绝密★启用前
2020 年高考诊断性测试
数 学
注意事项：
1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟．
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．
3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答
题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 （ 为虚数单位），则
A. B. C. D.
3.设 ，则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.数列 ： ， ，最初记载于意大利数学家斐波那契
在 1202 年所著的《算盘全书》.若将数列 的每一项除以 所得的余数按原来项的
顺序构成新的数列 ，则数列 的前 项和为
A. B. C. D.
{ }ln( 1)M x y x= = + { }exN y y= = M N =
( 1,0)− ( 1,+ )− ∞ (0,+ )∞ R
z (1 i) 2iz+ = i z =
1 i+ 1 i− 1 2i+ 1 2i−
x∈R | 2 | 1x − < 2 2 3 0x x+ − >
{ }nF 1 2 1F F= = ( )1 2 2n n nF F F n− −= + >
{ }nF 2
{ }na { }na 50
33 34 49 505.设 为平行四边形， ， ， ．若点 满足
， ，则
A. B. C. D.
6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小
木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落
下
后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落
过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率
为
A. B. C. D.
7.设 为直线 上的动点， 为圆 的两条切线，
为切点，则四边形 面积的最小值为
A. B. C. D.
8.已知函数 ，实数 满足不等式 ，则下列不
等关系成立的是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合要求。全部选对的得 5 分，
部分选对的得 3 分，有选错的得
0 分。
9.2020 年春节前后，一场突如其来的
ABCD | | 4AB = | | 6AD =
3BAD
π∠ = ,M N
BM MC= 2AN ND= NM AM =
23 17 15 9
3
32
15
64
5
32
5
16
P 3 4 4 0x y− + = ,PA PB 2 2:( 2) 1C x y− + =
,A B APBC
3 2 3 5 2 5
e e( ) e e
x x
x xf x
−
−
−= + ,m n (2 ) (2 ) 0f m n f n− + − >
1m n+ > 1m n+ < 1m n− > − 1m n− < −新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指
挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战
争.右侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，
下列结论正确的是
A.16 天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大
B.16 天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C.16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于
D.19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
10.已知 是双曲线 上任一点， 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，
设直线 的斜率分别为 ，若 恒成立，且实数 的最大
值为 ，则下列说法正确的是
A.双曲线的方程为
B.双曲线的离心率为
C.函数 的图象恒过 的一个焦点
D.直线 与 有两个交点
11.如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为棱 的中点，
为面对角线 上任一点，则下列说法正确的是
A.平面 内存在直线与 平行
B.平面 截正方体 所得截面面积为
2000
P
2 2
: 13
x yC m
− = ,A B
,PA PB 1 2 1 2, ( 0k k k k ≠ ） 1 2| | | |k k t+ ≥ t
2 33
2
2 13
x y− =
2
log ( 1)( 0, 1)ay x a a= − > ≠ C
2 3 0x y− = C
1 1 1 1 1ABCD A B C D− ,P M 1,CD CC
Q 1AB
APM 1 1AD
APM 1 1 1 1ABCD A B C D− 9
8C.直线 和 所成角可能为
D.直线 和 所成角可能为
12.关于函数 ， ，下列说法正确的是
A.当 时， 在 处的切线方程为
B.当 时， 存在唯一极小值点 且
C.对任意 ， 在 上均存在零点
D.存在 ， 在 上有且只有一个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知 ，则
14. 的展开式中 项的系数是（用数字作答）
15.已知点 在半径为 的球面上，满足 ， ，若 是球面上
任意一点，则三棱锥 体积的最大值为
16.已知 为抛物线 的焦点，点 ， 为抛物线上任意一点，
的最小值为 ，则抛物线方程为 ，若线段 的垂直平分线交抛物
线于 两点，则四边形 的面积为 .（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
已知 的内角 所对的边分别为 ， .
（1）求角 ；
AP DQ 60
AP DQ 30
( ) e sinxf x a x= + ( , )x π∈ − +∞
1a = ( )f x (0, (0))f 2 1 0x y− + =
1a = ( )f x 0x 01 ( ) 0f x− < <
0a > ( )f x ( , )π− +∞
0a < ( )f x ( , )π− +∞
tan 2α = cos(2 )2
πα + =
3 61( 1)(2 )x x
x
+ + 3x
, ,A B C 2 1AB AC= = 3BC = S
S ABC−
F 2 2 ( 0)x py p= > (1, )A p M
| | | |MA MF+ 3 AF
,P Q APFQ
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos 3( cos + cos )a A b C c B=
AA B
C
P
F
E
G
（2）若 ， 边上的高为 ，求 .
18.（12 分）
已知等差数列 的前 项和为 ， 是各项均为正数的等比数列， ， ，
， ，是否存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ，若存在，
求出 的最小值；若不存在，说明理由.
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到上面
问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12 分）
如图，三棱锥 中，点 , 分别是 , 的中点，点 是 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 , , ,
， ,求平面 与
平面 所成的锐二面角的余弦值.
20.（12 分）
推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要
环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取 名社区居民参与
问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：
2 3b = BC 3 c
{ }na n nS { }nb 1 4a b=
2 8b = 1 33 4b b− = k 1{ }
nS
k 15
16kT >
k
4 20S = 3 32S a= 3 4 23a a b− =
P ABC− E F AB PB G BCE∆
//GF PAC
PAB ⊥ ABC PA PB= PA PB⊥
AC BC⊥ 2AB BC= EFG
PFG
1000得分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70, 80) [80,90) [90,100]
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于 分的概率；
（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”
（得分不低于 60 分）和“不太了解”（得分低于60
分）两类，完成 列联表，并判断是否有 的
把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”
有关?
（3）从参与问卷测试且得分不低于 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取
人，连同 名男性调查员一起组成 个环保宣传队.若从这 人中随机抽
取 人作为队长，且男性队长人数 的期望不小于 2，求 的最小值.
附： .
临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21.（12 分）
已知函数 .
2
2 ( ) ,( )( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
2
0( )P K k≥
0k
不太了解 比较了解
男性
女性
60
2 2× 95%
80 10
*( )n n∈N 3 10n +
3 ξ n
1 ln( ) ( )xf x a ax
+= − ∈R（1）若 在 上恒成立，求 的取值范围，并证明：对任意的 ，都
有 ；
（2）设 ，讨论方程 实数根的个数.
22.（12 分）
已知椭圆 过点 ，且焦距为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为直线 ： 上一点， 为椭圆 上一点，以 为直径的圆恒过
坐标原点 .
（i）求 的取值范围；
（ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线 相切？若存在，求出该定圆的方程;
若不存在，说明理由．
( ) 0f x ≤ (0, )+∞ a n ∗∈N
1 1 11 ln( 1)2 3 nn
+ + + + > +
2( ) ( 1) exg x x= − ( ) ( )f x g x=
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (2, 2)M 4
C
P l 2 2y = Q C PQ
O
2 24OP OQ+
PQ2020 年高考诊断性测试
数学参考答案
一、单项选择题
1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C
二、多项选择题
9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD
三、填空题
13. 14. 15. 16. ，
四、解答题
17．解：（1）因为 ，由正弦定理得
所以 , …………………………1 分
即 ， …………………………2 分
又 ，所以
所以 ， …………………………3
分
而 ，
4
5
−
300
3+2 3
12 2 4x y= 4 3
2 cos 3( cos + cos )a A b C c B=
2sin cos 3(sin cos sin cos )A A B C C B= +
2sin cos 3sin( )A A B C= +
B C Aπ+ = − sin( ) sin( ) sinB C A Aπ+ = − =
2sin cos 3sinA A A=
0 A π< < sin 0A ≠所以 ，
所以 . …………………………4
分
（2）因为 …………………………5
分
将 ， ， 代入，得 .…………………………6 分
由余弦定理得 ，
于是 ， …………………………8 分
即 ，解得 或 . …………………………10 分
18．解：设等比数列 的公比为 （ ），则 ， ，
于是 ， …………………………2
分
即 ，解得 ， （舍去）. …………………………4
分
若选①：则 ， ，
解得 ， …………………………6
分
3cos 2A =
6A
π=
1 1sin2 2ABC BCS bc A a h∆ = = ⋅
2 3b = 3BCh =
1sin 2A = 3
3
ca =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 23 3( ) (2 3) 2 2 33 2
c c c= + − × ×
2 9 18 0c c− + = 3c = 6c =
{ }nb q 0q > 1
8b q
=
3 8b q=
8 3 8 4qq
− × =
26 2 0q q+ − =
1
2q = 2
3q = −
1 4 2a b= = 4 1
4 34 202S a d
×= + =
2d =所以 ， …………………………8
分
， …………………………9
分
于是 ……10
分
令 ，解得 ，因为 为正整数，所以 的最小值为 . ……12
分
若选②：则 ， ，解得 .
下同①.
若选③：则 ， ，解得 . ………………6
分
于是 ， …………………8
分
， ……………………9
分
于是
2( 1)2 22n
n nS n n n
−= + × = +
1 1 1 1
( 1) 1nS n n n n
= = −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1+ (1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1k
k
T S S S k k k
= + + = − + − + + − = −+ +
1 151 1 16k
− >+ 15k > k k 16
1 4 2a b= = 1 1
3 23 2( 2 )2a d a d
×+ = +
1 2a d= =
1 4 2a b= = 1 13( 2 ) ( 3 ) 8a d a d+ − + =
4
3d =
2( 1) 4 2 42 2 3 3 3n
n nS n n n
−= + × = +
1 3 1 3 1 1( )2 ( 2) 4 2nS n n n n
= × = −+ +
3 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( )]4 3 2 4 1 1 2kT k k k k
= − + − + + − + −− + +
3 1 1 1(1 )4 2 1 2k k
= + − −+ +， ………………………………………10
分
令 ，得 ，
注意到 为正整数，解得 ，所以 的最小值为 . ………………………12
分
19．解：（1）证明：延长 交 于点 ,点 为 的中点，
因为 分别是棱 的中点,
所以 是 的中位线，所以 ， …………………………2
分
又 ， ，
所以 .
同理可证 . ………………………………………3
分
又 ， ，
所以平面 ， ……………………………………4
分
因为 ，所以 . ………………………………5
分
（2）连接 ，因为 ， 是 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
9 3 1 1( )8 4 1 2k k
= − ++ +
15
16kT > 1 1 1
1 2 4k k
+ = = =
×
m nm n m n
CFG EFG
3
520．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于 分的比率为
，
故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 分的概率为 . …………………2
分
（2）由题意得列联表如下：
…………3
分
的观测值 …………………5 分
因为 5.542
所以有 的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6 分
（3）由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 人，女性 人. ………………7
分
随机变量 的所有可能取值为 ，
其中 ， , ,
, ………………9 分
所以随机变量 的分布列为
不太了解 比较了解
男性 250 330
女性 150 270
60
130 110 90 110 100 60 0.61000
+ + + + + =
60 0.6
2K
21000 (250 270 330 150) 5.542400 600 420 580k
× × − ×= ≈× × ×
3.841>
95%
6 4
ξ 0,1,2,3
0 3
6 4
3
10
( 0) n
n
C CP C
ξ +
+
= =
1 2
6 4
3
10
( 1) n
n
C CP C
ξ +
+
= =
2 1
6 4
3
10
( 2) n
n
C CP C
ξ +
+
= =
3
6
3
10
( 3) n
n
CP C
ξ +
+
= =
ξ ………………10
分 ,
可得， ，
，
，
解得 . …………………………………………12 分
21．解：（1）由 可得， ，
令 ，则 ， ………………1
分
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调
递减，故 在 处取得最大值， ………………3 分
要使 ，只需 ，
故 的取值范围为 ， ………………4 分
0 1 2 3
0 3 1 2 2 1 3
6 4 6 4 6 4 6
3 3 3 3
10 10 10 10
0 1 2 3 2n n n n
n n n n
C C C C C C CE C C C C
ξ + + + +
+ + + +
= × + × + × + × ≥
1 2 2 1 3 3
6 4 6 4 6 101 2 3 2n n n nC C C C C C+ + + +× + × + × ≥
1 16( 6) 4( 6)( 5) ( 6)( 5)( 4) ( 10)( 9)( 8)2 3n n n n n n n n n+ + + + + + + + ≥ + + +
23( 6)( 17 72) 2( 10)( 9)( 8)n n n n n n+ + + ≥ + + +
3( 6) 2( 10)n n+ ≥ +
2n ≥
( ) 0f x ≤
1 ln ( 0)xa xx
+≥ >
1 ln( ) xh x x
+= 2 2
1 (1 ln ) ln( )
x x xxh x x x
⋅ − + −′ = =
(0,1)x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x (1+ )x∈ ∞， ( ) 0h x′ < ( )h x
( )h x 1x =
1 ln xa x
+≥ (1) 1a h≥ =
a 1a ≥
ξ
P
0 3
6 4
3
10
n
n
C C
C
+
+
1 2
6 4
3
10
n
n
C C
C
+
+
2 1
6 4
3
10
n
n
C C
C
+
+
3
6
3
10
n
n
C
C
+
+显然，当 时，有 ，即不等式 在 上成立，
令 ，则有 ，
所以 ，
即： ； ………………6
分
（2）由 可得， ，即 ，
令 ，则 ， ………………8
分
当 时， ， 单增，当 时， ， 单减，
故 在 处取得最大值 ， ………………10
分
又当 时， ，当 时， ， ………………11
分
所以，当 时，方程 有一个实数解；当 时，方程
有两个不同的实数解；当 时，方程 没有实数解. ………………12
分
22．解：（1）将点的坐标代入椭圆 的方程得
1a =
1 ln 1x
x
+ ≤
ln 1x x< − (1, )+∞
1 1( )nx nn
∗+= > ∈N 1 1 1ln 1n n
n n n
+ +< − =
2 3 1 1 1 1ln ln ln 11 2 2 3
n
n n
++ + + < + + + +
1 1 11 ln( 1)2 3 nn
+ + + + > +
( ) ( )f x g x= 21 ln ( 1) exx a xx
+ − = − 21 ln ( 1) exxa xx
+= − −
21 ln( ) ( 1) exxt x xx
+= − − 2
2
ln( ) ( 1)exxt x xx
−′ = − −
(0,1)x∈ ( ) 0t x′ > ( )t x (1+ )x∈ ∞， ( ) 0t x′ < ( )t x
( )t x 1x = (1) 1t =
0x → ( )t x → −∞ +x → ∞ ( )t x → −∞
1a = ( ) ( )f x g x= 1a < ( ) ( )f x g x=
1a > ( ) ( )f x g x=
C，解得 ，所以椭圆 的方程为 ． ……3 分
（2）设 .因为以 为直径的圆恒过点 ，
所以 ，即 . ……………………4
分
因为 点在椭圆上，所以 .
（i）将 代入椭圆，得 ， ，
于是 , . …………5
分
因为
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以 的取值范围为 . ……………………………………7
分
（ii）存在.定圆的方程为 .
假设存在满足题意的定圆，则点 到直线 的距离为定值.
因为 ，所以直线 方程为
，
2 2
2 2
4 2 1
4
a b
a b
+ =
− = 2 28 4a b= =， C
2 2
18 4
x y+ =
1 1( ,2 2), ( , )P t Q x y PQ O
1 12 2 0OP OQ x t y= + =
1
1 2 2
x ty = −
Q
2 2
1 1 18 4
x y+ =
1
1 2 2
x ty = − 2
1 2
32
4x t
= +
2
2
1 2
4
4
ty t
= +
2 2 2 2 2
1 14 =( 8) 4( )OP OQ t x y+ + + + 2
2
64 244t t
= + ++ t ∈R
2
2
64 244t t
+ ++
2
2
64+4 204t t
= + ++
2
2
642 ( +4) 204t t
≥ ⋅ ++ 36=
2
2
64+4= 4t t + = 2t ±
2 24OP OQ+ [36, )+∞
2 2 4x y+ =
O PQ
1 1( ,2 2), ( , )P t Q x y PQ
1 1( )( 2 2) ( 2 2)( ) 0x t y y x t− − − − − =整理可得 ， ………………………………8 分
所以 到直线 的距离 ， …………………………9 分
由（i）知， ，得 ， ，
，注意到 ，知 .
所以 ， …………………10
分
又
， ……………………11
分
所以 ，
因此，直线 与圆 恒相切. …………………………………………12
分
1 1 1 1( 2 2) ( ) 2 2 0y x x t y ty x− − − − + =
O PQ
1 1
2 2
1 1
| 2 2 |
( 2 2) ( )
ty xd
y x t
− +=
− + −
1
1 2 2
x ty = − 2
1 2
32
4x t
= +
2
2
1 2
4
4
ty t
= +
1 12 2 0x t y+ = 1 0x ≠
1
1
2 2yt x
= −
2 2
21 1
1 1 1 2
| | 2( 8)| 2 2 | | 2 2 | ( 8)=
2 2 2 2 4
x t x tty x x t
t
+− + = + = +
+
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1( 2 2) ( ) 8 4 2 2y x t y x t y tx− + − = + + + − −
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 2
4 32 88 84 4 4
t ty x t tt t t
+= + + + = + + + =+ + +
1 1
2 2
1 1
| 2 2 | 2
( 2 2) ( )
ty xd r
y x t
− += = =
− + −
PQ 2 2 4x y+ =
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