2020届江苏省淮安市六校联盟高三第三次学情调查数学（文）试题

- 1 - 2019-2020 学年江苏省淮安市六校联盟高三第三次学情调查 数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1．已知集合 A＝{﹣3，﹣1，1，2}，集合 B＝[0，+∞），则 A∩B＝　 　． 2．若复数 z＝（1+i）（3﹣ai）（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a＝　 　． 3．函数 y＝ 的定义域为　 　． 4．“x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的　 　条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既 不充分又不必要”中选择一个正确的填写） 5．已知等差数列{an}，a4+a6＝10，前 5 项的和 S5＝5，则其公差为　 　． 6．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时 f（x）＝log2（2﹣x），则 f（0）+f（2）＝　 　． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 ，且它的一个顶点与抛物 线 y2＝﹣4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为　 　． 8．如图所示，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点，则棱锥 A﹣DED1 的体积 为　 　． 9．若曲线 C1 ：y＝ax3 ﹣6x2+12x 与曲线 C2 ：y＝ex 在 x＝1 处的两条切线互相垂直，则实数 a 的值 为　 　． 10．已知正实数 x，y 满足 xy﹣x﹣2y＝1，则 x+2y 的最小值为　 　． 11．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E、F 分别在边 BC、DC 上， ＝λ ， ＝μ ．若 ＝1， • ＝﹣ ，则 λ+μ＝　 　． 12．已知点 A（﹣1，0），B（2，0），直线 l：kx﹣y﹣5k＝0 上存在点 P，使得 PA2+2PB2＝9 成立，则实数 k 的取值范围是　 　． 13．在三角形 ABC 中，角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，若 b＝3，2sin2A+sin2B+ C，则 sinC 的最大值是　 　．- 2 - 14．已知函数 f（x）＝|lnx|，g（x）＝ ，则方程|f（x）+g（x）|＝1 实根的个数为　 　． 二、解答题（本大题共六小题，15、16、17 每题 14 分，18、19、20 每题 16 分，共 90 分） 15．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E，F 分别为 BB1，AC 的中点． （1）求证：BF∥平面 A1EC； （2）求证：平面 A1EC⊥平面 ACC1A1． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，且∠AOP＝α， 将点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 β 后到点 Q（a，b），其中 （1）若点 P 的坐标为 ， 时，求 ab 的值； （2）若 ，求 b2﹣a2 的取值范围． 17．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB，AC 为湿地两边 夹角为 120°的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设立游客接送点 M，N，从观景 台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM＝2 千米，AN＝2 千米． （1）求线段 MN 的长度； （2）若∠MPN＝60°，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值．- 3 - 18．（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，焦距为 2，一条准线方程为 x＝2．P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2 三点的圆的方程； （3）若 ＝λ ，且 λ∈（ ，2），求 • 的最大值． 19．（16 分）已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝ +n﹣4，bn＝（﹣1）n（an﹣3n+21），其中 λ 为 实数，n 为正整数． （1）对任意实数 λ，证明：数列{an}不是等比数列； （2）证明：当 λ≠18 时，数列 {bn} 是等比数列； （3）设 Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和，是否存在实数 λ，使得对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣12？若存在， 求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由． 20．（16 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ ax2+x，a∈R． （1）若 a＝2，求函数 f（x）的单调区间； （2）若关于 x 的不等式 f（x）≤ax﹣1 恒成立，求整数 a 的最小值． （3）若 a＝﹣2，正实数 x1，x2 满足 f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥ ．- 4 - 2019-2020 学年江苏省淮安市六校联盟高三（上）第三次学情调查数学试卷 （文科）（12 月份） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1．已知集合 A＝{﹣3，﹣1，1，2}，集合 B＝[0，+∞），则 A∩B＝　{1，2}　． 2．若复数 z＝（1+i）（3﹣ai）（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a＝　﹣3　． 3．函数 y＝ 的定义域为　[2，+∞）　． 4．“x＞2”是“x2+3x﹣4＞0”的　充分　条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既 不充分又不必要”中选择一个正确的填写） 5．已知等差数列{an}，a4+a6＝10，前 5 项的和 S5＝5，则其公差为　2　． 6．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时 f（x）＝log2（2﹣x），则 f（0）+f（2）＝　﹣2　． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为 ，且它的一个顶点与抛物 线 y2＝﹣4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为　y＝ x　． 8．如图所示，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点，则棱锥 A﹣DED1 的体积为　 1　． 9．若曲线 C1：y＝ax3﹣6x2+12x 与曲线 C2：y＝ex 在 x＝1 处的两条切线互相垂直，则实数 a 的值为　﹣ 　． 10．已知正实数 x，y 满足 xy﹣x﹣2y＝1，则 x+2y 的最小值为　4+2 　． 11．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E、F 分别在边 BC、DC 上， ＝λ ， ＝μ ．若 ＝1， • ＝﹣ ，则 λ+μ＝　 　． 12．已知点 A（﹣1，0），B（2，0），直线 l：kx﹣y﹣5k＝0 上存在点 P，使得 PA2+2PB2＝9 成立，则实数 k 的取值范围是　[ ]　． 13．在三角形 ABC 中，角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，若 b＝3，2sin2A+sin2B+ C，则 sinC 的最大值是　 　． 14．已知函数 f（x）＝|lnx|，g（x）＝ ，则方程|f（x）+g（x）|＝1 实根的个数为　 4　．- 5 - 二、解答题（本大题共六小题，15、16、17 每题 14 分，18、19、20 每题 16 分，共 90 分） 15．如图，在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E，F 分别为 BB1，AC 的中点． （1）求证：BF∥平面 A1EC； （2）求证：平面 A1EC⊥平面 ACC1A1． 【解答】证明：（1）连接 A1C 与 AC1 交于点 O，连接 OF， ∵F 为 AC 的中点， ∴OF∥C1C 且 OF＝ C1C， ∵E 为 BB1 的中点， ∴BE∥C1C 且 BE＝ C1C， ∴BE∥OF 且 BE＝OF， ∴四边形 BEOF 是平行四边形， ∴BF∥OE， ∵BF⊄平面 A1EC，OE⊂平面 A1EC， ∴BF∥平面 A1EC （2）∵AB＝CB，F 为 AC 的中点， ∴BF⊥AC 由（1）知 BF∥OE， ∴OE⊥AC， ∵AA1⊥底面 ABC，BF⊂底面 ABC， ∴AA1⊥BF， ∵BF∥OE， ∴OE⊥AA1， ∵AA1∩AC＝A， ∴OE⊥平面 AA1C1C- 6 - ∵OE⊂面 A1EC， ∴平面 A1EC⊥平面 AA1C1C． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点，且∠AOP＝α， 将点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 β 后到点 Q（a，b），其中 （1）若点 P 的坐标为 ， 时，求 ab 的值； （2）若 ，求 b2﹣a2 的取值范围． 【解答】解：（1）A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点， 且∠AOP＝α，将点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 β 后到点 Q（a，b），其中 ， 若点 P 的坐标为 ， 时， 则 cosα＝ ，sinα＝ ，且 a＝cos（α+ ），b＝sin（α+ ）， 故 ab＝sin（α+ ）cos（α+ ）＝ sin（2α+ ）＝ cos2α＝ （2cos2α﹣1）＝﹣ ． （2）若 ，则 a＝cos（β+ ），b＝sin（β+ ）， ∴b2﹣a2 ＝ ﹣ ＝﹣cos（2β+ ）． ∵ ，∴2β+ ∈[ ， ]，∴cos（2β+ ）∈[﹣1， ]， ∴b2﹣a2 ＝﹣cos（2β+ ）∈[﹣ ，1]． 17．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB，AC 为湿地两边- 7 - 夹角为 120°的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设立游客接送点 M，N，从观景 台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM＝2 千米，AN＝2 千米． （1）求线段 MN 的长度； （2）若∠MPN＝60°，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值． 【解答】解：（1）在△AMN 中，由余弦定理得，MN2＝AM2+AN2﹣2AM•ANcos120°… ＝ ， 所以 千米． … （2）设∠PMN＝α，因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°﹣α 在△PMN 中，由正弦定理得， ．… 因为 ＝ ， 所以 PM＝4sin（1200﹣α），PN＝4sinα… 因此 PM+PN＝4sin（1200﹣α）+4sinα… ＝ ＝ ＝ … 因为 0°＜α＜120°，所以 30°＜α+30°＜150°． 所以当 α+300＝900，即 α＝600 时，PM+PN 取到最大值 ．… 答：两条观光线路距离之和的最大值为 千米．…（16 分） 18．（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，焦距为 2，一条准线方程为 x＝2．P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2 三点的圆的方程； （3）若 ＝λ ，且 λ∈（ ，2），求 • 的最大值．- 8 - 【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 c＝1，a2＝2， ∴b2＝a2﹣c2＝1， ∴椭圆 C 的方程为 ； （2）∵P（0，1），F1（﹣1，0）， ∴直线 PF1 的方程为 x﹣y+1＝0， 由 ，解得 ，或 ， ∴点 Q 的坐标为（﹣ ，﹣ ）， 设过 P，Q，F2 三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F＝0， ∴ ，解得 ， ∴所求圆的方程为 x2+y2+ ； （3）设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则 ＝（x1+1，y1）， ＝（﹣1﹣x2，﹣y2 ）， ∵ ＝λ ， ∴ ，即 ， ∴ ，解得 x2＝ ， ∴ ＝x1x2+y1y2 ＝x2（﹣1﹣λ﹣λx2）﹣ ＝﹣ ＝﹣- 9 - ＝ ， ∵ ， ∴ ，当且仅当 ，即 λ＝1 时取等号， ∴ ， 即 的最大值为 ． 19．（16 分）已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝ +n﹣4，bn＝（﹣1）n（an﹣3n+21），其中 λ 为 实数，n 为正整数． （1）对任意实数 λ，证明：数列{an}不是等比数列； （2）证明：当 λ≠18 时，数列 {bn} 是等比数列； （3）设 Sn 为数列 {bn} 的前 n 项和，是否存在实数 λ，使得对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣12？若存在， 求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）证明：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝a1a3， 即（ ）2＝ 2 ，矛盾． 所以{an}不是等比数列． （2）解：因为 bn+1＝（﹣1）n+1[an+1﹣3（n+1）+21]＝（﹣1）n+1（ an﹣2n+14） ＝﹣ （﹣1）n•（an﹣3n+21）＝﹣ bn 当 λ≠﹣18 时，b1＝﹣（λ+18）≠0，由上可知 bn≠0，∴ （n∈N+）． 故当 λ≠﹣18 时，数列{bn}是以﹣（λ+18）为首项，﹣ 为公比的等比数列 （3）当 λ＝﹣18 时，bn＝0，从而 Sn＝0．成立． 当 λ≠﹣18 时，由（Ⅱ）得 ，于是 ， 要使对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣12． 即 ． 令 当 n 为正奇数时，- 10 - 当 n 为正偶数时， ，∴ ．（16 分） 于是可得 ． 综上所述，存在实数 λ，使得对任意正整数 n，都有 Sn＞﹣12；λ 的取值范围为（﹣∞，﹣6）．（18 分） 20．（16 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ ax2+x，a∈R． （1）若 a＝2，求函数 f（x）的单调区间； （2）若关于 x 的不等式 f（x）≤ax﹣1 恒成立，求整数 a 的最小值． （3）若 a＝﹣2，正实数 x1，x2 满足 f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：x1+x2≥ ． 【解答】解：（1）若 a＝2，则 f（x）＝lnx﹣x2+x，（x＞0）， f′（x）＝ ﹣2x+1＝﹣ ， f′（x）＜0 可得 2x2﹣x﹣1＞0，又 x＞0，解得 x＞1， 即有 f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）； （2）f（x）≤ax﹣1 恒成立，可得 lnx﹣ ax2+x﹣ax+1≤0 恒成立， 令 g（x）＝lnx﹣ ax2+x﹣ax+1，g′（x）═ ， ①当 a≤0 时，∵x＞0，∴﹣ax2+（1﹣a）x+1＞0，∴g′（x）＞0 g（x）在（0，+∞）单调递增，且 g（1）＝﹣ ， 此时不等式 f（x）≤ax﹣1 不恒成立． ②当 a＞0 时，g ． 当 ）时，g′（x）＞0，x 时，g′（x）＜0 ∴g（x）在（0， ）递增，在（ ）d 递减， 故 g（x）max＝g（ ）＝ 令 h（a）＝ ，（a＞0），显然函数 h（a）在（0，+∞）递减． 且 h（1）＝ ． ∴整数 a 的最小值为 2． （3）证明：由 f（x1）+f（x2）+x1x2＝0， 即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2＝0， 从而（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），- 11 - 令 t＝x1x2，则由 φ（t）＝t﹣lnt， 由 x1＞0，x2＞0，即 x1+x2＞0． φ′（t）＝ ．t＞0 可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增． 所以 φ（t）≥φ（1）＝1， 所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≥ ．或 x1+x ． 因为 x1＞0，x2＞0， 因此 x1+x2≥ 成立．