 ，即 ， ，所以 . 17.【解析】（1）在 中，由正弦定理得， ，所以 . 设 ，由余弦定理得 ， 即 ，解得 或 （舍）. 所以 . （2）由题 ， 所以 ， 所以 . 18.【解析】（1）因为 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 ， . 因为 ， 是 边上靠近 点的三等分点，所以 . 在 中， ，在 中， . 取 中点 ，连结 ， 在 中， ，所以 ，即 . 由题可知 ，所以 ，即 ， ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y D x y ( )4,0F 2 2( 4) 16x y− + = F 1| | | | | | | | 4AB AF BF AF x= − = − = 2| | | | | | | | 4CD DF CF DF x= − = − = 1 2| | | |AB CD x x⋅ = 4x ty= + 2 16 64 0y ty− − = 1 2 64y y = − 1 2 1 2 1616 16 y yx x = ⋅ = | | | | 16AB CD⋅ = ACD△ sin sin AD AC ACD D =∠ ∠ 217 7 2 3 2 AD × = = CD x= 2 2 2 2 cos 3AC AD CD AD CD π= + − ⋅ 2 2 3 0x x− − = 3x = 1x = − 3CD = 2 7cos 7ACD∠ = 2 2 7 2 21 (2 3) 14sin sin( ) 2 7 2 7 14BCA BCD ACD +∠ = ∠ − ∠ = × + × = 1 1 (2 3) 14 2 2 6sin 72 2 14 4ABCS S AC BC BCA + += = × ⋅ ⋅ ∠ = × × = AD BC∥ AD ⊥ PAB BC ⊥ PAB AD AB BC AB⊥ ⊥， 2DAP π∠ = 6AB = E AB B 4 2AE BE= =， Rt EBC△ 4 3CE = Rt ADE△ 8DE = AD F CF Rt CDF△ 4 3CD = 2 2 2CD CE DE+ = CD CE⊥ CD AD PA PC= =， PAD PCD△ ≌△ 2DAP DCP π∠ = ∠ =所以 ，又知 ， 所以 平面 . （2）由（1）知 平面 .所以三棱锥 的底面为 ，高为 ， 在底面梯形 中，连接 ， 的面积 . 又知 ，所以 ， 解得 . 所以点 到底面 的距离为 . 19.【解析】（1）抽取两个数据的基本事件有 共 6 种结果， 满足 的有 ，共 3 个. 所以概率为 . （2） 甲=88， 乙= ， . 从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定， 从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛. 20.【解析】（1）由题可知当点 在短轴端点时， 面积最大，值为 ①，此时 ， ，所以 ②，又知 ③，由上述 3 个式子解得 . DC PC⊥ PC EC C= CD ⊥ PCE CD ⊥ PCE D PCE− PCE△ 4 3CD = ABCD DE CDE△ (2 3 4 3) 6 4 3 4 2 3 2 8 32 2 2CDE ADE BCEABCDS S S S + × × ×= − − = − − =△ △ △梯 D PCE P CDEV V− −= 1 1 h3 3PCE CDES CD S× × = × ×△ △ 3 3h = P ABCD 3 3 ( )(90,85),(90,86),(90,87),(91,85),(91,86), 91,87 | | 5x y−  ( ) ( ) ( )90,85 91,85 91,86， ， 3 1 6 2 = x x 2 2 2 21 (86 88) (87 88) (89 88) (91 88) 310  − + − + − + + − =  2 2 2 2 21 (85 88) (85 88) (85 88) (93 88) 410S  = − + − + − + + − = 乙 P 1 2PF F△ 3b = 1 2 3F PF π∠ = 1 6OPF π∠ = 3b c= 2 2 2a b c= + 2, 1, 3a c b= = =所以椭圆 的标准方程为 . （2）存在，由（1） ，由题意可知直线 与 轴不重合，所以设 ， 与椭圆方程联立得 ， 则 ， 则 ， ，解得 ， 直线 方程为 或 . 21.【解析】（1）当 时， ， 则可知 所以切线方程为 ，化简可得切线方程为 . （2）由题当 时， 恒成立，即 ，在 时恒成立， 即 ，在 时恒成立， 令 ，则 ， 令 ，则 在 时恒成立. 所以 在 上单调递增，又知 ， 所以在 上存在唯一实数 ，满足 ，即 ， 当 时， ，即 ；当 时， ，即 . 所以函数 在 上单调递减；在 上单调递增. C 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,0F − l x : 1l x my= − ( )2 23 4 6 9 0m y my+ − − = 1 2 1 22 2 6 90, ,3 4 3 4 my y y ym m > + = = −+ +△ ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 14 3 4 my y y y y y m +− = + − = + 2 2 1 2 2 1 6 1 12 2 3 4 13AOB mS OF y y m += × ⋅ − = =+△ 3m = ± l 3 1 0x y− + = 3 1 0x y+ + = 1k = ( ) ln 2 1, ( ) ln 3f x x x x f x x′= + − = + (1) 1, (1) 3f f ′= = 1 3( 1)y x− = − 3 2 0x y− − = 1x > ( ) 0f x > ln (3 ) 2 0x x k x k+ − + − > 1x > ln 3 2 1 x x xk x + −< − 1x > ln 3 2( ) 1 x x xg x x + −= − 2 ln 2( ) ( 1) x xg x x − −′ = − ( ) ln 2h x x x= − − 1 1( ) 1 0xh x x x −′ = − = > 1x > ( )h x (1, )+∞ (3) 1 ln3 0, (4) 2 ln 4 0h h= − < = − > (1, )+∞ ( )0 3,4x ∈ ( )0 0h x = 0 0ln 2x x= − ( )01,x x∈ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < 0( ),x x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )01, x 0( ),x +∞即 . 由 在 时恒成立， 所以 ，又知 ，所以整数 的最大值为 5. 22.【解析】（1）直线 的参数方程消参，得普通方程为 ； 将 代入曲线 的极坐标方程 . 得曲线 的直角坐标方程为 . （2）由题知线段 的长度为定值，若使 面积取得最大值，只需点 到直线 的距离最大. 因为点 在曲线 上，所以设 ， 则点 到直线 的距离为 ， 其中 .当且仅当 时，等号成立. 此时 ，即 . 23.【解析】（1） 结合图象可知，当 时， ； 当 时， ，解得 ； 当 时， 成立. ( ) ( )0 0 00 0 0 min 0 0 0 0 2 3 2ln 3 2( ) 2 (5,6)1 1 x x xx x xg x g x xx x − + −+ −= = = = + ∈− − ln 3 2 1 x x xk x + −< − 1x > 0 2k x< + k ∈Z k l 1 0x y+ − = cos , sin , x y ρ θ ρ θ =  = C 2 2 14 x y+ = C 2 2 14 x y+ = AB PAB△ P l P C (2cos ,sin )P θ θ P l | 2cos sin 1| | 5sin( ) 1| 10 2 22 2 d θ θ θ ϕ+ − + − += =  2 5 5sin ,cos5 5 ϕ ϕ= = sin( ) 1θ ϕ+ = − 5 2 5sin ,cos5 5 θ θ= − = − 4 5 5,5 5P  − −    3, 1, ( ) 3 1, 1 1, 3, 1, x x f x x x x x − − − = + − < ( ) 2 3f x m m> + 2 min( ) 3f x m m> + min( ) ( 1) 2f x f= − = − 2 3 2m m+ < − 2 1m− < < −