百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷Ⅰ
理科数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟，满分 150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要
求的。
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.高一 2 班有 45 名学生，学号为 01-45，为弘扬中国古诗词文化，现采用随机数表法从该班抽取 7 名同学参
加校园诗词朗诵大赛，从随机数表第 5 行第 15 个数开始向右数，如图为随机数表的第 5 行和第 6 行，则抽
取的第 7 个同学的学号是（ ）
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
A.26 B.35 C.20 D.43
3.已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且满足 ，则不等式 的解集
为（ ）
A. B. C. D.
4.已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线渐近线上一点，若 是等边
三角形（其中 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（ ）
{ |1 3}P x x= < < { | ln( 2)}Q x y x= = − ( )RP Q =
3| }2{x x≤ < { |1 3}x x< < { |1 2}x x< { |1 2}x x< <
R ( )f x ( 0],−∞ ( )2 1f = ( )2 3 1 0f x x+ + <
( , 2) ( 1, )−∞ − − +∞ (1,2) ( ,1) (2, )−∞ +∞ ( )2, 1− −
F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > P POF△
O CA. B. C. D.
5.希尔伯特在 1900 年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个.其中孪生素
数就是指相差 2 的素数对，即若 和 均是素数,素数对 称为孪生素数.从 15 以内的素数中任取
两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.图 1 中茎叶图是某班英语测试中学号为 1 至 15 号同学的成绩,学生成绩的编号依次为 ，运行
图 2 的程序框图，则输出的结果为（ ）
A.121 B.119 C.10 D.5
7.如图是函数 的部分图象，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知向量 和向量 满足 ，且 则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数 ，则下列能正确表示函数 （粗线）及导函数 （细线）图象的是（ ）
3 2 3 2 3
3
p 2p + ( ), 2p p +
1
3
1
4
1
5
1
6
1 2 3 15, , , ,a a a a
( ) sin( ) 0,| | 2f x A x
πω ϕ ω ϕ = + >
( ( ))y f f x= 4y =
P Q， 2 8x y= ( )22 2 1x y+ − = ( )0,4A
2| |
| |
PA
PQ
10 4 2 3 2− 4 2 1+
15sin sin6 3 8
π πθ θ + ⋅ − = sin 2 3
πθ + =
z | 2 | | 2 | 6z i z i− + + = z
ABC△ 4AB = D AB ACD△ CD
C A BD′−
3ADB
π∠ =
2 3 ABC△ G l G AB AC P Q
1 1
GP GQ
+（一）必考题：60 分
17.已知数列 的首项为 1，当 时，其前 项和 满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，求满足 的最小的 值.
18. 在三棱柱 中，底面 是以 为斜边的等腰直角三角形，侧面 是菱形且与底面
垂直， ，点 是 中点，点 是 上靠近 点的三等分点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19.已知点 是椭圆 的左、右焦点，点 是该椭圆上一点，若当 时，
面积达到最大，最大值为 3.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为坐标原点，是否存在过左焦点 的直线 ，与椭圆交于 两点，使得 的面积为 ？
若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
20.已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若当 时，总有 ，求 的最大值.
21. 某工厂生产某款机器零件，因为要求精度比较高，所以需要对生产的一大批零件进行质量检测.首先由
专家根据各种系数制定了质量指标值，从生产的大批零件中选取 100 件作为样本进行评估，根据评估结果
作出如图 6 所示的频率分布直方图：
{ }na 2n ≥ n nS
2
1n
n
n
SS a
= +
{ }na
1n
n
Sb n
+= nT { }nb n 19
20nT > n
1 1 1ABC A B C− ABC△ AB 1 1ABB A
ABC 1 1
2
3AA B π∠ = E 1BB F AC C
1CB∥ 1A EF
1F A E A− −
1 2F F、
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > P 1 2 3F PF
π∠ =
2PFF△
C
O 1F l A B， OAB△ 12
13
l
( ) ln (3 ) 2( )f x x x k x k k= + − + − ∈Z
2k = ( )f x
1x > ( ) 0f x > k（1）（i）根据直方图求 及这 100 个零件的样本平均数 （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（ii）以样本估计总体，经过专家研究，零件的质量指标值 ，试估计 10000 件零件质量指标值
在 内的件数；
（2）设每个零件利润为 元，质量指标值为 ，利润 与质量指标值 之间满足函数关系
.假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估算该批零件的平均利润.
（结果四舍五入，保留整数）
参考数据： ，则 ，
.
（二）选考题：10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答
时请写清题号。
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，直线 的参数方程为 ，（
是参数），曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，点 为曲线 上一点，使 面积取得最大值时的 点坐标.
23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 .
（1）在如图 7 所示的坐标系中作出 的图象，并结合图象写不等式 的解集；
（2）若函数 的图象恒在 轴的上方，求实数 的取值范围.
a µ
~ ( ,225)X N µ
( )185,230
y x y x
0.8 , 205
0.16 200, 205
x xy x x
= + >
( )2~ ,X N µ σ ( ) 0.6827, ( 2 2 ) 0.9545P X P Xµ σ µ σ µ σ µ σ− < < + = − < < + =
( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < < + =
x l
21 2
2
2
x t
y t
= +
= −
t
C 2
2
4
1 3sin
ρ θ= +
l C
l C A B， P C PAB△ P
( ) | 2 2 | | 1|f x x x= + − −
( )f x ( ) 3f x ≥
2( ) ( ) 3g x f x m m= − − x m百师联盟 2020 届高三练习题五 全国卷 I
理科数学答案及评分意见
1.C【解析】 ，得 ，则 ，所以 ，即 .
2.A【解析】选取的 7 名同学的学号依次为 43，17，37，23，35，20，26.所以抽取的第 7 个同学的学号是
26.
3.D【解析】由奇函数图象性质知 的图象在 上单调递增， ，则 ，
即 ，所以 ，解得 .
4.B【解析】由 在渐近线上且 是等边三角形，其中一条渐近线的斜率 ，所以离心率
.
5.C【解析】依题意，15 以内的素数有 2，3，5，7，11，13.共有 6 个，从中选两个共包含 个基本事
件，而孪生素数有 三对，包含 3 个基本事件，所以概率为 .
6.C【解析】由题，该程序框图的功能是统计成绩大于等于 120 的人数，所以由茎叶图可知，成绩大于等于
120 的人数为 10，因此输出结果为 10.
7.D【解析】由图可得 ，所以 ，又知 ，所以 。
即 ，又知 ，所以 ，即 ，则 .
8.D【解析】因为 所以 ， ，
，所以 .
2 0x − > 2x > { | 2}Q x x= > { | 2}RQ x x= ( )RP Q
( )f x R ( ) ( )2 2 1f f− = − = − ( )2 3 1 0f x x+ + <
( )2 3 1 ( 2)f x x f+ < − = − 2 3 2x x+ < − ( )2, 1x∈ − −
P POF△ tan60 3b
a
°= =
2
21 2be a
= + =
2
6 15C =
( ) ( ) ( )3,5 , 5,7 , 1,13 3 1
15 5
=
22,A T
ππ ω= = = 2ω = 5 212f
π =
52 212 2 k
π πϕ π× + = +
2 3k
πϕ π= − | | 2
πϕ <
3
πϕ = − ( ) 2sin 2 3f x x
π = −
4 33f
π =
| | | |m n m n− = + m n⊥ 2 22| 2 | ( 2 ) 2 4 2 2m n m n m m n n− = − = − ⋅ + =
( 2 ) 2cos 2| | | 2 |
m m n
m m n
θ ⋅ −= =
⋅ −
4
πθ =9.A【解析】 ， ， 所以
是偶函数， ， ，所以 A 正确.
10.B【解析】二项式 展开式的通项公式 ， ， ，则 的展开
式中 的系数为 G+2C-C=19 .
11.D【解析】如图 1 为函数 的图象，函数 图象与直线 的交点个数即为方程
的根的个数，令 ，则 .即寻找直线 与 图象的交点个数.当 时，
，得 ，与 的图象 1 个交点；当 时， ，解得 或
（舍），当 时， ， 与 图象的 2 个交点.综上所述，直线 与
图象一共 3 个交点.即满足题意的交点个数为 3 个.
12.B【解析】设点 ，因为点 在抛物线上，所以 ，因为点 ，则
.又知点 在圆 上，圆心为抛物线的焦点
，要使 的值最小，则 的值应最大，即 .所以
当且仅当 时等号成立.所以 的最小值为 4.
15. 【解析】由题
( ) 1f x x sinx= ⋅ + ( )f x x cosx sinx′ = ⋅ + ( ) ( ) sin( ) 1 sin 1 ( )f x x x x x f x− = − ⋅ − + = ⋅ + =
( )f x ( )0 1f = ( )1 cos1 sin1 0f ′ = + >
5(1 )x+ 1 5
r r
rT C x+ = 0 5r≤ ≤ r N∈ 2 512 (1 )x xx
+ − +
4x 2 4 5
5 5 52 19C C C+ − =
( )y f x= ( )( )y f f x= 4y =
( ( )) 4f f x = ( )t f x= ( ) 4f t = y t= ( )y f x= 1t >
2 4t = 2t = ( )y f x= 1t ≤ 2 2 3 4t t+ − = 1 2 2t = − − t = 1 2 2 1− + >
1 2 2t = − − 4 1 2 2 0− < − − < y t= ( )y f x= y t=
( )y f x=
( )0 0,P x y P ( )2
0 0 08 0x y y= ( )0,4A
( ) ( )2 22 2 2
0 0 0 0 0| | 4 8 4 16PA x y y y y= + − = + − = + Q 2 2( 2) 1x y+ − =
( )0,2F
2| |
| |
PA
PQ PQ max 0| | | | 1 3PQ PF y= + = +
( ) ( ) ( ) ( )
222
0 00
0 0
0 0 0 0
3 6 3 2516| | 25 253 6 2 3 6 4| | 3 3 3 3
y yyPA y yPQ y y y y
+ − + ++= = = + + − + ⋅ − =+ + + +
0 2y =
2| |
| |
PA
PQ
15
4
sin sin sin sin6 3 6 2 6
π π π π πθ θ θ θ + ⋅ − = + ⋅ − + ，即可得 .
14. 【解析】设 对应点 ，则 .设
点 ， ，则 ，所以点 在以 ， 为焦点的椭圆上，轨迹方程为
.
15. 【解析】将该三棱锥补成三棱柱，由三棱柱性质易得，外接球的半径 ，所以外接
球表面积为 .
16. 【解析】设 ， ，因为 是重心，所以 AG= .
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，同理在
中，由正弦定理得 .
所以 ，当 时，
.
17.【解析】（1）在数列 中， ，当 时， ，即 ，
1 15sin cos sin 26 6 2 3 8
π π πθ θ θ = + ⋅ + = + =
15sin 2 3 4
πθ + =
2 2
19 7
y x+ = z ( ),P x y 2 2| 2i | | 2i | ( 2)z z x y− + + = + − + 2 2( 2) 6x y+ + =
( )0,2A (0, 2)B − | | | | 6 | |PA PB AB+ = > P A B
2 2
19 7
y x+ =
28
3
π 21
3r =
2
2 21 284 4 3 3S r
ππ π = = × =
3 AGP θ∠ = 2,3 3
π πθ ∈ G 2 2 3 23 3 2AG AD AC= ⋅ = × ⋅ =
AGP△
sin sin
GP AG
PAG APG
=∠ ∠
sin 16
5sin sin6 6
AG
GP
π
π πθ θ
⋅
= =
− +
AGQ△
1
sin 6
GQ πθ
=
−
1 1 2sin sin 2sin cos 3sin , ,6 6 6 3 3GP GQ
π π π π πθ θ θ θ θ − + = + + − = ⋅ = ∈ 2
πθ =
max
1 1 3sin 32GP GQ
π + = =
{ }an 1 1a = 2n ≥
2
1n
n
n
SS a
= + ( )2 1n n nS a S= −所以 ，化简得 .
所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 ，解得 .
当 时， .当 时不满足，
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 .
.
若 ，即 ，解得 .
所以满足 的最小的 值为 20.
18.【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 .
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
( )( )2
1 1n n n nS S S S−= − −
1
1 1 1
n nS S −
− =
1
nS
1 1 ( 1)
n
n nS
= + − = 1
nS n
=
2n ≥
1
1 1 1 1
1n
n n
a S S n n−
= − = − − 1n =
1, 1
1 1 ,1
n
n
a
n n
== − −
2n ≥
1
1
1nS n+ = +
1 1 1 1
( 1) 1
n
n
Sb n n n n n
+= = = −+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 111 2 2 3 3 4 1 1 1n
nT n n n n
= − + − + − + ⋅⋅⋅ + − = − = + + +
19
20nT > 19
1 20
n
n
>+ 19n >
19
20nT > n
1AB 1A E G FG
1 1AGA B GE∽△ △ 1
1 1
2AAAG
GB EB
= =
2AF
FC
=
1
AF AG
FC GB
=
1FG CB∥
1CB ⊄ 1A EF FG ⊂ 1A EF
1CB∥ 1A EF（2）过 作 于 ，
因为 ，所以 是线段 的中点.
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，连接 ，
因为 是等边三角形， 是线段 的中点，所以 .
如图 4，以 为原点， ， ， ，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ，
由 ，得 ，
则 的中点 ，
从而 ， .
设平面 的法向量为 ，则
即 不妨取 ，得 即 .
易知平面 的一个法向量为 ，
C CO AB⊥ O
CA CB= O AB
CAB ⊥ 1 1ABB A CAB 1 1AB A AB=
CO ⊥ 1ABA 1OA
1ABA△ O AB 1OA AB⊥
O OA OC 1OA x y z
2AB = (1,0,0)A 1(0,0, 3)A C(0,1,0) B(-1,0,0) 1 2, ,03 3F
1 1AA BB=
1( 2,0, 3)B −
1BB 3 3,0,2 2E
−
1
3 3,0,2 2A E
= − −
1
1 2, , 33 3A F = −
1A FE 1 ( , , )n x y z= 1 1
1 1
0,
0,
A E n
A F n
⋅ = ⋅ =
3 3 0,2 2
2 3 0,3 3
x z
x y z
− − =
+ − =
1x = −
1,
5,
3,
x
y
z
= −
=
=
1 ( 1,5, 3)n = −
1ABA 2 (0,1,0)n =则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
19.【解析】（1）由题可知当点 在短轴端点时， 面积最大，值为 ①，此时 ，
，所以 ②，又知 ③，由上述 3 个式子解得 ， ， .
所以椭圆 C 的标准方程为 .
（2）存在，由（1） ，由题意可知直线 与 轴不重合，所以设 ： ，
与椭圆方程联立得 ，
则 ， ， ，
则 ，
，解得 ，
即直线 方程为 或 .
20.【解析】（1）当 时， ，定义域为 ， ，
由 得 ，由 得 ，
1 2
1 2
1 2
5 29cos , 29
n nn n n n
⋅= =
1F A E A− − 5 29
29
P 1 2PF F△ 3bc = 1 2 3F PF
π∠ =
1 6OPF
π∠ = 3b c= 2 2 2a b c= + 2a = 1c = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
1( 1,0)F − l x l 1x my= −
( )2 23 4 6 9 0m y my+ − − =
0>△ 1 2 2
6
3 4
my y m
+ = + 1 2 2
9
3 4y y m
= − +
( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 2
12 14 3 4
my y y y y y m
+− = + − = +
2
1 1 2 2
1 6 1 12
2 3 4 13AOB
mS OF y y m
+= × ⋅ − = =+△ 3m = ±
l 3 1 0x y− + = 3 1 0x y+ + =
2k = ( ) lnf x x x x= + (0, )+∞ ( ) ln 2f x x′ = +
( ) 0f x′ <
2
10, ex ∈ ( ) 0f x′ >
2
1 ,ex ∈ +∞ 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
即函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2）由题当 时， 恒成立，即 在 时恒成立，
即 在 时恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，在 时恒成立.
所以 在 上单调递增，又知 ，
所以在 上存在唯一实数 ，满足 ，即 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 .
所以函数 在 上单调递减；在 上单调递增.
即 .
由 在 时恒成立，
所以 ，又知 ，所以整数 的最大值为 5.
21.（1）（i）由 ，解得 .
，
（ii）由题 ，所以 .
.所以 10000 件零件质量指标值在 内的件数约为 8186.
( )f x 2
10, e
2
1 ,e
+∞
( )f x 2
10, e
2
1 ,e
+∞
1x > ( ) 0f x > ln (3 ) 2 0x x k x k+ − + − > 1x >
ln 3 2x x xk x
+ −< 1x >
ln 3 2( ) 1
x x xg x x
+ −= − 2
ln 2( ) ( 1)
x xg x x
− −′ = −
( ) ln 2h x x x= − − 1 1( ) 1 0xh x x x
−′ = − = > 1x >
( )h x (1, )+∞ (3) 1 ln3 0, (4) 2 ln 4 0h h= − < = − >
(1, )+∞ 0 (3,4)x ∈ ( )0 0h x = 0 0ln 2x x= −
( )01,x x∈ h(x) ( ) 0g x′ >
( )g x ( )01, x ( ),x +∞
( ) ( )0 0 00 0 0
min 0 0
0 0
2 3 2ln 3 2( ) 2 (5,6)1 1
x x xx x xg x g x xx x
− + −+ −= = = = + ∈− −
ln 3 2
1
x x xk x
+ −< − 1x >
0 2k x< + k ∈Z k
10 ( 0.009 0.022 0.033 0.024 0.008 ) 1a a× + + + + + + = 0.002a =
170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02µ = × + × + × + × + × + × + ×
200=
( )2~ 200,15X N 0.6827 0.9545(185 230) 0.81862 2P x< < = + =
10000 0.8186 8186× = ( )185,230（2）由题意得
.
该零件的平均利润为 182 元.
22.【解析】（1）直线 的参数方程消参，得普通方程为 ；
将 ，代入曲线 极坐标方程 ，
(2)由题知线段 的长度为定值，若使 面积取得最大值，只需点 到直线 的距离最大.
因为点 在曲线 上，所以设 ，
则点 到直线 的距离为
，
其中 .当且仅当 时，等号成立.
此时， ，即 .
23.【解析】解： ，
结合图象可知，当 时， ， ；
当 时， ，解得 ；
当 时， 成立.
综上，不等式 的解集为 .
（2）若函数 的图象恒在 轴的上方，则 恒成立.
0.8 170 0.02 0.8 180 0.09 0.8 190 0.22 0.8 200 0.33y = × × + × × + × × + × × +
(0.16 210 200) 0.24 (0.16 220 200) 0.08 (0.16 230 200) 0.02 181.536× + × + × + × + × + × =
182≈
l 1 0x y+ − =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= C 2
2
4
1 3sinp θ= +
AB PAB△ P l
P C (2cos ,sin )P θ θ
P l
| 2cos sin 1| | 5sin( ) 1| 10 2
22 2
d
θ θ θ ϕ+ − + − += =
2 5 5sin ,cos5 5
ϕ ϕ= = sin( ) 1θ ϕ+ = −
5 2 5sin ,cos5 5
θ θ= − = − 4 5 5,5 5P
− −
3, 1
( ) 3 1, 1 1
3, 1
x x
f x x x
x x
− − −
= + − < 即 恒成立，只需
由（1）中图象可知 .
所以 ，解得 .
2( ) 3f x m m> + 2
min( ) 3f x m m> +
min( ) ( 1) 2f x f= − = −
2 3 2m m+ < − 2 1m− < < −
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